Sistem Pengendalian - Analisis Stabilitas
Dalam bab ini, mari kita bahas analisis stabilitas di ‘s’domain menggunakan kriteria stabilitas RouthHurwitz. Dalam kriteria ini, diperlukan persamaan karakteristik untuk mencari kestabilan sistem kendali loop tertutup.
Kriteria Stabilitas Routh-Hurwitz
Kriteria stabilitas Routh-Hurwitz adalah memiliki satu kondisi yang diperlukan dan satu kondisi yang cukup untuk stabilitas. Jika suatu sistem kendali tidak memenuhi syarat yang diperlukan, maka dapat dikatakan bahwa sistem kendali tersebut tidak stabil. Tetapi, jika sistem kendali memenuhi kondisi yang diperlukan, maka mungkin atau mungkin tidak stabil. Jadi, kondisi yang cukup membantu untuk mengetahui apakah sistem kendali tersebut stabil atau tidak.
Kondisi yang Diperlukan untuk Stabilitas Routh-Hurwitz
Kondisi yang diperlukan adalah bahwa koefisien polinomial karakteristik harus positif. Ini menyiratkan bahwa semua akar persamaan karakteristik harus memiliki bagian nyata negatif.
Perhatikan persamaan karakteristik orde 'n' adalah -
$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 = 0 $$
Perhatikan bahwa, seharusnya tidak ada istilah yang hilang di nthpersamaan karakteristik pesanan. Artinya filenth persamaan karakteristik pesanan tidak boleh memiliki koefisien yang bernilai nol.
Kondisi Yang Cukup untuk Stabilitas Routh-Hurwitz
Kondisi yang cukup adalah bahwa semua elemen dari kolom pertama dari array Routh harus memiliki tanda yang sama. Ini berarti bahwa semua elemen dari kolom pertama dari array Routh harus bernilai positif atau negatif.
Metode Array Kasar
Jika semua akar persamaan karakteristik ada di paruh kiri bidang 's', maka sistem kontrolnya stabil. Jika setidaknya satu akar persamaan karakteristik ada di paruh kanan bidang 's, maka sistem kontrol tidak stabil. Jadi, kita harus mencari akar dari persamaan karakteristik untuk mengetahui apakah sistem kendali stabil atau tidak. Namun, sulit untuk menemukan akar dari persamaan karakteristik seiring bertambahnya urutan.
Jadi, untuk mengatasi masalah ini di sana kami memiliki Routh array method. Dalam metode ini, tidak perlu menghitung akar persamaan karakteristik. Pertama rumuskan tabel Routh dan cari jumlah perubahan tanda di kolom pertama tabel Routh. Banyaknya perubahan tanda pada kolom pertama tabel Routh memberikan jumlah akar persamaan karakteristik yang ada pada bagian kanan bidang 's' dan sistem kontrolnya tidak stabil.
Ikuti prosedur ini untuk membentuk tabel Routh.
Isi dua baris pertama dari larik Routh dengan koefisien polinomial karakteristik seperti yang disebutkan dalam tabel di bawah. Mulailah dengan koefisien $ s ^ n $ dan lanjutkan ke koefisien $ s ^ 0 $.
Isi baris tersisa dari array Routh dengan elemen seperti yang disebutkan pada tabel di bawah. Lanjutkan proses ini sampai Anda mendapatkan elemen kolom pertamarow $s^0$adalah $ a_n $. Di sini, $ a_n $ adalah koefisien $ s ^ 0 $ dalam polinomial karakteristik.
Note - Jika ada elemen baris pada tabel Routh yang memiliki beberapa faktor persekutuan, maka Anda dapat membagi elemen baris dengan faktor tersebut agar penyederhanaannya akan mudah.
Tabel berikut menunjukkan larik Routh dari polinomial karakteristik orde ke- n .
$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 $$
$ s ^ n $ |
$ a_0 $ |
$ a_2 $ |
$ a_4 $ |
$ a_6 $ |
... |
... |
$ s ^ {n-1} $ |
$ a_1 $ |
$ a_3 $ |
$ a_5 $ |
$ a_7 $ |
... |
... |
$ s ^ {n-2} $ |
$ b_1 = \ frac {a_1a_2-a_3a_0} {a_1} $ |
$ b_2 = \ frac {a_1a_4-a_5a_0} {a_1} $ |
$ b_3 = \ frac {a_1a_6-a_7a_0} {a_1} $ |
... |
... |
... |
$ s ^ {n-3} $ |
$ c_1 = \ frac {b_1a_3-b_2a_1} {b_1} $ |
$ c_2 = \ frac {b_1a_55-b_3a_1} {b_1} $ |
$ \ vdots $ |
|||
$ \ vdots $ |
$ \ vdots $ |
$ \ vdots $ |
$ \ vdots $ |
|||
$ s ^ 1 $ |
$ \ vdots $ |
$ \ vdots $ |
||||
$ s ^ 0 $ |
$ a_n $ |
Example
Mari kita cari kestabilan sistem kendali yang memiliki persamaan karakteristik,
$$ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$
Step 1 - Verifikasi kondisi yang diperlukan untuk stabilitas Routh-Hurwitz.
Semua koefisien polinomial karakteristik, $ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 $ adalah positif. Jadi, sistem kendali memenuhi kondisi yang diperlukan.
Step 2 - Bentuk larik Routh untuk polinomial karakteristik yang diberikan.
$ s ^ 4 $ |
$ 1 $ |
$ 3 $ |
$ 1 $ |
$ s ^ 3 $ |
$ 3 $ |
$ 2 $ |
|
$ s ^ 2 $ |
$ \ frac {(3 \ times 3) - (2 \ times 1)} {3} = \ frac {7} {3} $ |
$ \ frac {(3 \ times 1) - (0 \ times 1)} {3} = \ frac {3} {3} = 1 $ |
|
$ s ^ 1 $ |
$ \ frac {\ left (\ frac {7} {3} \ times 2 \ right) - (1 \ times 3)} {\ frac {7} {3}} = \ frac {5} {7} $ |
||
$ s ^ 0 $ |
$ 1 $ |
Step 3 - Verifikasi kondisi yang memadai untuk stabilitas Routh-Hurwitz.
Semua elemen dari kolom pertama dari array Routh bernilai positif. Tidak ada perubahan tanda di kolom pertama dari array Routh. Jadi, sistem kontrolnya stabil.
Kasus Khusus Array Routh
Kami mungkin menemukan dua jenis situasi, saat membentuk tabel Routh. Sulit untuk menyelesaikan tabel Routh dari dua situasi ini.
Dua kasus khusus tersebut adalah -
- Elemen pertama dari setiap baris dari larik Routh adalah nol.
- Semua elemen dari setiap baris dari Routh array adalah nol.
Sekarang mari kita bahas bagaimana mengatasi kesulitan dalam dua kasus ini, satu per satu.
Elemen pertama dari setiap baris dari larik Routh adalah nol
Jika ada baris dari larik Routh yang hanya berisi elemen pertama sebagai nol dan setidaknya satu dari elemen yang tersisa memiliki nilai bukan nol, maka ganti elemen pertama dengan bilangan bulat positif kecil, $ \ epsilon $. Dan kemudian lanjutkan proses menyelesaikan tabel Routh. Sekarang, cari jumlah perubahan tanda di kolom pertama tabel Routh dengan mengganti $ \ epsilon $ cenderung nol.
Example
Mari kita cari kestabilan sistem kendali yang memiliki persamaan karakteristik,
$$ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$
Step 1 - Verifikasi kondisi yang diperlukan untuk stabilitas Routh-Hurwitz.
Semua koefisien polinomial karakteristik, $ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 $ adalah positif. Jadi, sistem kendali memenuhi kondisi yang diperlukan.
Step 2 - Bentuk larik Routh untuk polinomial karakteristik yang diberikan.
$ s ^ 4 $ |
$ 1 $ |
$ 1 $ |
$ 1 $ |
$ s ^ 3 $ |
|
|
|
$ s ^ 2 $ |
$ \ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0 $ |
$ \ frac {(1 \ times 1) - (0 \ times 1)} {1} = 1 $ |
|
$ s ^ 1 $ |
|||
$ s ^ 0 $ |
Baris $ s ^ 3 $ elemen memiliki 2 sebagai faktor persekutuan. Jadi, semua elemen ini dibagi 2.
Special case (i)- Hanya elemen pertama dari baris $ s ^ 2 $ yang nol. Jadi, ganti dengan $ \ epsilon $ dan lanjutkan proses menyelesaikan tabel Routh.
$ s ^ 4 $ |
1 |
1 |
1 |
$ s ^ 3 $ |
1 |
1 |
|
$ s ^ 2 $ |
$ \ epsilon $ |
1 |
|
$ s ^ 1 $ |
$ \ frac {\ kiri (\ epsilon \ times 1 \ kanan) - \ kiri (1 \ times 1 \ kanan)} {\ epsilon} = \ frac {\ epsilon-1} {\ epsilon} $ |
||
$ s ^ 0 $ |
1 |
Step 3 - Verifikasi kondisi yang memadai untuk stabilitas Routh-Hurwitz.
Karena $ \ epsilon $ cenderung nol, tabel Routh menjadi seperti ini.
$ s ^ 4 $ |
1 |
1 |
1 |
$ s ^ 3 $ |
1 |
1 |
|
$ s ^ 2 $ |
0 |
1 |
|
$ s ^ 1 $ |
-∞ |
||
$ s ^ 0 $ |
1 |
Ada dua perubahan tanda di kolom pertama tabel Routh. Makanya, sistem kendali tidak stabil.
Semua Elemen dari setiap baris dari larik Routh adalah nol
Dalam kasus ini, ikuti dua langkah berikut -
Tuliskan persamaan bantu, A (s) dari baris, yang berada tepat di atas baris nol.
Diferensialkan persamaan bantu, A (s) terhadap s. Isi baris nol dengan koefisien ini.
Example
Mari kita cari kestabilan sistem kendali yang memiliki persamaan karakteristik,
$$ s ^ 5 + 3s ^ 4 + s ^ 3 + 3s ^ 2 + s + 3 = 0 $$
Step 1 - Verifikasi kondisi yang diperlukan untuk stabilitas Routh-Hurwitz.
Semua koefisien dari polinomial karakteristik yang diberikan adalah positif. Jadi, sistem kendali memenuhi kondisi yang diperlukan.
Step 2 - Bentuk larik Routh untuk polinomial karakteristik yang diberikan.
$ s ^ 5 $ |
1 |
1 |
1 |
$ s ^ 4 $ |
|
|
|
$ s ^ 3 $ |
$ \ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0 $ |
$ \ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0 $ |
|
$ s ^ 2 $ |
|||
$ s ^ 1 $ |
|||
$ s ^ 0 $ |
Baris $ s ^ 4 $ elemen memiliki faktor persekutuan 3. Jadi, semua elemen ini dibagi 3.
Special case (ii)- Semua elemen baris $ s ^ 3 $ adalah nol. Jadi, tuliskan persamaan bantu, A (s) dari baris $ s ^ 4 $.
$$ A (s) = s ^ 4 + s ^ 2 + 1 $$
Diferensialkan persamaan di atas terhadap s.
$$ \ frac {\ text {d} A (s)} {\ text {d} s} = 4s ^ 3 + 2s $$
Tempatkan koefisien ini di baris $ s ^ 3 $.
$ s ^ 5 $ |
1 |
1 |
1 |
$ s ^ 4 $ |
1 |
1 |
1 |
$ s ^ 3 $ |
|
|
|
$ s ^ 2 $ |
$ \ frac {(2 \ times 1) - (1 \ times 1)} {2} = 0,5 $ |
$ \ frac {(2 \ times 1) - (0 \ times 1)} {2} = 1 $ |
|
$ s ^ 1 $ |
$ \ frac {(0,5 \ times 1) - (1 \ times 2)} {0,5} = \ frac {-1,5} {0,5} = - 3 $ |
||
$ s ^ 0 $ |
1 |
Step 3 - Verifikasi kondisi yang memadai untuk stabilitas Routh-Hurwitz.
Ada dua perubahan tanda di kolom pertama tabel Routh. Makanya, sistem kendali tidak stabil.
Dalam kriteria stabilitas Routh-Hurwitz, kita dapat mengetahui apakah kutub loop tertutup berada di separuh kiri bidang 's' atau di separuh kanan bidang 's' atau pada sumbu imajiner. Jadi, kami tidak dapat menemukan sifat dari sistem kontrol. Untuk mengatasi keterbatasan ini, ada teknik yang disebut lokus akar. Kami akan membahas teknik ini dalam dua bab berikutnya.