Sistem Kontrol - Model Luar Angkasa Negara

Itu state space model dari sistem Linear Time-Invariant (LTI) dapat direpresentasikan sebagai,

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

Persamaan pertama dan kedua masing-masing dikenal sebagai persamaan keadaan dan persamaan keluaran.

Dimana,

• X dan $ \ dot {X} $ masing-masing adalah vektor status dan vektor status diferensial.

• U dan Y masing-masing adalah vektor masukan dan vektor keluaran.

• A adalah matriks sistem.

• B dan C adalah matriks masukan dan keluaran.

• D adalah matriks umpan-maju.

Konsep Dasar Model Ruang Negara

Terminologi dasar berikut terlibat dalam bab ini.

Negara

Ini adalah sekelompok variabel, yang merangkum sejarah sistem untuk memprediksi nilai masa depan (keluaran).

Variabel Status

Jumlah variabel status yang diperlukan sama dengan jumlah elemen penyimpanan yang ada di sistem.

Examples - arus yang mengalir melalui induktor, tegangan melintasi kapasitor

Vektor Negara

Ini adalah vektor, yang berisi variabel status sebagai elemen.

Pada bab sebelumnya, kita telah membahas dua model matematis dari sistem kendali. Yaitu model persamaan diferensial dan model fungsi transfer. Model ruang keadaan dapat diperoleh dari salah satu dari dua model matematika ini. Sekarang mari kita bahas kedua metode ini satu per satu.

Model Ruang Negara dari Persamaan Diferensial

Simak rangkaian rangkaian RLC berikut ini. Ini memiliki tegangan input, $ v_i (t) $ dan arus yang mengalir melalui rangkaian adalah $ i (t) $.

Ada dua elemen penyimpanan (induktor dan kapasitor) di sirkuit ini. Jadi, jumlah variabel status sama dengan dua dan variabel status ini adalah arus yang mengalir melalui induktor, $ i (t) $ dan tegangan melintasi kapasitor, $ v_c (t) $.

Dari rangkaian, tegangan keluaran, $ v_0 (t) $ sama dengan tegangan melintasi kapasitor, $ v_c (t) $.

$$ v_0 (t) = v_c (t) $$

Terapkan KVL di sekitar loop.

$$ v_i (t) = Ri (t) + L \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} + v_c (t) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} = - \ frac {Ri (t)} {L} - \ frac {v_c (t)} {L} + \ frac {v_i (t)} {L} $$

Tegangan kapasitor adalah -

$$ v_c (t) = \ frac {1} {C} \ int i (t) dt $$

Diferensialkan persamaan di atas terhadap waktu.

$$ \ frac {\ text {d} v_c (t)} {\ text {d} t} = \ frac {i (t)} {C} $$

Vektor status, $ X = \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $

Vektor status diferensial, $ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t )} {\ text {d} t} \ end {bmatrix} $

Kita dapat menyusun persamaan diferensial dan persamaan keluaran ke dalam bentuk standar model ruang negara sebagai,

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t)} { \ text {d} t} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ akhiri {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } v_i (t) \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $$

Dimana,

$$ A = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix}, \: B = \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix}, \: C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \: dan \: D = \ begin {bmatrix } 0 \ end {bmatrix} $$

Model Ruang Negara dari Fungsi Transfer

Pertimbangkan dua jenis fungsi transfer berdasarkan jenis istilah yang ada di pembilang.

• Fungsi transfer yang memiliki suku konstan di Numerator.
• Fungsi transfer yang memiliki fungsi polinomial 's' pada Numerator.

Fungsi transfer yang memiliki suku konstan di Numerator

Pertimbangkan fungsi transfer berikut dari suatu sistem

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1s + a_0} $ $

Susun kembali, persamaan di atas sebagai

$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) Y (s) = b_0 U (s) $$

Menerapkan transformasi Laplace terbalik di kedua sisi.

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t )} {\ teks {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ teks {d} y (t)} {\ teks {d} t} + a_0y (t) = b_0 u (t) $$

Membiarkan

$$ y (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$

$$. $$

$$. $$

$$. $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$

dan $ u (t) = u $

Kemudian,

$$ \ dot {x} _n + a_ {n-1} x_n + ... + a_1x_2 + a_0x_1 = b_0 u $$

Dari persamaan di atas, kita dapat menulis persamaan keadaan berikut ini.

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + b_0 u $$

Persamaan keluarannya adalah -

$$ y (t) = y = x_1 $$

Model ruang negara adalah -

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

Di sini, $ D = \ kiri [0 \ kanan]. $

Contoh

Temukan model ruang negara untuk sistem yang memiliki fungsi transfer.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

Susun kembali, persamaan di atas sebagai,

$$ (s ^ 2 + s + 1) Y (s) = U (s) $$

Terapkan transformasi Laplace terbalik di kedua sisi.

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + y (t) = u (t) $$

Membiarkan

$$ y (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

dan $ u (t) = u $

Maka, persamaan negara adalah

$$ \ dot {x} _2 = -x_1-x_2 + u $$

Persamaan keluarannya adalah

$$ y (t) = y = x_1 $$

Model ruang negara adalah

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & -1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ kiri [u \ kanan] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

Fungsi transfer yang memiliki fungsi polinomial 's' pada Numerator

Pertimbangkan fungsi transfer berikut dari suatu sistem

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0} {s ^ n + a_ {n-1} d ^ {n-1} + ... + a_1 d + a_0} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} \ kanan) (b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) $$

Persamaan di atas berupa hasil kali fungsi transfer dua blok yang di-cascade.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {V (s)} {U (s)} \ right) \ left (\ frac {Y (s)} {V (s)} \ kanan) $$

Sini,

$$ \ frac {V (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$

Susun kembali, persamaan di atas sebagai

$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) V (s) = U (s) $$

Terapkan transformasi Laplace terbalik di kedua sisi.

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t )} {\ teks {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ teks {d} v (t)} {\ teks {d} t} + a_0v (t) = u (t) $$

Membiarkan

$$ v (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} v ((t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$

$$. $$

$$. $$

$$. $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$

dan $ u (t) = u $

Maka, persamaan negara adalah

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u $$

Mempertimbangkan,

$$ \ frac {Y (s)} {V (s)} = b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0 $$

Susun kembali, persamaan di atas sebagai

$$ Y (s) = (b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) V (s) $$

Terapkan transformasi Laplace terbalik di kedua sisi.

$$ y (t) = b_n \ frac {\ teks {d} ^ nv (t)} {\ teks {d} t ^ n} + b_ {n-1} \ frac {\ teks {d} ^ {n -1} v (t)} {\ teks {d} t ^ {n-1}} + ... + b_1 \ frac {\ teks {d} v (t)} {\ teks {d} t} + b_0v (t) $$

Dengan mensubstitusi variabel state dan $ y (t) = y $ pada persamaan di atas, akan didapatkan persamaan output sebagai,

$$ y = b_n \ titik {x} _n + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$

Gantikan, nilai $ \ dot {x} _n $ dalam persamaan di atas.

$$ y = b_n (-a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u) + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$

$$ y = (b_0-b_na_0) x_1 + (b_1-b_na_1) x_2 + ... + (b_ {n-1} -b_na_ {n-1}) x_n + b_n u $$

Model ruang negara adalah

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$

$$ Y = [b_0-b_na_0 \ quad b_1-b_na_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} -b_na_ {n-2} \ quad b_ {n-1} -b_na_ {n-1}] \ mulai {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

Jika $ b_n = 0 $,

$$ Y = [b_0 \ quad b_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} \ quad b_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n- 1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$