Sistem Kontrol - Analisis Ruang Negara

Pada bab sebelumnya, kita telah mempelajari bagaimana mendapatkan model ruang keadaan dari persamaan diferensial dan fungsi transfer. Pada bab ini, mari kita bahas bagaimana mendapatkan fungsi transfer dari model ruang negara.

Fungsi Alih dari Model Antariksa Negara

Kita tahu model ruang keadaan sistem Linear Time-Invariant (LTI) adalah -

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

Terapkan Transformasi Laplace di kedua sisi persamaan keadaan.

$$ sX (s) = AX (s) + BU (s) $$

$$ \ Rightarrow (sI-A) X (s) = BU (s) $$

$$ \ Rightarrow X (s) = (sI-A) ^ {- 1} BU $$

Terapkan Transformasi Laplace di kedua sisi persamaan keluaran.

$$ Y (s) = CX (s) + DU (s) $$

Gantikan, nilai X (s) dalam persamaan di atas.

$$ \ Rightarrow Y (s) = C (sI-A) ^ {- 1} BU (s) + DU (s) $$

$$ \ Rightarrow Y (s) = [C (sI-A) ^ {- 1} B + D] U (s) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B + D $$

Persamaan di atas mewakili fungsi transfer dari sistem. Jadi, kita dapat menghitung fungsi transfer sistem dengan menggunakan rumus ini untuk sistem yang direpresentasikan dalam model ruang keadaan.

Note - Ketika $ D = [0] $, fungsi transfer akan menjadi

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$

Example

Mari kita hitung fungsi transfer dari sistem yang direpresentasikan dalam model ruang negara sebagai,

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

Sini,

$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ quad dan \ quad D = [0] $$

Rumus untuk fungsi transfer ketika $ D = [0] $ adalah -

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$

Substitusi, A, B & C matriks dalam persamaan di atas.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s + 1 & 1 \\ - 1 & s \ end {bmatrix } ^ {- 1} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ frac {\ begin {bmatrix} s & -1 \\ 1 & s + 1 \ end {bmatrix}} {(s + 1) s-1 (-1)} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s \\ 1 \ end {bmatrix}} {s ^ 2 + s + 1} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

Oleh karena itu, fungsi transfer sistem untuk model ruang keadaan tertentu adalah

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

State Transition Matrix dan Properties-nya

Jika sistem berada pada kondisi awal, maka akan menghasilkan sebuah keluaran. Karena, keluaran ini ada bahkan tanpa adanya masukan, maka disebutzero input response$ x_ {ZIR} (t) $. Secara matematis, kita bisa menulisnya sebagai,

$$ x_ {ZIR} (t) = e ^ {At} X (0) = L ^ {- 1} \ kiri \ {\ kiri [sI-A \ kanan] ^ {- 1} X (0) \ kanan \} $$

Dari relasi di atas, kita dapat menulis matriks transisi state $ \ phi (t) $ as

$$ \ phi (t) = e ^ {At} = L ^ {- 1} [sI-A] ^ {- 1} $$

Jadi, respon input nol dapat diperoleh dengan mengalikan matriks transisi keadaan $ \ phi (t) $ dengan matriks kondisi awal.

Berikut adalah properti dari matriks transisi keadaan.

Jika $ t = 0 $, maka matriks transisi status akan sama dengan matriks Identitas.

$$ \ phi (0) = I $$
Invers dari matriks transisi state akan sama dengan matriks transisi state hanya dengan mengganti 't' dengan '-t'.

$$ \ phi ^ {- 1} (t) = \ phi (−t) $$
Jika $ t = t_1 + t_2 $, maka matriks transisi keadaan yang sesuai sama dengan perkalian dua matriks transisi keadaan pada $ t = t_1 $ dan $ t = t_2 $.

$$ \ phi (t_1 + t_2) = \ phi (t_1) \ phi (t_2) $$

Pengendalian dan Pengamatan

Sekarang mari kita bahas kemampuan pengendalian dan pengamatan sistem kendali satu per satu.

Kontrol

Sistem kontrol dikatakan demikian controllable jika status awal sistem kontrol ditransfer (diubah) ke beberapa status lain yang diinginkan dengan input terkontrol dalam durasi waktu yang terbatas.

Kami dapat memeriksa kemampuan kontrol sistem kontrol dengan menggunakan Kalman’s test.

Tulis matriks $ Q_c $ dalam formulir berikut.

$$ Q_c = \ kiri [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad ... \ quad A ^ {n-1} B \ kanan] $$
Temukan determinan dari matriks $ Q_c $ dan jika tidak sama dengan nol, maka sistem kontrol dapat dikontrol.

Observabilitas

Sistem kontrol dikatakan demikian observable jika mampu menentukan keadaan awal sistem kendali dengan mengamati keluaran dalam durasi waktu yang terbatas.

Kami dapat memeriksa observabilitas sistem kontrol dengan menggunakan Kalman’s test.

Tuliskan matriks $ Q_o $ dalam bentuk berikut.

$$ Q_o = \ kiri [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad (A ^ T) ^ 2C ^ T \ quad ... \ quad (A ^ T) ^ {n-1} C ^ T \ kanan] $$
Tentukan determinan matriks $ Q_o $ dan jika tidak sama dengan nol, maka sistem kontrol dapat diobservasi.

Example

Mari kita verifikasi kemampuan kontrol dan observasi dari sistem kontrol yang direpresentasikan dalam model ruang negara sebagai,

$$ \ dot {x} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

Sini,

$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad \ begin {bmatrix } 0 & 1 \ end {bmatrix}, D = [0] \ quad dan \ quad n = 2 $$

Untuk $ n = 2 $, matriks $ Q_c $ akan menjadi

$$ Q_c = \ kiri [B \ quad AB \ kanan] $$

Kami akan mendapatkan produk dari matriks A dan B sebagai,

$$ AB = \ begin {bmatrix} -1 \\ 1 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow Q_c = \ begin {bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} $$

$$ | Q_c | = 1 \ neq 0 $$

Karena determinan matriks $ Q_c $ tidak sama dengan nol, sistem kontrol yang diberikan dapat dikontrol.

Untuk $ n = 2 $, matriks $ Q_o $ akan menjadi -

$$ Q_o = \ kiri [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ kanan] $$

Sini,

$$ A ^ T = \ begin {bmatrix} -1 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix} \ quad dan \ quad C ^ T = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} $ $

Kita akan mendapatkan produk dari matriks $ A ^ T $ dan $ C ^ T $ as