Spesifikasi Domain Waktu
Dalam bab ini, mari kita bahas spesifikasi domain waktu dari sistem orde dua. Respon langkah sistem orde dua untuk kasus underdamped ditunjukkan pada gambar berikut.
Semua spesifikasi domain waktu direpresentasikan dalam gambar ini. Respon hingga settling time dikenal sebagai respon transient dan respon setelah settling time disebut dengan steady state.
Waktu penundaan
Ini adalah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tanggapan half of its final valuedari nol instan. Ini dilambangkan dengan $ t_d $.
Pertimbangkan respon langkah sistem orde dua untuk t ≥ 0, ketika 'δ' terletak di antara nol dan satu.
$$ c (t) = 1- \ kiri (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$
Nilai akhir dari respons langkah adalah satu.
Oleh karena itu, pada $ t = t_d $, nilai respons langkah akan menjadi 0,5. Gantikan, nilai-nilai ini dalam persamaan di atas.
$$ c (t_d) = 0,5 = 1- \ kiri (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) $$
$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) = 0,5 $$
Dengan menggunakan pendekatan linier, Anda akan mendapatkan delay time td sebagai
$$ t_d = \ frac {1 + 0,7 \ delta} {\ omega_n} $$
Rise Time
Ini adalah waktu yang dibutuhkan untuk memunculkan respons 0% to 100% of its final value. Ini berlaku untukunder-damped systems. Untuk sistem yang terlalu teredam, pertimbangkan durasi dari 10% hingga 90% dari nilai akhir. Waktu naik dilambangkan dengantr.
Pada t = t 1 = 0, c (t) = 0.
Kita tahu bahwa nilai akhir dari respons langkah adalah satu.
Oleh karena itu, pada $ t = t_2 $, nilai respons langkah adalah satu. Gantikan, nilai-nilai ini dalam persamaan berikut.
$$ c (t) = 1- \ kiri (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$
$$ c (t_2) = 1 = 1- \ kiri (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) $$
$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ omega_dt_2 + \ theta = \ pi $$
$$ \ Rightarrow t_2 = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$
Gantikan nilai t 1 dan t 2 dalam persamaan berikut daririse time,
$$ t_r = t_2-t_1 $$
$$ \ karena itu \: t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$
Dari persamaan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa rise time $ t_r $ dan frekuensi teredam $ \ omega_d $ berbanding terbalik satu sama lain.
Waktu Puncak
Ini adalah waktu yang dibutuhkan respon untuk mencapai peak valueuntuk pertama kalinya. Ini dilambangkan dengan $ t_p $. Pada $ t = t_p $, turunan pertama dari responsnya adalah nol.
Kita tahu respon langkah sistem orde dua untuk kasus under-damped adalah
$$ c (t) = 1- \ kiri (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$
Bedakan $ c (t) $ sehubungan dengan 't'.
$$ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} = - \ kiri (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan) \ omega_d \ cos (\ omega_dt + \ theta) - \ kiri (\ frac {- \ delta \ omega_ne ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$
Gantikan, $ t = t_p $ dan $ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} = 0 $ dalam persamaan di atas.
$$ 0 = - \ kiri (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan) \ kiri [\ omega_d \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) \ kanan] $$
$$ \ Rightarrow \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ sin (\ theta) \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ cos (\ theta) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ sin (\ theta- \ omega_dt_p- \ theta) = 0 $$
$$ \ Rightarrow sin (- \ omega_dt_p) = 0 \ Rightarrow - \ sin (\ omega_dt_p) = 0 \ Rightarrow sin (\ omega_dt_p) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ omega_dt_p = \ pi $$
$$ \ Rightarrow t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $$
Dari persamaan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa waktu puncak $ t_p $ dan frekuensi teredam $ \ omega_d $ berbanding terbalik satu sama lain.
Puncak Overshoot
Melampaui puncak Mpdidefinisikan sebagai penyimpangan respons pada waktu puncak dari nilai akhir respons. Itu juga disebutmaximum overshoot.
Secara matematis, kita bisa menulisnya sebagai
$$ M_p = c (t_p) -c (\ infty) $$
Dimana,
c (t p ) adalah nilai puncak dari respon.
c (∞) adalah nilai akhir (kondisi stabil) dari respons.
Pada $ t = t_p $, respons c (t) adalah -
$$ c (t_p) = 1- \ kiri (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) $$
Gantikan, $ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $ di sisi kanan persamaan di atas.
$$ c (t_P) = 1- \ kiri (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_n \ kiri (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ kanan)}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan) \ sin \ kiri (\ omega_d \ kiri (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ kanan) + \ theta \ kanan) $$
$$ \ Rightarrow c (t_p) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan)}} { \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan) (- \ sin (\ theta)) $$
Kami tahu itu
$$ \ sin (\ theta) = \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$
Jadi, kita akan mendapatkan $ c (t_p) $ as
$$ c (t_p) = 1 + e ^ {- \ kiri (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan)} $$
Gantikan nilai $ c (t_p) $ dan $ c (\ infty) $ dalam persamaan peak overshoot.
$$ M_p = 1 + e ^ {- \ kiri (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan)} - 1 $$
$$ \ Rightarrow M_p = e ^ {- \ kiri (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan)} $$
Percentage of peak overshoot % $ M_p $ dapat dihitung dengan menggunakan rumus ini.
$$ \% M_p = \ frac {M_p} {c (\ infty)} \ times 100 \% $$
Dengan mengganti nilai $ M_p $ dan $ c (\ infty) $ dalam rumus di atas, kita akan mendapatkan Persentase puncak overshoot $ \% M_p $ sebagai
$$ \% M_p = \ kiri (e ^ {- \ kiri (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan)} \ kanan) \ times 100 \% $$
Dari persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa persentase peak overshoot $ \% M_p $ akan menurun jika damping ratio $ \ delta $ meningkat.
Waktu penyelesaian
Ini adalah waktu yang diperlukan agar respons mencapai kondisi tunak dan tetap dalam rentang toleransi yang ditentukan di sekitar nilai akhir. Secara umum pita toleransi adalah 2% dan 5%. Waktu penyelesaian dilambangkan dengan $ t_s $.
Waktu pengendapan untuk pita toleransi 5% adalah -
$$ t_s = \ frac {3} {\ delta \ omega_n} = 3 \ tau $$
Waktu pengendapan untuk pita toleransi 2% adalah -
$$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} = 4 \ tau $$
Di mana, $ \ tau $ adalah konstanta waktu dan sama dengan $ \ frac {1} {\ delta \ omega_n} $.
Baik waktu penyelesaian $ t_s $ dan konstanta waktu $ \ tau $ berbanding terbalik dengan rasio redaman $ \ delta $.
Baik waktu penyelesaian $ t_s $ dan konstanta waktu $ \ tau $ tidak bergantung pada penguatan sistem. Itu berarti bahkan sistem mendapatkan perubahan, waktu penyelesaian $ t_s $ dan konstanta waktu $ \ tau $ tidak akan pernah berubah.
Contoh
Sekarang mari kita temukan spesifikasi domain waktu dari sistem kontrol yang memiliki fungsi transfer loop tertutup $ \ frac {4} {s ^ 2 + 2s + 4} $ ketika sinyal langkah satuan diterapkan sebagai masukan ke sistem kontrol ini.
Kita tahu bahwa bentuk standar dari fungsi transfer urutan kedua sistem kontrol loop tertutup sebagai
$$ \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$
Dengan menyamakan kedua fungsi transfer ini, kita akan mendapatkan frekuensi natural yang tidak teredam $ \ omega_n $ sebagai 2 rad / detik dan rasio redaman $ \ delta $ sebagai 0,5.
Kita tahu rumus untuk frekuensi teredam $ \ omega_d $ as
$$ \ omega_d = \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$
Substitusi, nilai $ \ omega_n $ dan $ \ delta $ dalam rumus di atas.
$$ \ Rightarrow \ omega_d = 2 \ sqrt {1- (0.5) ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow \ omega_d = 1.732 \: rad / detik $$
Substitusi, $ \ delta $ value dalam relasi berikut
$$ \ theta = \ cos ^ {- 1} \ delta $$
$$ \ Rightarrow \ theta = \ cos ^ {- 1} (0,5) = \ frac {\ pi} {3} \: rad $$
Gantikan nilai yang diperlukan di atas dalam rumus setiap spesifikasi domain waktu dan sederhanakan untuk mendapatkan nilai spesifikasi domain waktu untuk fungsi transfer yang diberikan.
Tabel berikut menunjukkan rumus spesifikasi domain waktu, substitusi nilai yang diperlukan dan nilai akhir.
| Spesifikasi domain waktu | Rumus | Substitusi nilai dalam Formula | Nilai akhir |
|---|---|---|---|
Waktu penundaan |
$ t_d = \ frac {1 + 0,7 \ delta} {\ omega_n} $ |
$ t_d = \ frac {1 + 0,7 (0,5)} {2} $ |
$ t_d $ = 0,675 dtk |
Waktu bangun |
$ t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $ |
$ t_r = \ frac {\ pi - (\ frac {\ pi} {3})} {1,732} $ |
$ t_r $ = 1,207 dtk |
Waktu puncak |
$ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $ |
$ t_p = \ frac {\ pi} {1,732} $ |
$ t_p $ = 1,813 dtk |
% Melampaui puncak |
$ \% M_p = \ kiri (e ^ {- \ kiri (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ kanan)} \ kanan) \ kali 100 \% $ |
$ \% M_p = \ kiri (e ^ {- \ kiri (\ frac {0,5 \ pi} {\ sqrt {1- (0,5) ^ 2}} \ kanan)} \ kanan) \ kali 100 \% $ |
$ \% \: M_p $ = 16,32% |
Waktu penyelesaian untuk pita toleransi 2% |
$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} $ |
$ t_S = \ frac {4} {(0,5) (2)} $ |
$ t_s $ = 4 dtk |