볼록 및 오목 기능
$ f : S \ rightarrow \ mathbb {R} $, 여기서 S는 $ \ mathbb {R} ^ n $에 설정된 비어 있지 않은 볼록한 값이고 $ f \ left (x \ right) $는 S에서 볼록하다고합니다. $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left ( x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $.
반면에 Let $ f : S \ rightarrow \ mathbb {R} $, 여기서 S는 $ \ mathbb {R} ^ n $에 설정된 비어 있지 않은 볼록한 값이면 $ f \ left (x \ right) $가됩니다. $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right 인 경우 S에서 오목 함 ) f \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.
$ f : S \ rightarrow \ mathbb {R} $ 여기서 S는 $ \ mathbb {R} ^ n $에 설정된 비어 있지 않은 볼록이고, $ f \ left (x \ right) $는 S에서 엄격하게 볼록이라고합니다. $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <\ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.
$ f : S \ rightarrow \ mathbb {R} $ 여기서 S는 $ \ mathbb {R} ^ n $에 설정된 비어 있지 않은 볼록이고, $ f \ left (x \ right) $는 S에서 엄격하게 오목하다고합니다. $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.
예
선형 함수는 볼록하고 오목합니다.
$ f \ 왼쪽 (x \ 오른쪽) = \ 왼쪽 | x \ right | $는 볼록 함수입니다.
$ f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} $는 볼록 함수입니다.
정리
$ f_1, f_2, ..., f_k : \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $를 볼록 함수로 지정합니다. $ f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ left (x \ right) $ 여기서 $ \ alpha_j> 0, j = 1, 2,. ..k, $ then $ f \ left (x \ right) $는 볼록 함수입니다.
증명
$ f_1, f_2, ... f_k $는 볼록 함수이므로
따라서 $ f_i \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f_i \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f_i \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ 및 $ i = 1, 2, ...., k $
$ f \ left (x \ right) $ 함수를 고려하십시오.
따라서,
$ f \ 왼쪽 (\ lambda x_1 + \ 왼쪽 (1- \ lambda \ 오른쪽) x_2 \ 오른쪽) $
$ = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ left (\ lambda x_1 + 1- \ lambda \ right) x_2 \ leq \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_j \ 람다 f_j \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f_j \ left (x_2 \ right) $
$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ left ( x_1 \ right) \ right) + \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ left (x_2 \ right) \ right) $
$ \ 오른쪽 화살표 f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_2 \ right) \ leq \ left (1- \ lambda \ right) f \ 왼쪽 (x_2 \ 오른쪽) $
따라서 $ f \ left (x \ right) $는 볼록 함수입니다.
정리
$ f \ left (x \ right) $를 볼록 집합 $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $의 볼록 함수로 설정 한 다음 S의 $ f \ left (x \ right) $는 a 글로벌 최소.
증명
$ \ hat {x} $를 $ f \ left (x \ right) $에 대한 로컬 최소값으로, $ \ hat {x} $는 전역 최소값이 아닙니다.
따라서 $ \ exists \ hat {x} \ in S $에서 $ f \ left (\ bar {x} \ right) <f \ left (\ hat {x} \ right) $
$ \ hat {x} $이 로컬 최소값이므로 $ f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f와 같은 이웃 $ N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) $가 있습니다. \ left (x \ right), \ forall x \ in N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $
그러나 $ f \ left (x \ right) $는 S에서 볼록 함수이므로 $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $
$ \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ leq \ lambda f \ left (\ hat {x} \ right) + \ left (1- \ lambda \ 오른쪽) f \ 왼쪽 (\ bar {x} \ 오른쪽) $
$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} <\ lambda f \ left (\ hat {x} \ right) + \ left (1- \ lambda \ 오른쪽) f \ 왼쪽 (\ hat {x} \ 오른쪽) $
$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} <f \ left (\ hat {x} \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0 , 1 \ 오른쪽) $
그러나 일부 $ \ lambda <1 $의 경우 1에 가깝습니다.
$ \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ in N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $ 및 $ f \ left ( \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ right) <f \ left (\ bar {x} \ right) $
그것은 모순입니다.
따라서 $ \ bar {x} $는 글로벌 최소값입니다.
제명
S를 $ \ mathbb {R} ^ n $에서 비어 있지 않은 부분 집합으로하고 $ f : S \ rightarrow \ mathbb {R} $로두면 epi (f) 또는 $ E_f $로 표시된 f의 에피 그래프가 부분 집합입니다 $ E_f = \ left \ {\ left (x, \ alpha \ right) : x \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb {에 의해 정의 된 $ \ mathbb {R} ^ n + 1 $ 중 R}, f \ 왼쪽 (x \ 오른쪽) \ leq \ alpha \ 오른쪽 \} $
Hypograph
S를 $ \ mathbb {R} ^ n $에서 비어 있지 않은 부분 집합으로하고 $ f : S \ rightarrow \ mathbb {R} $로 한 다음 hyp (f) 또는 $ H_f = \ left로 표시된 f의 hypograph \ {\ left (x, \ alpha \ right) : x \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb {R}, f \ left ( x \ 오른쪽) \ geq \ alpha \ 오른쪽 \} $
정리
S를 $ \ mathbb {R} ^ n $에있는 비어 있지 않은 볼록 집합으로하고 $ f : S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $로두면, 그 표피 $ E_f $가 다음과 같은 경우에만 f가 볼록합니다. 볼록한 세트.
증명
f를 볼록 함수라고합시다.
$ E_f $를 표시하는 것은 볼록한 집합입니다.
$ \ left (x_1, \ alpha_1 \ right), \ left (x_2, \ alpha_2 \ right) \ in E_f, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $
$ \ lambda \ left (x_1, \ alpha_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) \ left (x_2, \ alpha_2 \ right) \ in E_f $를 표시하려면
$ \ Rightarrow \ left [\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2, \ lambda \ alpha_1 + \ left (1- \ lambda \ right) \ alpha_2 \ right] \ in E_f $
$ f \ left (x_1 \ right) \ leq \ alpha _1, f \ left (x_2 \ right) \ leq \ alpha _2 $
따라서 $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ 오른쪽) $
$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda \ alpha_1 + \ left (1- \ lambda \ right) \ alpha_2 $
반대
$ E_f $를 볼록 집합이라고합시다.
f가 볼록하다는 것을 보여주기 위해.
즉, $ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ left (0, 1 \ right) $ 표시
$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ 오른쪽) $
$ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right), f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} $
$ E_f $는 볼록 집합이므로 $ \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2, \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) \ 오른쪽) f \ left (x_2 \ right) \ in E_f $
따라서 $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ 오른쪽) $