볼록 세트의 극점

S를 $ \ mathbb {R} ^ n $에있는 볼록 집합이라고합시다. $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $와 $ x_1, x_2 \ in S $ 및 $ \ lambda \ 인 경우 벡터 $ x \ in S $는 S의 극단 점이라고합니다. in \ left (0, 1 \ right) \ Rightarrow x = x_1 = x_2 $.

예

Step 1 − $ S = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2 : x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 1 \ right \ } $

극단 점, $ E = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2 : x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 1 \ right \} $

Step 2 − $ S = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2 : x_1 + x_2 <2, -x_1 + 2x_2 \ leq 2, x_1, x_2 \ geq 0 \ right \ } $

극단 점, $ E = \ left \ {\ left (0, 0 \ right), \ left (2, 0 \ right), \ left (0, 1 \ right), \ left (\ frac {2} {3 }, \ frac {4} {3} \ right) \ right \} $

Step 3 − S는 점 $ \ left \ {\ left (0,0 \ right), \ left (1,1 \ right), \ left (1,3 \ right), \ left (-2, 4 \ 오른쪽), \ 왼쪽 (0,2 \ 오른쪽) \ 오른쪽 \} $

극단 점, $ E = \ left \ {\ left (0,0 \ right), \ left (1,1 \ right), \ left (1,3 \ right), \ left (-2,4 \ right) \ 오른쪽 \} $

비고

• 볼록 세트 S의 모든 지점은 극단 지점의 볼록 조합으로 표현 될 수 있습니다.

• $ \ mathbb {R} ^ n $의 폐쇄 및 경계 세트에만 해당됩니다.

• 무제한 세트의 경우에는 해당되지 않을 수 있습니다.

k 극점

볼록 집합의 한 점은 S 내에있는 k 차원 볼록 집합의 내부 점이고 S 내에있는 (k + 1) 차원 볼록 집합의 내부 점이 아닌 경우에만 k 극단이라고합니다. 기본적으로 볼록 세트 S의 경우 k 개의 극점은 k 차원의 열린면을 만듭니다.