Karush-Kuhn-Tucker 최적 성 필수 조건

문제를 고려하십시오-

$ min \ : f \ left (x \ right) $, $ x \ in X $, 여기서 X는 $ \ mathbb {R} ^ n $ 및 $ g_i \ left (x \ right) \ leq 0, i = 1, 2, ..., m $

$ S = \ left \ {x \ in X : g_i \ left (x \ right) \ leq 0, \ forall i \ right \} $

$ \ hat {x} \ in S $ 및 $ f $ 및 $ g_i, i \ in I $를 $ \ hat {x} $ 및 $ g_i에서 구별 할 수 있도록합시다. i \ in J $는 $ \ hat에서 연속적입니다. {x} $. 또한 $ \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right), i \ in I $는 선형 적으로 독립적입니다. $ \ hat {x} $이 위의 문제를 로컬에서 해결하면 $ u_i, i \ in I $가

$ \ bigtriangledown f \ left (x \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i \ in I} u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $, $ \ : \ : u_i \ geq 0, 나는 \ in I $

$ g_i, i \ in J $도 $ \ hat {x} $에서 미분 할 수 있습니다. $ \ hat {x} $,

$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $

$ u_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0, \ forall i = 1,2, ..., m $

$ u_i \ geq 0 \ forall i = 1,2, ..., m $

예

다음 문제를 고려하십시오-

$ min \ : f \ left (x_1, x_2 \ right) = \ left (x_1-3 \ right) ^ 2 + \ left (x_2-2 \ right) ^ 2 $

$ x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 5 $,

$ x_1,2x_2 \ geq 0 $ 및 $ \ hat {x} = \ left (2,1 \ right) $

$ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -5 $,

$ g_2 \ 왼쪽 (x_1, x_2 \ 오른쪽) = x_ {1} + 2x_2-4 $

$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) =-x_ {1} $ 및 $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) =-x_2 $

따라서 위의 제약 조건은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

$ g_1 \ 왼쪽 (x_1, x_2 \ 오른쪽) \ leq 0, g_2 \ 왼쪽 (x_1, x_2 \ 오른쪽) \ leq 0 $

$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, $ 및 $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $ 따라서 $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $ 따라서 , $ u_3 = 0, \ : \ : u_4 = 0 $

$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (2, -2 \ right), \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (4,2 \ right ) $ 및

$ \ bigtriangledown g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (1,2 \ right) $

따라서 이러한 값을 Karush-Kuhn-Tucker 조건의 첫 번째 조건에 넣으면 다음과 같이됩니다.

$ u_1 = \ frac {1} {3} $ 및 $ u_2 = \ frac {2} {3} $

따라서 Karush-Kuhn-Tucker 조건이 충족됩니다.