강력하게 Quasiconvex 함수
$ f : S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ 및 S를 $ \ mathbb {R} ^ n $에 설정된 비어 있지 않은 볼록한 값으로 설정하면 $ x_1, x_2 \ in S에 대해 f는 강력한 quasiconvex 함수입니다. $는 $ \ left (x_1 \ right) \ neq \ left (x_2 \ right) $, 우리는 $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \ : \ 왼쪽 \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $
정리
$ \ mathbb {R} ^ n $의 비어 있지 않은 볼록 세트 S에 대한 quasiconvex 함수 $ f : S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $은 어떤 것을 결합하는 선분에서 일정하지 않은 경우 강력한 quasiconvex 함수입니다. 포인트 S.
증명
f는 quasiconvex 함수이고 S의 어떤 점을 연결하는 선분에서 일정하지 않습니다.
f가 강하게 quasiconvex 함수가 아니라고 가정합니다.
$ x_1, x_2 \ in S $와 $ x_1 \ neq x_2 $가 있습니다.
$$ f \ left (z \ right) \ geq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall z = \ lambda x_1 + \ left (1 -\ lambda \ 오른쪽) x_2, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$
$ \ Rightarrow f \ left (x_1 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ 및 $ f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $
$ \ left [x_1, z \ right] $ 및 $ \ left [z, x_2 \ right] $에서 f가 일정하지 않기 때문에
따라서 $ u \ in \ left [x_1, z \ right] $ 및 $ v = \ left [z, x_2 \ right] $가 있습니다.
$$ \ Rightarrow u = \ mu_1x_1 + \ left (1- \ mu_1 \ right) z, v = \ mu_2z + \ left (1- \ mu_2 \ right) x_2 $$
f는 quasiconvex이므로
$$ \ 오른쪽 화살표 f \ left (u \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (z \ right) \ right \} = f \ left (z \ right) \ : \ : 및 \ : \ : f \ left (v \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (z \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $$
$$ \ 오른쪽 화살표 f \ left (u \ right) \ leq f \ left (z \ right) \ : \ : 및 \ : \ : f \ left (v \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ $
$$ \ Rightarrow max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $$
그러나 z는 u와 v 사이의 모든 점입니다. 둘 중 하나라도 같으면 f는 상수입니다.
따라서 $ max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $
이는 f의 quasiconvexity가 $ z \ in \ left [u, v \ right] $와 모순됩니다.
따라서 f는 강하게 quasiconvex 함수입니다.
정리
$ f : S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ 및 S를 $ \ mathbb {R} ^ n $에있는 비어 있지 않은 볼록 집합으로 지정합니다. $ \ hat {x} $이 로컬 최적 솔루션이면 $ \ hat {x} $는 고유 한 글로벌 최적 솔루션입니다.
증명
강력한 quasiconvex 함수도 엄격히 quasiconvex 함수이므로 로컬 최적 솔루션은 전역 최적 솔루션입니다.
Uniqueness − f가 두 지점 $ u, v \ in S $에서 글로벌 최적 해를 얻도록합니다.
$$ \ 오른쪽 화살표 f \ left (u \ right) \ leq f \ left (x \ right). \ forall x \ in S \ : \ : 및 \ : \ : f \ left (v \ right) \ leq f \ 왼쪽 (x \ 오른쪽). \ forall x \ in S $$
u가 글로벌 최적 솔루션이면 $ f \ left (u \ right) \ leq f \ left (v \ right) $ 및 $ f \ left (v \ right) \ leq f \ left (u \ right) \ Rightarrow f \ 왼쪽 (u \ 오른쪽) = f \ 왼쪽 (v \ 오른쪽) $
$$ f \ left (\ lambda u + \ left (1- \ lambda \ right) v \ right) <max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} = f \ 왼쪽 (u \ 오른쪽) $$
그것은 모순입니다.
따라서 글로벌 최적 솔루션은 하나뿐입니다.
비고
- 강력한 quasiconvex 함수도 엄격하게 quasiconvex 함수입니다.
- 엄격 볼록 함수는 강하게 quasiconvex 일 수도 있고 아닐 수도 있습니다.
- 미분 할 수있는 엄격 볼록은 강하게 quasiconvex입니다.