볼록 최적화-Fritz-John 조건
필요한 조건
정리
문제를 고려하십시오-$ min f \ left (x \ right) $ $ x \ in X $ 여기서 X는 $ \ mathbb {R} ^ n $에서 열린 집합이고 $ g_i \ left (x \ right) \ leq 0, \ forall i = 1,2, .... m $.
$ f : X \ rightarrow \ mathbb {R} $ 및 $ g_i : X \ rightarrow \ mathbb {R} $
$ \ hat {x} $를 실행 가능한 솔루션으로 지정하고 f와 $ g_i, i \ in I $를 $ \ hat {x} $에서 미분 할 수 있도록하고 $ g_i, i \ in J $는 $ \ hat에서 연속적이라고 가정합니다. x} $.
$ \ hat {x} $가 위의 문제를 로컬에서 해결하면 $ u_0, u_i \ in \ mathbb {R}, i \ in I $가 존재하므로 $ u_0 \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ 오른쪽) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i \ in I} u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) $ = 0
여기서 $ u_0, u_i \ geq 0, i \ in I $ 및 $ \ left (u_0, u_I \ right) \ neq \ left (0,0 \ right) $
또한 $ g_i, i \ in J $도 $ \ hat {x} $에서 미분 할 수 있다면 위의 조건은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$ u_0 \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $
$ u_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) $ = 0
$ u_0, u_i \ geq 0, \ forall i = 1,2, ...., m $
$ \ left (u_0, u \ right) \ neq \ left (0,0 \ right), u = \ left (u_1, u_2, s, u_m \ right) \ in \ mathbb {R} ^ m $
비고
$ u_i $는 라그랑주 승수라고합니다.
$ \ hat {x} $가 주어진 문제에 대해 실행 가능하다는 조건을 원시 실행 가능 조건이라고합니다.
$ u_0 \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m ui \ bigtriangledown g_i \ left (x \ right) = 0 $ 요구 사항을 이중 실행 가능성이라고합니다. 질환.
$ u_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0, i = 1, 2, ... m $ 조건을 보완 여유 조건이라고합니다. 이 조건은 $ u_i = 0, i \ in J $가 필요합니다.
원시 실행 가능 조건, 이중 실행 가능성 조건 및 보완 여유를 함께 사용하여 프리츠-존 조건이라고합니다.
충분한 조건
정리
$ \ varepsilon $ -neighbourhood of $ \ hat {x} N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right), \ varepsilon> 0 $이있는 경우 f가 $ N_ \ varepsilon \ left ( \ hat {x} \ right) \ cap S $ 및 $ g_i, i \ in I $는 $ N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $ 다음에 $ \ hat { x} $는 위에서 설명한 문제에 대한 로컬 최적 솔루션입니다. f가 $ \ hat {x} $에서 pseudoconvex이고 $ g_i이면 i \ in I $가 $ \ hat {x}에서 완전히 pseudoconvex 및 quasiconvex 함수 인 경우 \ hat {x} $는 문제에 대한 글로벌 최적 솔루션입니다. 전술 한 바와.
예
$ min \ : f \ left (x_1, x_2 \ right) = \ left (x_1-3 \ right) ^ 2 + \ left (x_2-2 \ right) ^ 2 $
$ x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 5, x_1 + 2x_2 \ leq 4, x_1, x_2 \ geq 0 $ 그리고 $ \ hat {x} = \ left (2 , 1 \ 오른쪽) $
$ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -5, $
$ g_2 \ 왼쪽 (x_1, x_2 \ 오른쪽) = x_1 + 2x_2-4, $
$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) =-x_1 $ 및 $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) = -x_2 $.
따라서 위의 제약 조건은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
$ g_1 \ 왼쪽 (x_1, x_2 \ 오른쪽) \ leq 0, $
$ g_2 \ 왼쪽 (x_1, x_2 \ 오른쪽) \ leq 0, $
$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $ 및
$ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $ 따라서 $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $ 따라서 $ u_3 = 0, u_4 = 0 $
$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (2, -2 \ right), \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (4,2 \ right ) $ 및 $ \ bigtriangledown g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (1,2 \ right) $
따라서 이러한 값을 Fritz-John 조건의 첫 번째 조건에 넣으면 다음과 같이됩니다.
$ u_0 = \ frac {3} {2} u_2, \ : \ : u_1 = \ frac {1} {2} u_2, $, $ u_2 = 1 $, 따라서 $ u_0 = \ frac {3} {2} , \ : \ : u_1 = \ frac {1} {2} $
따라서 Fritz John 조건이 충족됩니다.
$ min f \ left (x_1, x_2 \ right) =-x_1 $.
$ x_2- \ left (1-x_1 \ right) ^ 3 \ leq 0 $,
$ -x_2 \ leq 0 $ 및 $ \ hat {x} = \ left (1,0 \ right) $
$ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_2- \ left (1-x_1 \ right) ^ 3 $,
$ g_2 \ 왼쪽 (x_1, x_2 \ 오른쪽) =-x_2 $
따라서 위의 제약 조건은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
$ g_1 \ 왼쪽 (x_1, x_2 \ 오른쪽) \ leq 0, $
$ g_2 \ 왼쪽 (x_1, x_2 \ 오른쪽) \ leq 0, $
따라서 $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $
$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (-1,0 \ right) $
$ \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (0,1 \ right) $ and $ g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (0, -1 \ right ) $
따라서 이러한 값을 Fritz-John 조건의 첫 번째 조건에 넣으면 다음과 같이됩니다.
$ u_0 = 0, \ : \ : u_1 = u_2 = a> 0 $
따라서 Fritz John 조건이 충족됩니다.