볼록 최적화-표준

노름은 벡터 또는 변수에 엄격하게 양의 값을 제공하는 함수입니다.

규범은 함수입니다 $ f : \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $

규범의 기본 특성은 다음과 같습니다.

$ X $를 $ X \ in \ mathbb {R} ^ n $와 같은 벡터로 지정합니다.

$ \ 왼쪽 \ | x \ 오른쪽 \ | \ geq 0 $
$ \ 왼쪽 \ | x \ 오른쪽 \ | = 0 \ Leftrightarrow x = 0 \ forall x \ in X $
$ \ 왼쪽 \ | \ 알파 x \ 오른쪽 \ | = \ 왼쪽 | \ alpha \ 오른쪽 | \ 왼쪽 \ | x \ right \ | \ forall \ : x \ in X 및 \ : \ alpha \ : is \ : a \ : scalar $
$ \ 왼쪽 \ | x + y \ 오른쪽 \ | \ leq \ 왼쪽 \ | x \ 오른쪽 \ | + \ 왼쪽 \ | y \ 오른쪽 \ | \ forall x, y \ in X $
$ \ 왼쪽 \ | xy \ 오른쪽 \ | \ geq \ 왼쪽 \ | \ 왼쪽 \ | x \ 오른쪽 \ |-\ 왼쪽 \ | y \ 오른쪽 \ | \ 오른쪽 \ | $

정의에 따라 규범은 다음과 같이 계산됩니다.

$ \ 왼쪽 \ | x \ 오른쪽 \ | _1 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ 왼쪽 | x_i \ 오른쪽 | $
$ \ 왼쪽 \ | x \ 오른쪽 \ | _2 = \ 왼쪽 (\ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ 2 \ right) ^ {\ frac {1} {2}} $
$ \ 왼쪽 \ | x \ right \ | _p = \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ p \ right) ^ {\ frac {1} {p}}, 1 \ leq p \ leq \ infty $

규범은 연속 함수입니다.

증명

정의에 따라 $ X \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $의 $ x_n \ rightarrow x $이면 $ f \ left (x \ right) $는 상수 함수입니다.

$ f \ left (x \ right) = \ left \ | x \ 오른쪽 \ | $

따라서 $ \ left | f \ 왼쪽 (x_n \ 오른쪽) -f \ 왼쪽 (x \ 오른쪽) \ 오른쪽 | = \ 왼쪽 | \ 왼쪽 \ | x_n \ 오른쪽 \ | -\ 왼쪽 \ | x \ 오른쪽 \ | \ 오른쪽 | \ leq \ 왼쪽 | \ 왼쪽 | x_n-x \ 오른쪽 | \ : \ 오른쪽 | $

$ x_n \ rightarrow x $ 따라서 $ \ left \ | x_n-x \ 오른쪽 \ | \ rightarrow 0 $

따라서 $ \ left | f \ 왼쪽 (x_n \ 오른쪽) -f \ 왼쪽 (x \ 오른쪽) \ 오른쪽 | \ leq 0 \ 오른쪽 화살표 \ 왼쪽 | f \ 왼쪽 (x_n \ 오른쪽) -f \ 왼쪽 (x \ 오른쪽) \ 오른쪽 | = 0 \ 오른쪽 화살표 f \ 왼쪽 (x_n \ 오른쪽) \ 오른쪽 화살표 f \ 왼쪽 (x \ 오른쪽) $

따라서 규범은 연속 함수입니다.