볼록 최적화-콘

$ \ mathbb {R} ^ n $의 비어 있지 않은 집합 C는 $ x \ in C \ Rightarrow \ lambda x \ in C \ forall \ lambda \ geq 0 $ 인 경우 정점 0을 갖는 원뿔이라고합니다.

세트 C는 원뿔과 마찬가지로 볼록한 경우 볼록 원뿔입니다.

예를 들어, $ y = \ left | x \ right | $는 볼록하지 않기 때문에 볼록한 원뿔이 아닙니다.

하지만 $ y \ geq \ left | x \ right | $는 볼록하고 원뿔이기 때문에 볼록 원뿔입니다.

Note − 원뿔 C는 $ x, y \ in C, x + y \ in C $ 인 경우에만 볼록합니다.

증명

C가 원뿔이기 때문에 $ x, y \ in C \ Rightarrow \ lambda x \ in C $ 및 $ \ mu y \ in C \ : \ forall \ : \ lambda, \ mu \ geq 0 $

$ \ lambda x + \ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \ : \ forall \ : \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $이면 C는 볼록입니다.

C는 원뿔이므로 $ \ lambda x \ in C $ 및 $ \ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \ Leftrightarrow x, y \ in C $

따라서 C는 $ x + y \ in C $이면 볼록합니다.

일반적으로 $ x_1, x_2 \ in C $이면 $ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ in C, \ forall \ lambda_1, \ lambda_2 \ geq 0 $

Note − 두 볼록 원뿔의 교차점은 볼록 원뿔이지만 그 결합은 볼록 원뿔 일 수도 있고 아닐 수도 있습니다.