볼록 최적화-방향

S를 $ \ mathbb {R} ^ n $에있는 닫힌 볼록 집합이라고합시다. 0이 아닌 벡터 $ d \ in \ mathbb {R} ^ n $은 각 $ x \ in S, x + \ lambda d \ in S, \ forall \ lambda \ geq 0에 대해 S의 방향이라고합니다.

• $ \ alpha> 0 $에 대해 $ d \ neq \ alpha d_2 $ 인 경우 S의 $ d_1 $ 및 $ d_2 $ 두 방향은 구별됩니다.

• $ S $의 방향 $ d $는 두 개의 다른 방향의 양의 선형 조합으로 쓸 수없는 경우 극단 방향이라고합니다. 즉, $ d = \ lambda _1d_1 + \ lambda _2d_2 $ for $ \ lambda _1, \ 람다 _2> 0 $, $ d_1 = \ alpha d_2 $ ($ \ alpha $).

• 다른 방향은 극단 방향의 양의 조합으로 표현할 수 있습니다.

• 볼록 세트 $ S $의 경우, $ x + \ lambda d \ in S $에서 $ x \ in S $ 및 모든 $ \ lambda \ geq0 $에 대한 방향 d가 호출됩니다. recessive $ S $.

• E를 $ \ mathbb {R} ^ n $의 비어 있지 않은 볼록 집합 S에 대한 특정 함수 $ f : S \ rightarrow $가 최대 값에 도달하면 $ E $를 노출 된면이라고합니다. $ S $. 노출 된면의 방향을 노출 된 방향이라고합니다.

• 방향이 극단 인 광선을 극단 광선이라고합니다.

예

$ f \ left (x \ right) = y = \ left | x \ right | $ 함수를 고려하십시오. 여기서 $ x \ in \ mathbb {R} ^ n $. d를 $ \ mathbb {R} ^ n $의 단위 벡터로 지정합니다.

그러면 d는 모든 $ \ lambda \ geq 0, x + \ lambda d \ in f \ left (x \ right) $ 때문에 함수 f의 방향입니다.