볼록 최적화-헐

S에있는 점 집합의 볼록 껍질은 내부 또는 경계에있는 S의 모든 점을 포함하는 가장 작은 볼록 영역의 경계입니다.

또는

$ S \ subseteq \ mathbb {R} ^ n $ $ Co \ left (S \ right) $로 표시된 S의 볼록 껍질은 S의 모든 볼록한 조합의 모음입니다. 즉, $ x \ in Co \ left (S \ right) $ $ x \ in \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_ix_i $ 인 경우에만 $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ n \ lambda_i = 1 $ 및 $ \ lambda_i \ geq 0 \ forall x_i \ in S $

Remark − 평면에서 S 지점 집합의 Conves 헐은 볼록 다각형을 정의하고 다각형 경계에있는 S 지점은 다각형의 꼭지점을 정의합니다.

Theorem $ Co \ left (S \ right) = \ left \ {x : x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_ix_i, x_i \ in S, \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_i = 1, \ lambda_i \ geq 0 \ right \} $ 볼록 껍질이 볼록 집합임을 보여줍니다.

증명

$ x_1, x_2 \ in Co \ left (S \ right) $, $ x_1 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_ix_i $ 및 $ x_2 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_ \ gamma x_i $ 여기서 $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_i = 1, \ lambda_i \ geq 0 $ 및 $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ gamma_i = 1, \ gamma_i \ geq0 $

$ \ theta \ in \ left (0,1 \ right), \ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 = \ theta \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_ix_i + \ left (1- \ theta \ right) \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ gamma_ix_i $

$ \ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_i \ theta x_i + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ gamma_i \ 왼쪽 (1- \ theta \ right) x_i $

$ \ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left [\ lambda_i \ theta + \ gamma_i \ left (1- \ theta \ right) \ 오른쪽] x_i $

계수를 고려하면,

$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left [\ lambda_i \ theta + \ gamma_i \ left (1- \ theta \ right) \ right] = \ theta \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1 } ^ n \ lambda_i + \ left (1- \ theta \ right) \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ gamma_i = \ theta + \ left (1- \ theta \ right) = 1 $

따라서 $ \ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ in Co \ left (S \ right) $

따라서 볼록 껍질은 볼록 집합입니다.