볼록 최적화-Weierstrass 정리

S를 $ \ mathbb {R} ^ n $에서 비어 있지 않고 닫히고 경계가 지정된 집합 (간단한 집합이라고도 함)으로 설정하고 $ f : S \ rightarrow \ mathbb {R} $를 S의 연속 함수로 설정 한 다음 문제 min $ \ left \ {f \ left (x \ right) : x \ in S \ right \} $는 최소값을 얻습니다.

증명

S는 비어 있지 않고 경계가 있으므로 하한이 있습니다.

$ \ alpha = Inf \ left \ {f \ left (x \ right) : x \ in S \ right \} $

이제 $ S_j = \ left \ {x \ in S : \ alpha \ leq f \ left (x \ right) \ leq \ alpha + \ delta ^ j \ right \} \ forall j = 1,2, ... $ 및 $ \ delta \ in \ left (0,1 \ right) $

infimium의 정의에 따라 $ S_j $는 각 $ j $에 대해 비어 있지 않습니다.

$ j = 1,2, ... $에 대해 $ \ left \ {x_j \ right \} $ 시퀀스를 얻으려면 $ x_j \ in S_j $를 선택하십시오.

S가 제한되어 있으므로 시퀀스도 제한되고 $ \ left \ {y_j \ right \} $ 수렴하는 수렴 하위 시퀀스가 ​​있습니다. $ \ hat {x} $. 따라서 $ \ hat {x} $는 제한 점이고 S는 닫혀 있으므로 $ \ hat {x} \ in S $입니다. f는 연속적이기 때문에 $ f \ left (y_i \ right) \ rightarrow f \ left (\ hat {x} \ right) $.

$ \ alpha \ leq f \ left (y_i \ right) \ leq \ alpha + \ delta ^ k, \ alpha = \ displaystyle \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} f \ left (y_i \ right) = f \ left ( \ hat {x} \ 오른쪽) $

따라서 $ \ hat {x} $는 최소화 솔루션입니다.

비고

Weierstrass 정리에 필요한 두 가지 중요한 조건이 있습니다. 이들은 다음과 같습니다-

• Step 1 − 집합 S는 경계 집합이어야합니다.

  f \ left (x \ right) = x $ 함수를 고려하십시오.

  무제한 집합이며 도메인의 어느 지점에서나 최소값이 있습니다.

  따라서 최소값을 얻으려면 S를 제한해야합니다.

• Step 2 − 세트 S를 닫아야합니다.

  \ left (0,1 \ right) 도메인의 $ f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} $ 함수를 고려하십시오.

  이 함수는 주어진 도메인에서 닫히지 않으며 최소값도 존재하지 않습니다.

  따라서 최소값을 얻으려면 S를 닫아야합니다.