볼록 최적화-Jensen의 부등식

S를 $ \ mathbb {R} ^ n $ 및 $ f : S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $에있는 비어 있지 않은 볼록 집합이라고합니다. 그러면 f는 각 정수 $ k> 0 $에 대해서만 볼록합니다.

$ x_1, x_2, ... x_k \ in S, \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k \ lambda_i = 1, \ lambda_i \ geq 0, \ forall i = 1,2, s, k $, $ f \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k \ lambda_ix_i \ right) \ leq \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k \ lambda _if \ left (x \ right) $

증명

k에 대한 유도로.

$ k = 1 : x_1 \ in S $ 따라서 $ f \ left (\ lambda_1 x_1 \ right) \ leq \ lambda_i f \ left (x_1 \ right) $ 왜냐하면 $ \ lambda_i = 1 $이기 때문입니다.

$ k = 2 : \ lambda_1 + \ lambda_2 = 1 $ 및 $ x_1, x_2 \ in S $

따라서 $ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ in S $

따라서 정의에 따르면 $ f \ left (\ lambda_1 x_1 + \ lambda_2 x_2 \ right) \ leq \ lambda _1f \ left (x_1 \ right) + \ lambda _2f \ left (x_2 \ right) $

$ n <k $에 대해 진술이 참이라고하자

따라서,

$ f \ left (\ lambda_1 x_1 + \ lambda_2 x_2 + .... + \ lambda_k x_k \ right) \ leq \ lambda_1 f \ left (x_1 \ right) + \ lambda_2 f \ left (x_2 \ right) + ... + \ lambda_k f \ 왼쪽 (x_k \ 오른쪽) $

$ k = n + 1 : $ $ x_1, x_2, .... x_n, x_ {n + 1} \ in S $ 및 $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n + 1} = 1 $

따라서 $ \ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ....... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ in S $

따라서 $ f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) $

$ = f \ left (\ left (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n \ right) \ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + \ mu_3} + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ 오른쪽) $

$ = f \ left (\ mu_y + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) $ 여기서 $ \ mu = \ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n $ 및

$ y = \ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} $ 및 $ \ mu_1 + \ mu_ {n + 1} = 1, y \ in S $

$ \ 오른쪽 화살표 f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq \ mu f \ left (y \ right) + \ mu_ {n +1} f \ 왼쪽 (x_ {n + 1} \ 오른쪽) $

$ \ 오른쪽 화살표 f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq $

$ \ left (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n \ right) f \ left (\ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} \ right) + \ mu_ {n + 1} f \ 왼쪽 (x_ {n + 1} \ 오른쪽) $

$ \ 오른쪽 화살표 f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq \ left (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n \ 오른쪽) $

$ \ left [\ frac {\ mu_1} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} f \ left (x_1 \ right) + ... + \ frac {\ mu_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} f \ 왼쪽 (x_n \ 오른쪽) \ 오른쪽] + \ mu_ {n + 1} f \ 왼쪽 (x_ {n + 1} \ 오른쪽) $

$ \ 오른쪽 화살표 f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq \ mu_1f \ left (x_1 \ right) + \ mu_2f \ left ( x_2 \ 오른쪽) + .... $

따라서 입증되었습니다.