카라테 오도리 정리

S를 $ \ mathbb {R} ^ n $에서 임의의 집합으로 지정합니다. $ x \ in Co \ left (S \ right) $이면 $ x \ in Co \ left (x_1, x_2, ...., x_n, x_ {n + 1} \ right) $.

증명

$ x \ in Co \ left (S \ right) $이므로 $ x $는 S에있는 유한 한 수의 점들의 볼록한 조합으로 표현됩니다. 즉,

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ lambda_jx_j, \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ lambda_j = 1, \ lambda_j \ geq 0 $ 및 $ x_j \ in S, \ forall j \ in \ left (1, k \ right) $

$ k \ leq n + 1 $이면 얻은 결과는 분명히 사실입니다.

$ k \ geq n + 1 $이면 $ \ left (x_2-x_1 \ right) \ left (x_3-x_1 \ right), ....., \ left (x_k-x_1 \ right) $는 선형 종속입니다. .

$ \ Rightarrow \ exists \ mu _j \ in \ mathbb {R}, 2 \ leq j \ leq k $ (모두 0이 아님) : $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 2} ^ k \ mu _j \ left (x_j-x_1 \ 오른쪽) = 0 $

$ \ mu_1 =-\ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 2} ^ k \ mu _j $ 다음에 $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ mu_j x_j = 0, \ displaystyle \ sum \을 정의합니다. 한도 _ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $

모든 $ \ mu_j 's $가 0과 같지는 않습니다. $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $ 이후 $ \ mu_j> 0,1 \ leq j \ leq k $ 중 하나 이상

그런 다음 $ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ lambda_j x_j + 0 $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ lambda_j x_j- \ alpha \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ mu_j x_j $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) x_j $

$ \ alpha = min \ left \ {\ frac {\ lambda_j} {\ mu_j}, \ mu_j \ geq 0 \ right \} = \ frac {\ lambda_j} {\ mu _j}, $와 같은 $ \ alpha $를 선택하십시오. $ i = 1,2, ..., k $

$ \ mu_j \ leq 0이면 \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0 $

$ \ mu_j> 0이면 \ : \ frac {\ lambda _j} {\ mu_j} \ geq \ frac {\ lambda_i} {\ mu _i} = \ alpha \ Rightarrow \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0, j = 1,2, ... k $

특히 $ \ alpha $의 정의에 따라 $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) x_j $, 여기서

$ \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq0 $ 및 $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) = 1 $ 및 $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $

따라서 x는 최대 (k-1) 점의 볼록한 조합으로 나타낼 수 있습니다.

x가 (n + 1) 요소의 볼록한 조합으로 표시 될 때까지이 감소 프로세스를 반복 할 수 있습니다.