네트워크 이론-AC 회로의 응답
이전 장에서 우리는 DC 회로의 과도 응답 및 정상 상태 응답에 대해 논의했습니다. 이 장에서는response of AC circuit. 이전 장에서 논의한 과도 응답 및 정상 상태 응답의 개념은 여기서도 유용합니다.
직렬 RL 회로의 응답 찾기
다음을 고려하세요 series RL circuit 도표.
위의 회로에서 switch 보관되었다 open최대 t = 0 으로하고 닫혔다 t = 0 . 그래서, 피크 전압을 갖는 AC 전압원 V의 m의 볼트는이 순간에 직렬 RL 회로까지 연결되지 않는다. 따라서no initial current 인덕터를 통해 흐릅니다.
회로도, 때 switch 에 closed 위치는 다음 그림과 같습니다.
이제, 전류 I (t)의 피크 전압을 갖는 AC 전압원 때문에, 회로 전체에 흐르는 V의 m의 볼트 RL 직렬 회로에 접속된다.
위의 회로를 통해 흐르는 전류 i (t) 는 두 개의 항을 가질 것입니다. 하나는 과도 부분을 나타내고 다른 항은 정상 상태를 나타냅니다.
수학적으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$ i (t) = i_ {Tr} (t) + i_ {ss} (t) $Equation 1
어디,
$ i_ {Tr} (t) $는 회로를 통해 흐르는 전류의 과도 응답입니다.
$ i_ {ss} (t) $는 회로를 통해 흐르는 전류의 정상 상태 응답입니다.
이전 장에서 직렬 RL 회로를 통해 흐르는 전류의 과도 응답을 얻었습니다. $ Ke ^ {-\ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} $ 형식입니다.
방정식 1에서 $ i_ {Tr} (t) = Ke ^ {-\ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} $를 대체합니다.
$ i (t) = Ke ^ {-\ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} + i_ {ss} (t) $Equation 2
정상 상태 전류 계산
정현파 신호가 선형 전기 회로의 입력으로 적용되면 정상 상태 출력이 생성됩니다. sinusoidal signal. 입력 및 출력 정현파 신호는 주파수가 동일하지만 진폭과 위상 각도가 다릅니다.
다음을 사용하여 정현파 전압원에 의해 여기 된 전기 회로의 정상 상태 응답을 계산할 수 있습니다. Laplace Transform approach.
S 도메인 회로도, switch 에 closed 위치는 다음 그림과 같습니다.
위의 회로에서 모든 수량과 매개 변수는 s-domain. 이것은 시간 영역 수량 및 매개 변수의 라플라스 변환입니다.
그만큼 Transfer function 위 회로의
$$ H (s) = \ frac {I (s)} {V (s)} $$
$$ \ 오른쪽 화살표 H (s) = \ frac {1} {Z (s)} $$
$$ \ 오른쪽 화살표 H (s) = \ frac {1} {R + sL} $$
위의 방정식에서 $ s = j \ omega $를 대체하십시오.
$$ H (j \ omega) = \ frac {1} {R + j \ omega L} $$
Magnitude of $ \ mathbf {\ mathit {H (j \ omega)}} $는
$$ | H (j \ 오메가) | = \ frac {1} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2} L ^ 2} $$
Phase angle of $ \ mathbf {\ mathit {H (j \ omega)}} $는
$$ \ angle H (j \ omega) = -tan ^ {-1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup $$
우리는 얻을 것입니다 steady state current 다음 두 단계를 수행하여 $ i_ {ss} (t) $-
입력 정현파 전압의 피크 전압과 $ H (j \ omega) $의 크기를 곱합니다.
입력 정현파 전압의 위상 각과 $ H (j \ omega) $를 더합니다.
그만큼 steady state current $ i_ {ss} (t) $는
$$ i_ {ss} (t) = \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi-tan ^ {-1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$
방정식 2에서 $ i_ {ss} (t) $ 값을 대체합니다.
$ i (t) = Ke ^ {-\ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi-tan ^ {-1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $Equation 3
우리는 회로에 초기 전류가 없다는 것을 알고 있습니다. 따라서 상수 K의 값을 찾기 위해 방정식 3에서 t = 0 & i (t) = 0 으로 대체 하십시오.
$$ 0 = Ke ^ {-\ lgroup \ frac {0} {\ tau} \ rgroup} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ 오메가 (0) + \ varphi-tan ^ {-1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$
$$ \ 오른쪽 화살표 0 = K + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi-tan ^ {-1} \ lgroup \ frac {\ 오메가 L} {R} \ r 그룹 \ rgroup $$
$$ \ Rightarrow K =-\ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi-tan ^ {-1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ r 그룹 \ rgroup $$
방정식 3에서 K 값을 대체하십시오 .
$ i (t) =-\ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi-tan ^ {-1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup e ^ {-\ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2 }} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi-tan ^ {-1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $Equation 4
방정식 4는 사인파 전압 소스에 의해 여기 될 때 직렬 RL 회로를 통해 흐르는 전류를 나타냅니다. 두 용어가 있습니다. 첫 번째 및 두 번째 항은 각각 전류의 과도 응답 및 정상 상태 응답을 나타냅니다.
우리는 할 수 있습니다 neglect the first term그 값은 1보다 훨씬 작기 때문입니다. 따라서 회로를 통해 흐르는 결과 전류는
$$ i (t) = \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi-tan ^ {-1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$
그것은 steady state term. 따라서 우리는 AC 회로의 정상 상태 응답만을 찾을 수 있으며 과도 응답을 무시할 수 있습니다.