Optymalizacja wypukła - zbiór afiniczny

O zbiorze $ A $ mówi się, że jest zbiorem afinicznym, jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów linia przechodząca przez te punkty leży w zbiorze $ A $.

Note -

• $ S $ jest zbiorem afinicznym wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera każdą afiniczną kombinację jego punktów.

• Zbiory puste i pojedyncze są zbiorami afinicznymi i wypukłymi.

  Na przykład rozwiązanie równania liniowego jest zbiorem afinicznym.

Dowód

Niech S będzie rozwiązaniem równania liniowego.

Z definicji $ S = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n: Ax = b \ right \} $

Niech $ x_1, x_2 \ in S \ Rightarrow Ax_1 = b $ i $ Ax_2 = b $

Aby udowodnić: $ A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = b, \ forall \ theta \ in \ left (0,1 \ right) $

$ A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = \ theta Ax_1 + \ left (1- \ theta \ right) Ax_2 = \ theta b + \ left (1- \ theta \ right) ) b = b $

Zatem S jest zbiorem afinicznym.

Twierdzenie

Jeśli $ C $ jest zbiorem afinicznym, a $ x_0 \ w C $, to zbiór $ V = C-x_0 = \ left \ {x-x_0: x \ in C \ right \} $ jest podprzestrzenią C.

Dowód

Niech $ x_1, x_2 \ in V $

Aby pokazać: $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $ dla niektórych $ \ alpha, \ beta $

Teraz $ x_1 + x_0 \ w C $ i $ x_2 + x_0 \ w C $ z definicji V

Teraz $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 + x_0 = \ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0 $

Ale $ \ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0 \ w C $, ponieważ C jest zbiorem afinicznym .

Dlatego $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $

Stąd udowodniono.