Funkcje Quasiconvex i Quasiconcave

Niech $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ gdzie $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ jest niepustym zbiorem wypukłym. Mówimy, że funkcja f jest quasiconvex, jeśli dla każdego $ x_1, x_2 \ in S $ mamy $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Na przykład $ f \ left (x \ right) = x ^ {3} $

Niech $ f: S \ rightarrow R $ gdzie $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ jest niepustym zbiorem wypukłym. Mówi się, że funkcja f jest quasiconvex, jeśli dla każdego $ x_1, x_2 \ in S $ mamy $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Uwagi

• Każda funkcja wypukła jest quasiconvex, ale odwrotność nie jest prawdą.
• Funkcja, która jest zarówno kwazikonwypukła, jak i kwazikonowa, nazywa się kwazimonotonami.

Twierdzenie

Niech $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ i S jest niepustym zbiorem wypukłym w $ \ mathbb {R} ^ n $. Funkcja f jest quasiconvex wtedy i tylko wtedy, gdy $ S _ {\ alpha} = \ left (x \ in S: f \ left (x \ right) \ leq \ alpha \ right \} $ jest wypukła dla każdej liczby rzeczywistej \ alpha $

Dowód

Niech f jest quasiconvex na S.

Niech $ x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha} $ a zatem $ x_1, x_2 \ in S $ i $ max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha $

Niech $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ i niech $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right) , f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ Rightarrow x \ in S $

Zatem $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha $

Dlatego $ S _ {\ alpha} $ jest wypukły.

Rozmawiać

Niech $ S _ {\ alpha} $ będzie wypukłe dla każdego $ \ alpha $

$ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $

$ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $

Niech $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $

Dla $ x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha}, \ alpha = max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $

$ \ Rightarrow \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ in S _ {\ alpha} $

$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ alpha $

Stąd udowodniono.

Twierdzenie

Niech $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ i S jest niepustym zbiorem wypukłym w $ \ mathbb {R} ^ n $. Funkcja f jest quasiconcave wtedy i tylko wtedy, gdy $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right) \ geq \ alpha \ right \} $ jest wypukłe dla każdej liczby rzeczywistej $ \ alpha $.

Twierdzenie

Niech $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ i S jest niepustym zbiorem wypukłym w $ \ mathbb {R} ^ n $. Funkcja f jest quasimonotone wtedy i tylko wtedy, gdy $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right) = \ alpha \ right \} $ jest wypukłe dla każdej liczby rzeczywistej $ \ alpha $.