Optymalizacja wypukła - twierdzenie Weierstrassa

Niech S będzie niepustym, zamkniętym i ograniczonym zbiorem (zwanym również zbiorem kompaktowym) w $ \ mathbb {R} ^ n $ i niech $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ będzie funkcją ciągłą na S, a następnie problem min $ \ left \ {f \ left (x \ right): x \ in S \ right \} $ osiąga swoje minimum.

Dowód

Ponieważ S jest niepusty i ograniczony, istnieje dolna granica.

$ \ alpha = Inf \ left \ {f \ left (x \ right): x \ in S \ right \} $

Teraz niech $ S_j = \ left \ {x \ in S: \ alpha \ leq f \ left (x \ right) \ leq \ alpha + \ delta ^ j \ right \} \ forall j = 1,2, ... $ i $ \ delta \ in \ left (0,1 \ right) $

Zgodnie z definicją infimium, $ S_j $ nie jest puste, dla każdego $ j $.

Wybierz jakieś $ x_j \ w S_j $, aby uzyskać sekwencję $ \ left \ {x_j \ right \} $ dla $ j = 1,2, ... $

Ponieważ S jest ograniczone, sekwencja jest również ograniczona i istnieje zbieżny podciąg $ \ left \ {y_j \ right \} $, który zbiega się do $ \ hat {x} $. Stąd $ \ hat {x} $ jest punktem granicznym, a S jest zamknięte, a zatem $ \ hat {x} \ w S $. Ponieważ f jest ciągłe, $ f \ left (y_i \ right) \ rightarrow f \ left (\ hat {x} \ right) $.

Ponieważ $ \ alpha \ równoważnik f \ lewo (y_i \ prawo) \ równoważnik \ alfa + \ delta ^ k, \ alpha = \ Displaystyle \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} f \ lewo (y_i \ prawej) = f \ lewo ( \ hat {x} \ right) $

Zatem $ \ hat {x} $ jest rozwiązaniem minimalizującym.

Uwagi

Twierdzenie Weierstrassa musi spełniać dwa ważne warunki konieczne. Są to następujące -

  • Step 1 - Zbiór S powinien być zbiorem ograniczonym.

    Rozważmy funkcję f \ left (x \ right) = x $.

    Jest to zbiór nieograniczony i ma minima w dowolnym punkcie swojej domeny.

    Zatem, aby uzyskać minima, S powinno być ograniczone.

  • Step 2 - Zestaw S powinien być zamknięty.

    Rozważmy funkcję $ f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} $ w domenie \ left (0,1 \ right).

    Ta funkcja nie jest zamknięta w danej domenie, nie ma też jej minimów.

    Stąd, aby uzyskać minima, S powinno być zamknięte.