Optymalizacja wypukła - twierdzenie Weierstrassa
Niech S będzie niepustym, zamkniętym i ograniczonym zbiorem (zwanym również zbiorem kompaktowym) w $ \ mathbb {R} ^ n $ i niech $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ będzie funkcją ciągłą na S, a następnie problem min $ \ left \ {f \ left (x \ right): x \ in S \ right \} $ osiąga swoje minimum.
Dowód
Ponieważ S jest niepusty i ograniczony, istnieje dolna granica.
$ \ alpha = Inf \ left \ {f \ left (x \ right): x \ in S \ right \} $
Teraz niech $ S_j = \ left \ {x \ in S: \ alpha \ leq f \ left (x \ right) \ leq \ alpha + \ delta ^ j \ right \} \ forall j = 1,2, ... $ i $ \ delta \ in \ left (0,1 \ right) $
Zgodnie z definicją infimium, $ S_j $ nie jest puste, dla każdego $ j $.
Wybierz jakieś $ x_j \ w S_j $, aby uzyskać sekwencję $ \ left \ {x_j \ right \} $ dla $ j = 1,2, ... $
Ponieważ S jest ograniczone, sekwencja jest również ograniczona i istnieje zbieżny podciąg $ \ left \ {y_j \ right \} $, który zbiega się do $ \ hat {x} $. Stąd $ \ hat {x} $ jest punktem granicznym, a S jest zamknięte, a zatem $ \ hat {x} \ w S $. Ponieważ f jest ciągłe, $ f \ left (y_i \ right) \ rightarrow f \ left (\ hat {x} \ right) $.
Ponieważ $ \ alpha \ równoważnik f \ lewo (y_i \ prawo) \ równoważnik \ alfa + \ delta ^ k, \ alpha = \ Displaystyle \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} f \ lewo (y_i \ prawej) = f \ lewo ( \ hat {x} \ right) $
Zatem $ \ hat {x} $ jest rozwiązaniem minimalizującym.
Uwagi
Twierdzenie Weierstrassa musi spełniać dwa ważne warunki konieczne. Są to następujące -
Step 1 - Zbiór S powinien być zbiorem ograniczonym.
Rozważmy funkcję f \ left (x \ right) = x $.
Jest to zbiór nieograniczony i ma minima w dowolnym punkcie swojej domeny.
Zatem, aby uzyskać minima, S powinno być ograniczone.
Step 2 - Zestaw S powinien być zamknięty.
Rozważmy funkcję $ f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} $ w domenie \ left (0,1 \ right).
Ta funkcja nie jest zamknięta w danej domenie, nie ma też jej minimów.
Stąd, aby uzyskać minima, S powinno być zamknięte.