Optymalizacja wypukła - stożki

Niepusty zbiór C w $ \ mathbb {R} ^ n $ jest określany jako stożek z wierzchołkiem 0, jeśli $ x \ in C \ Rightarrow \ lambda x \ in C \ forall \ lambda \ geq 0 $.

Zbiór C jest wypukłym stożkiem, jeśli jest wypukły, podobnie jak stożek.

Na przykład $ y = \ left | x \ right | $ nie jest wypukłym stożkiem, ponieważ nie jest wypukły.

Ale $ y \ geq \ left | x \ right | $ jest wypukłym stożkiem, ponieważ jest zarówno wypukły jak stożek.

Note - Stożek C jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego $ x, y \ w C, x + y \ w C $.

Dowód

Ponieważ C jest stożkiem, dla $ x, y \ in C \ Rightarrow \ lambda x \ in C $ i $ \ mu y \ in C \: \ forall \: \ lambda, \ mu \ geq 0 $

C jest wypukłe, jeśli $ \ lambda x + \ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \: \ forall \: \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Ponieważ C jest stożkiem, $ \ lambda x \ w C $ i $ \ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \ Leftrightarrow x, y \ in C $

Zatem C jest wypukłe, jeśli $ x + y \ w C $

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli $ x_1, x_2 \ in C $, to $ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ in C, \ forall \ lambda_1, \ lambda_2 \ geq 0 $

Przykłady

• Stożkowa kombinacja nieskończonego zbioru wektorów w $ \ mathbb {R} ^ n $ jest stożkiem wypukłym.

• Każdy pusty zestaw jest wypukłym stożkiem.

• Każda funkcja liniowa jest wypukłym stożkiem.

• Ponieważ hiperpłaszczyzna jest liniowa, jest również wypukłym stożkiem.

• Zamknięte półprzestrzenie to również wypukłe stożki.

Note - Przecięcie dwóch wypukłych stożków jest wypukłym stożkiem, ale ich połączenie może, ale nie musi, być wypukłym stożkiem.