Funkcja pseudo wypukła

Niech $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ będzie funkcją różniczkowalną, a S będzie niepustym zbiorem wypukłym w $ \ mathbb {R} ^ n $, wtedy f jest pseudowypukłe, jeśli dla każdego $ x_1, x_2 \ in S $ z $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, mamy $ f \ left (x_2 \ right) \ geq f \ left ( x_1 \ right) $ lub równoważnie, jeśli $ f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right) $ to $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) ) <0 $

Funkcja pseudokończy

Niech $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ będzie funkcją różniczkowalną, a S będzie niepustym zbiorem wypukłym w $ \ mathbb {R} ^ n $, wtedy f jest pseudowypukłe, jeśli dla każdego $ x_1, x_2 \ in S $ z $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, mamy $ f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left ( x_1 \ right) $ lub równoważnie, jeśli $ f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right) $ to $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) )> 0 $

Uwagi

• Jeśli funkcja jest zarówno pseudowypukła, jak i pseudo-wypukła, wówczas nazywa się ją pseudoliniową.

• Różniczkowalna funkcja wypukła jest również pseudo wypukła.

• Funkcja pseudowypukła nie może być wypukła. Na przykład,

  $ f \ left (x \ right) = x + x ^ 3 $ nie jest wypukłe. Jeśli $ x_1 \ leq x_2, x_ {1} ^ {3} \ leq x_ {2} ^ {3} $

  Zatem $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) = \ left (1 + 3x_ {1} ^ {2} \ right) \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $

  I $ f \ left (x_2 \ right) -f \ left (x_1 \ right) = \ left (x_2-x_1 \ right) + \ left (x_ {2} ^ {3} -x_ {1} ^ {3 } \ right) \ geq 0 $

  $ \ Rightarrow f \ left (x_2 \ right) \ geq f \ left (x_1 \ right) $

  Tak więc jest pseudo wypukły.

  Funkcja pseudowypukła jest ściśle quasiconvex. Zatem każde lokalne minima pseudowypukłości są również minimami globalnymi.

Funkcja ściśle pseudo wypukła

Niech $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ będzie funkcją różniczkowalną, a S będzie niepustym zbiorem wypukłym w $ \ mathbb {R} ^ n $, wtedy f jest pseudowypukłe, jeśli dla każdego $ x_1, x_2 \ in S $ z $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, mamy $ f \ left (x_2 \ right)> f \ left (x_1) \ right) $ lub równoważnie, jeśli $ f \ left (x_1 \ right) \ geq f \ left (x_2 \ right) $ to $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) ) <0 $

Twierdzenie

Niech f będzie funkcją pseudo wypukłą i przypuśćmy, że $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $ dla jakiegoś $ \ hat {x} \ in S $, a następnie $ \ hat {x} $ jest optymalne rozwiązanie f nad S.

Dowód

Niech $ \ hat {x} $ będzie punktem krytycznym f, tj. $ \ Bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $

Ponieważ f jest funkcją pseudo wypukłą, dla $ x \ w S mamy $

$$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) \ left (x- \ hat {x} \ right) = 0 \ Rightarrow f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (x \ po prawej), \ forall x \ in S $$

Dlatego $ \ hat {x} $ jest globalnym optymalnym rozwiązaniem.

Uwaga

Jeśli f jest funkcją ściśle pseudo wypukłą, $ \ hat {x} $ jest unikalnym globalnym optymalnym rozwiązaniem.

Twierdzenie

Jeśli f jest różniczkowalną funkcją pseudowypukłą nad S, to f jest zarówno funkcją ściśle quasiconvex, jak i quasiconvex.

Uwagi

• Suma dwóch funkcji pseudowypukłych zdefiniowanych na zbiorze otwartym S $ \ mathbb {R} ^ n $ nie może być pseudo wypukła.

• Niech $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ będzie funkcją quasiconvex, a S będzie niepustym, wypukłym podzbiorem $ \ mathbb {R} ^ n $, to f jest pseudo wypukłe wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt krytyczny jest globalny minima f nad S.

• Niech S będzie niepustym wypukłym podzbiorem $ \ mathbb {R} ^ n $ i $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ będzie taką funkcją, że $ \ bigtriangledown f \ left (x \ right) \ neq 0 $ za każde $ x \ w S $, a następnie f jest pseudowypukłe wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją quasi-wypukłą.