Funkcja ściśle quasiconvex

Niech $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ i S będą niepustym zbiorem wypukłym w $ \ mathbb {R} ^ n $, to f jest ściśle quasicovex, jeśli dla każdego $ x_1, x_2 \ in S $ z $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $, mamy $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $

Uwagi

• Każda funkcja ściśle quasi-wypukła jest ściśle wypukła.
• Funkcja ściśle quasi-wypukła nie oznacza quasi-wypukłości.
• Funkcja ściśle quasiconvex może nie być silnie quasiconvex.
• Funkcja pseudowypukła jest funkcją ściśle quasikonwypukłą.

Twierdzenie

Niech $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ będzie funkcją ściśle quasiconvex, a S będzie niepustym zbiorem wypukłym w $ \ mathbb {R} ^ n $. Rozważ problem: $ min \: f \ left (x \ po prawej), x \ w S $. Jeśli $ \ hat {x} $ jest optymalnym rozwiązaniem lokalnym, to $ \ bar {x} $ jest optymalnym rozwiązaniem globalnym.

Dowód

Niech istnieje $ \ bar {x} \ w S $ takie, że $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ leq f \ left (\ hat {x} \ right) $

Ponieważ $ \ bar {x}, \ hat {x} \ in S $ i S jest zbiorem wypukłym, zatem

$$ \ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ in S, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$

Ponieważ $ \ hat {x} $ to lokalne minimum, $ f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, \ delta \ right) $

Ponieważ f jest ściśle quasiconvex.

$$ f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ right) <max \ left \ {f \ left (\ hat {x} \ right) , f \ left (\ bar {x} \ right) \ right \} = f \ left (\ hat {x} \ right) $$

Stąd jest to sprzeczność.

Funkcja ściśle quasi-jaskiniowa

Niech $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ i S będą niepustymi wypukłymi zbiorem w $ \ mathbb {R} ^ n $, to f jest ściśle quasicovex, jeśli dla każdego $ x_1, x_2 \ in S $ z $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $, mamy

$$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $$.

Przykłady

• $ f \ left (x \ right) = x ^ 2-2 $

  Jest to funkcja ściśle quasiconvex, ponieważ jeśli weźmiemy dowolne dwa punkty $ x_1, x_2 $ w domenie, które spełniają ograniczenia z definicji $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $ Gdy funkcja maleje na ujemnej osi x, a rośnie na dodatniej osi x ( ponieważ jest to parabola).

• $ f \ left (x \ right) = - x ^ 2 $

  Nie jest to funkcja ściśle quasiconvex, ponieważ jeśli weźmiemy $ x_1 = 1 $ i $ x_2 = -1 $ i $ \ lambda = 0.5 $, to $ f \ left (x_1 \ right) = - 1 = f \ left ( x_2 \ right) $ ale $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) = 0 $ Dlatego nie spełnia warunków określonych w definicji. Ale jest to funkcja quasi-jaskiniowa, ponieważ jeśli weźmiemy dowolne dwa punkty w domenie, które spełniają ograniczenia z definicji $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $. Ponieważ funkcja rośnie na ujemnej osi x, a maleje na dodatniej osi x.