Optymalizacja wypukła - kierunek

Niech S będzie zbiorem zamkniętym wypukłym w $ \ mathbb {R} ^ n $. Niezerowy wektor $ d \ in \ mathbb {R} ^ n $ nazywamy kierunkiem S, jeśli dla każdego $ x \ in S, x + \ lambda d \ in S, \ forall \ lambda \ geq 0. $

  • Dwa kierunki $ d_1 $ i $ d_2 $ z S są nazywane odrębnymi, jeśli $ d \ neq \ alpha d_2 $ dla $ \ alpha> 0 $.

  • Mówi się, że kierunek $ d $ z $ S $ jest kierunkiem ekstremalnym, jeśli nie można go zapisać jako dodatnia kombinacja liniowa dwóch różnych kierunków, tj. Jeśli $ d = \ lambda _1d_1 + \ lambda _2d_2 $ for $ \ lambda _1, \ lambda _2> 0 $, a następnie $ d_1 = \ alpha d_2 $ dla jakiegoś $ \ alpha $.

  • Każdy inny kierunek można wyrazić jako dodatnią kombinację skrajnych kierunków.

  • Dla zbioru wypukłego $ S $ kierunek d taki, że $ x + \ lambda d \ in S $ dla jakiegoś $ x \ in S $ i wszystkich $ \ lambda \ geq0 $ nazywa się recessive za $ S $.

  • Niech E będzie zbiorem punktów, w których pewna funkcja $ f: S \ rightarrow $ nad niepustym zbiorem wypukłym S w $ \ mathbb {R} ^ n $ osiąga swoje maksimum, a następnie $ E $ nazywa się $ S $. Kierunki odsłoniętych twarzy nazywane są kierunkami odsłoniętymi.

  • Promień, którego kierunek jest skrajnym kierunkiem, nazywany jest promieniem ekstremalnym.

Przykład

Rozważmy funkcję $ f \ left (x \ right) = y = \ left | x \ right | $, gdzie $ x \ in \ mathbb {R} ^ n $. Niech d będzie wektorem jednostkowym w $ \ mathbb {R} ^ n $

Wówczas d jest kierunkiem funkcji f, ponieważ dla dowolnego $ \ lambda \ geq 0, x + \ lambda d \ in f \ left (x \ right) $.