Funkcja silnie quasiconvex

Niech $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ i S będą niepustym zbiorem wypukłym w $ \ mathbb {R} ^ n $, to f jest funkcją silnie quasiconvex, jeśli dla dowolnego $ x_1, x_2 \ in S $ z $ \ left (x_1 \ right) \ neq \ left (x_2 \ right) $, mamy $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $

Twierdzenie

Funkcja quasiconvex $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ na niepustym zbiorze wypukłym S w $ \ mathbb {R} ^ n $ jest funkcją silnie quasiconvex, jeśli nie jest stała na segmencie linii łączącym dowolny punkty S.

Dowód

Niech f jest funkcją quasiconvex i nie jest stała na odcinku prostym łączącym dowolne punkty S.

Załóżmy, że f nie jest funkcją silnie quasiconvex.

Istnieją $ x_1, x_2 \ in S $ z $ x_1 \ neq x_2 $ takie, że

$$ f \ left (z \ right) \ geq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall z = \ lambda x_1 + \ left (1 - \ lambda \ right) x_2, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$

$ \ Rightarrow f \ left (x_1 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ i $ f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $

Ponieważ f nie jest stała w $ \ left [x_1, z \ right] $ i $ \ left [z, x_2 \ right] $

Więc istnieje $ u \ in \ left [x_1, z \ right] $ i $ v = \ left [z, x_2 \ right] $

$$ \ Rightarrow u = \ mu_1x_1 + \ left (1- \ mu_1 \ right) z, v = \ mu_2z + \ left (1- \ mu_2 \ right) x_2 $$

Ponieważ f jest quasiconvex,

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (z \ right) \ right \} = f \ left (z \ right) \ : \: and \: \: f \ left (v \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (z \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $$

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (z \ right) \: \: and \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ $

$$ \ Rightarrow max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $$

Ale z jest dowolnym punktem między u i v, jeśli którykolwiek z nich jest równy, to f jest stała.

Dlatego $ max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $

co jest sprzeczne z quasi-wypukłością f jako $ z \ in \ left [u, v \ right] $.

Stąd f jest funkcją silnie quasiconvex.

Twierdzenie

Niech $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ i S będą niepustym zbiorem wypukłym w $ \ mathbb {R} ^ n $. Jeśli $ \ hat {x} $ jest lokalnie optymalnym rozwiązaniem, to $ \ hat {x} $ jest unikalnym globalnym optymalnym rozwiązaniem.

Dowód

Ponieważ silna funkcja quasiconvex jest również funkcją ściśle quasiconvex, zatem optymalnym rozwiązaniem lokalnym jest rozwiązanie optymalne globalnie.

Uniqueness - Niech f osiągnie globalne rozwiązanie optymalne w dwóch punktach $ u, v \ w S $

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (x \ right). \ Forall x \ in S \: \: and \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ left (x \ right). \ forall x \ in S $$

Jeśli u jest globalnym optymalnym rozwiązaniem, to $ f \ left (u \ right) \ leq f \ left (v \ right) $ i $ f \ left (v \ right) \ leq f \ left (u \ right) \ Rightarrow f \ left (u \ right) = f \ left (v \ right) $

$$ f \ left (\ lambda u + \ left (1- \ lambda \ right) v \ right) <max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} = f \ left (u \ right) $$

co jest sprzecznością.

Dlatego istnieje tylko jedno globalne optymalne rozwiązanie.

Uwagi

• Funkcja silnie quasiconvex jest również funkcją ściśle quasiconvex.
• Funkcja ściśle wypukła może, ale nie musi, być silnie quasikonwypukła.
• Różniczkowalny ściśle wypukły jest silnie quasiconwypukły.