Optymalizacja wypukła - nierówność Jensena

Niech S będzie niepustym, wypukłym zbiorem w $ \ mathbb {R} ^ n $ i $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $. Wtedy f jest wypukłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby całkowitej $ k> 0 $

$ x_1, x_2, ... x_k \ w S, \ Displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ k \ lambda_i = 1, \ lambda_i \ geq 0, \ forall i = 1,2, s, k $, mamy $ f \ lewo (\ Displaystyle \ sum \ limity_ {i = 1} ^ k \ lambda_ix_i \ po prawej) \ równoważnik \ Displaystyle \ suma \ limity_ {i = 1} ^ k \ lambda _if \ lewo (x \ po prawej) $

Dowód

Przez indukcję k.

$ k = 1: x_1 \ in S $ Dlatego $ f \ left (\ lambda_1 x_1 \ right) \ leq \ lambda_i f \ left (x_1 \ right) $ ponieważ $ \ lambda_i = 1 $.

$ k = 2: \ lambda_1 + \ lambda_2 = 1 $ i $ x_1, x_2 \ in S $

Dlatego $ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ w S $

Stąd z definicji $ f \ left (\ lambda_1 x_1 + \ lambda_2 x_2 \ right) \ leq \ lambda _1f \ left (x_1 \ right) + \ lambda _2f \ left (x_2 \ right) $

Niech stwierdzenie jest prawdziwe dla $ n <k $

W związku z tym,

$ f \ left (\ lambda_1 x_1 + \ lambda_2 x_2 + .... + \ lambda_k x_k \ right) \ leq \ lambda_1 f \ left (x_1 \ right) + \ lambda_2 f \ left (x_2 \ right) + ... + \ lambda_k f \ left (x_k \ right) $

$ k = n + 1: $ Niech $ x_1, x_2, .... x_n, x_ {n + 1} \ w S $ i $ \ Displaystyle \ suma \ limity_ {i = 1} ^ {n + 1} = 1 $

Dlatego $ \ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ....... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ in S $

zatem $ f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) $

$ = f \ left (\ left (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n \ right) \ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + \ mu_3} + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) $

$ = f \ left (\ mu_y + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) $, gdzie $ \ mu = \ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n $ i

$ y = \ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} $ a także $ \ mu_1 + \ mu_ {n + 1} = 1, y \ in S $

$ \ Rightarrow f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq \ mu f \ left (y \ right) + \ mu_ {n +1} f \ left (x_ {n + 1} \ right) $

$ \ Rightarrow f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq $

$ \ left (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n \ right) f \ left (\ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} \ right) + \ mu_ {n + 1} f \ left (x_ {n + 1} \ right) $

$ \ Rightarrow f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq \ left (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n \ po prawej) $

$ \ left [\ frac {\ mu_1} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} f \ left (x_1 \ right) + ... + \ frac {\ mu_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} f \ left (x_n \ right) \ right] + \ mu_ {n + 1} f \ left (x_ {n + 1} \ right) $

$ \ Rightarrow f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq \ mu_1f \ left (x_1 \ right) + \ mu_2f \ left ( x_2 \ right) + .... $

Stąd udowodnione.