Twierdzenie Carateodory

Niech S będzie dowolnym zbiorem w $ \ mathbb {R} ^ n $ .Jeśli $ x \ in Co \ left (S \ right) $, to $ x \ in Co \ left (x_1, x_2, ...., x_n, x_ {n + 1} \ right) $.

Dowód

Ponieważ $ x \ in Co \ left (S \ right) $, to $ x $ jest reprezentowane przez wypukłą kombinację skończonej liczby punktów w S, tj.

$ x = \ Displaystyle \ suma \ limity_ {j = 1} ^ k \ lambda_jx_j, \ Displaystyle \ sum \ limit_ {j = 1} ^ k \ lambda_j = 1, \ lambda_j \ geq 0 $ i $ x_j \ w S, \ forall j \ in \ left (1, k \ right) $

Jeśli $ k \ leq n + 1 $, otrzymany wynik jest oczywiście prawdziwy.

Jeśli $ k \ geq n + 1 $, to $ \ left (x_2-x_1 \ right) \ left (x_3-x_1 \ right), ....., \ left (x_k-x_1 \ right) $ są zależne liniowo .

$ \ Rightarrow \ istnieje \ mu _j \ in \ mathbb {R}, 2 \ równoważnik j \ równoważnik k $ (nie wszystkie zero) takie, że $ \ Displaystyle \ suma \ limity_ {j = 2} ^ k \ mu _j \ lewo (x_j-x_1 \ right) = 0 $

Zdefiniuj $ \ mu_1 = - \ Displaystyle \ sum \ limity_ {j = 2} ^ k \ mu _j $, a następnie $ \ Displaystyle \ suma \ limity_ {j = 1} ^ k \ mu_j x_j = 0, \ displaystyle \ sum \ limity_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $

gdzie nie wszystkie $ \ mu_j $ są równe zeru. Ponieważ $ \ Displaystyle \ suma \ limity_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $, przynajmniej jeden z $ \ mu_j> 0,1 \ równoważnik j \ równoważnik k $

Wtedy $ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ lambda_j x_j + 0 $

$ x = \ Displaystyle \ suma \ limity_ {1} ^ k \ lambda_j x_j- \ alpha \ displaystyle \ sum \ limit_ {1} ^ k \ mu_j x_j $

$ x = \ Displaystyle \ suma \ limity_ {1} ^ k \ lewo (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ prawej) x_j $

Wybierz $ \ alpha $ tak, że $ \ alpha = min \ left \ {\ frac {\ lambda_j} {\ mu_j}, \ mu_j \ geq 0 \ right \} = \ frac {\ lambda_j} {\ mu _j}, $ dla jakiegoś $ i = 1,2, ..., k $

Jeśli $ \ mu_j \ leq 0, \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0 $

Jeśli $ \ mu_j> 0, to \: \ frac {\ lambda _j} {\ mu_j} \ geq \ frac {\ lambda_i} {\ mu _i} = \ alpha \ Rightarrow \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0, j = 1,2, ... k $

W szczególności $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $, z definicji $ \ alpha $

$ x = \ Displaystyle \ suma \ limit_ {j = 1} ^ k \ lewo (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ prawej) x_j $, gdzie

$ \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq0 $ i $ \ displaystyle \ sum \ limit_ {j = 1} ^ k \ lewo (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ prawej) = 1 $ i $ \ lambda_i- \ alfa \ mu_i = 0 $

Zatem x można przedstawić jako wypukłą kombinację co najwyżej (k-1) punktów.

Ten proces redukcji można powtarzać, aż x zostanie przedstawione jako wypukła kombinacja (n + 1) elementów.