Optymalizacja wypukła - Norm

Norma to funkcja, która nadaje wektorowi lub zmiennej ściśle dodatnią wartość.

Norma to funkcja $ f: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $

Podstawowe cechy normy to:

Niech $ X $ będzie takim wektorem, że $ X \ in \ mathbb {R} ^ n $

$ \ left \ | x \ right \ | \ geq 0 $
$ \ left \ | x \ right \ | = 0 \ Leftrightarrow x = 0 \ forall x \ in X $
$ \ left \ | \ alpha x \ right \ | = \ left | \ alpha \ right | \ left \ | x \ right \ | \ forall \: x \ in X i \: \ alpha \: is \: a \: skalar $
$ \ left \ | x + y \ right \ | \ leq \ left \ | x \ right \ | + \ left \ | y \ right \ | \ dla wszystkich x, y \ w X $
$ \ left \ | xy \ right \ | \ geq \ left \ | \ left \ | x \ right \ | - \ left \ | y \ right \ | \ right \ | $

Z definicji norma jest obliczana w następujący sposób -

$ \ left \ | x \ prawo \ | _1 = \ Displaystyle \ suma \ limity_ {i = 1} ^ n \ lewo | x_i \ right | $
$ \ left \ | x \ prawo \ | _2 = \ lewo (\ Displaystyle \ suma \ limity_ {i = 1} ^ n \ lewo | x_i \ prawo | ^ 2 \ prawo) ^ {\ Frac {1} {2}} $
$ \ left \ | x \ prawo \ | _p = \ lewo (\ Displaystyle \ suma \ limity_ {i = 1} ^ n \ lewo | x_i \ prawo | ^ p \ prawo) ^ {\ Frac {1} {p}}, 1 \ równoważnik p \ leq \ infty $

Norma jest funkcją ciągłą.

Dowód

Z definicji, jeśli $ x_n \ rightarrow x $ in $ X \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $, to $ f \ left (x \ right) $ jest funkcją stałą.

Niech $ f \ left (x \ right) = \ left \ | x \ right \ | $

Ponieważ $ x_n \ rightarrow x $, więc $ \ left \ | x_n-x \ right \ | \ rightarrow 0 $

Dlatego $ \ left | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | \ leq 0 \ Rightarrow \ left | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | = 0 \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $

Stąd norma jest funkcją ciągłą.