Konwolucja i korelacja

Skręt

Konwolucja to operacja matematyczna używana do wyrażenia relacji między wejściem a wyjściem systemu LTI. Odnosi się do wejścia, wyjścia i odpowiedzi impulsowej systemu LTI jako

$$ y (t) = x (t) * h (t) $$

Gdzie y (t) = wyjście LTI

x (t) = wejście LTI

h (t) = odpowiedź impulsowa LTI

Istnieją dwa rodzaje zwojów:

  • Ciągły splot

  • Dyskretny splot

Ciągła konwolucja

$ y (t) \, \, = x (t) * h (t) $

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $

(lub)

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t - \ tau) h (\ tau) d \ tau $

Dyskretne splot

$ y (n) \, \, = x (n) * h (n) $

$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (k) h (nk) $

(lub)

$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (nk) h (k) $

Używając splotu, możemy znaleźć odpowiedź stanu zerowego układu.

Dekonwolucja

Dekonwolucja jest procesem odwrotnym do splotu szeroko stosowanym w przetwarzaniu sygnałów i obrazu.

Właściwości splotu

Właściwość przemienna

$ x_1 (t) * x_2 (t) = x_2 (t) * x_1 (t) $

Własność dystrybucyjna

$ x_1 (t) * [x_2 (t) + x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] + [x_1 (t) * x_3 (t)] $

Łączność

$ x_1 (t) * [x_2 (t) * x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] * x_3 (t) $

Przesunięcie własności

$ x_1 (t) * x_2 (t) = y (t) $

$ x_1 (t) * x_2 (t-t_0) = y (t-t_0) $

$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t) = y (t-t_0) $

$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t-t_1) = y (t-t_0-t_1) $

Konwolucja z impulsem

$ x_1 (t) * \ delta (t) = x (t) $

$ x_1 (t) * \ delta (t-t_0) = x (t-t_0) $

Splot kroków jednostkowych

$ u (t) * u (t) = r (t) $

$ u (t-T_1) * u (t-T_2) = r (t-T_1-T_2) $

$ u (n) * u (n) = [n + 1] u (n) $

Właściwość skalowania

Jeśli $ x (t) * h (t) = y (t) $

wtedy $ x (małpa) * h (godzina) = {1 \ ponad | a |} y (małpa) $

Zróżnicowanie wyjścia

jeśli $ y (t) = x (t) * h (t) $

wtedy $ {dy (t) \ over dt} = {dx (t) \ over dt} * h (t) $

lub

$ {dy (t) \ ponad dt} = x (t) * {dh (t) \ ponad dt} $

Note:

  • Splot dwóch sekwencji przyczynowych jest przyczynowy.

  • Konwolucja dwóch sekwencji antyprzyczynowych jest antyprzyczynową.

  • Splot dwóch prostokątów o różnej długości daje trapez.

  • Splot dwóch prostokątów o równej długości daje trójkąt.

  • Funkcja sama zawiła jest równa całkowaniu tej funkcji.

Example: Wiesz, że $ u (t) * u (t) = r (t) $

Zgodnie z powyższą uwagą, $ u (t) * u (t) = \ int u (t) dt = \ int 1dt = t = r (t) $

Tutaj otrzymujesz wynik po prostu całkując $ u (t) $.

Granice sygnału zawiłego

Jeśli dwa sygnały są splątane, wynikowy sygnał splątany ma następujący zakres:

Sum of lower limits < t < sum of upper limits

Np. Znajdź zakres splotu sygnałów podany poniżej

Tutaj mamy dwa prostokąty o nierównej długości do skręcenia, co daje trapez.

Zakres zagmatwanego sygnału to:

Sum of lower limits < t < sum of upper limits

-1 + -2 $ <t <2 + 2 $

-3 $ <t <4 $

Stąd wynik jest trapezem z okresem 7.

Obszar złożonego sygnału

Obszar pod skręconym sygnałem jest określony wzorem $ A_y = A_x A_h $

Gdzie A x = obszar pod sygnałem wejściowym

A h = obszar pod odpowiedzią impulsową

A y = obszar pod sygnałem wyjściowym

Proof: $ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $

Weźmy integrację po obu stronach

$ \ int y (t) dt \, \, \, = \ int \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau dt $

$ = \ int x (\ tau) d \ tau \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (t- \ tau) dt $

Wiemy, że obszar każdego sygnału jest całkowaniem samego sygnału.

$ \ dlatego A_y = A_x \, ​​A_h $

Komponent DC

Składowa stała dowolnego sygnału jest podawana przez

$ \ text {komponent DC} = {\ text {obszar sygnału} \ over \ text {okres sygnału}} $

Np .: jaka jest składowa prądu stałego wynikowego skręconego sygnału podana poniżej?

Tutaj obszar x 1 (t) = długość × szerokość = 1 × 3 = 3

powierzchnia x 2 (t) = długość × szerokość = 1 × 4 = 4

obszar sygnału zawiłego = pole x 1 (t) × pole x 2 (t)

= 3 × 4 = 12

Czas trwania skręconego sygnału = suma dolnych granic <t <suma górnych granic

= -1 + -2 <t <2 + 2

= -3 <t <4

Period=7

$ \ zatem składnik $ Dc skręconego sygnału = $ \ text {obszar sygnału} \ over \ text {okres sygnału} $

Składnik DC = {12 \ ponad 7} $

Dyskretne splot

Zobaczmy, jak obliczyć dyskretny splot:

i. To calculate discrete linear convolution:

Skręcone dwie sekwencje x [n] = {a, b, c} & h [n] = [e, f, g]

Skręcone wyjście = [ea, eb + fa, ec + fb + ga, fc + gb, gc]

Note: jeśli dowolne dwie sekwencje mają odpowiednio m, n liczby próbek, to wynikowa skręcona sekwencja będzie miała [m + n-1] próbek.

Example: Skręcone dwie sekwencje x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2}

Wynik skręcony y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6]

= [-1, 0, 3, 10, 6]

Tutaj x [n] zawiera 3 próbki, a h [n] również ma 3 próbki, więc wynikowa sekwencja ma 3 + 3-1 = 5 próbek.

ii. To calculate periodic or circular convolution:

Okresowy splot jest ważny dla dyskretnej transformaty Fouriera. Aby obliczyć splot okresowy, wszystkie próbki muszą być rzeczywiste. Okresowy lub cykliczny splot jest również nazywany szybkim splotem.

Jeśli dwie sekwencje odpowiednio o długości m, n są splatane przy użyciu splotu kołowego, to otrzymana sekwencja ma maks. [M, n] próbek.

Np .: splot dwóch sekwencji x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2} przy użyciu splotu kołowego

Wyjście normalne skręcone y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6].

= [-1, 0, 3, 10, 6]

Tutaj x [n] zawiera 3 próbki, a h [n] również 3 próbki. Stąd wynikowa sekwencja otrzymana przez splot kołowy musi mieć max [3,3] = 3 próbki.

Teraz, aby otrzymać okresowy wynik splotu, pierwsze 3 próbki [okres wynosi 3] normalnego splotu są takie same, następne dwie próbki są dodawane do pierwszych próbek, jak pokazano poniżej:

$ \ czyli $ Okrągły wynik splotu $ y [n] = [9 \ quad 6 \ quad 3] $

Korelacja

Korelacja jest miarą podobieństwa między dwoma sygnałami. Ogólny wzór na korelację to

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) dt $$

Istnieją dwa rodzaje korelacji:

  • Autokorelacja

  • Korelacja Cros

Funkcja autokorelacji

Definiuje się go jako korelację sygnału z samym sobą. Funkcja autokorelacji jest miarą podobieństwa między sygnałem a jego wersją opóźnioną w czasie. Jest reprezentowany przez R ($ \ tau $).

Rozważmy sygnały x (t). Funkcja autokorelacji x (t) z jej opóźnioną w czasie wersją jest określona wzorem

$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t + \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$

Gdzie $ \ tau $ = parametr wyszukiwania lub skanowania lub opóźnienia.

Jeśli sygnał jest złożony, funkcja autokorelacji jest podawana przez

$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x * (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[ + ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t + \ tau) x * (t) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift] } $$

Właściwości funkcji autokorelacji sygnału energetycznego

  • Korelacja automatyczna wykazuje symetrię sprzężoną, tj. R ($ \ tau $) = R * (- $ \ tau $)

  • Funkcja autokorelacji sygnału energii w miejscu pochodzenia, tj. Przy $ \ tau $ = 0 jest równa całkowitej energii tego sygnału, która jest podana jako:

    R (0) = E = $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, x (t) \, | ^ 2 \, dt $

  • Funkcja autokorelacji $ \ infty {1 \ over \ tau} $,

  • Funkcja autokorelacji jest maksymalna przy $ \ tau $ = 0 tj. | R ($ \ tau $) | ≤ R (0) ∀ $ \ tau $

  • Funkcja autokorelacji i gęstości widmowe energii są parami transformacji Fouriera. to znaczy

    $ FT \, [R (\ tau)] = \ Psi (\ omega) $

    $ \ Psi (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $

  • $ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $

Funkcja autokorelacji sygnałów mocy

Funkcja autokorelacji okresowego sygnału mocy z okresem T jest określona wzorem

$$ R (\ tau) = \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ ponad T} \ int _ {{- T \ ponad 2}} ^ {{T \ ponad 2}} \, x (t) x * (t- \ tau) dt $$

Nieruchomości

  • Autokorelacja sygnału mocy wykazuje symetrię sprzężoną, tj. $ R (\ tau) = R * (- \ tau) $

  • Funkcja autokorelacji sygnału mocy przy $ \ tau = 0 $ (w miejscu pochodzenia) jest równa całkowitej mocy tego sygnału. to znaczy

    $ R (0) = \ rho $

  • Funkcja autokorelacji sygnału mocy $ \ infty {1 \ over \ tau} $,

  • Funkcja autokorelacji sygnału mocy jest maksymalna przy $ \ tau $ = 0 tj.

    $ | R (\ tau) | \ leq R (0) \, \ forall \, \ tau $

  • Funkcja autokorelacji i gęstości widmowe mocy są parami transformacji Fouriera. to znaczy,

    $ FT [R (\ tau)] = s (\ omega) $

    $ s (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $

  • $ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $

Spektrum gęstości

Zobaczmy widma gęstości:

Widmo gęstości energii

Widmo gęstości energii można obliczyć za pomocą wzoru:

$$ E = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, x (f) \, | ^ 2 df $$

Spektrum gęstości mocy

Widmo gęstości mocy można obliczyć za pomocą wzoru:

$$ P = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \, | \, C_n | ^ 2 $$

Funkcja korelacji krzyżowej

Korelacja krzyżowa jest miarą podobieństwa między dwoma różnymi sygnałami.

Rozważ dwa sygnały x 1 (t) i x 2 (t). Korelacja krzyżowa tych dwóch sygnałów $ R_ {12} (\ tau) $ jest określona wzorem

$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$

Jeśli sygnały są złożone, to

$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $

$$ R_ {21} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t) x_1 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t + \ tau) x_1 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $

Własności funkcji korelacji krzyżowej sygnałów energii i mocy

  • Autokorelacja wykazuje symetrię sprzężoną, tj. $ R_ {12} (\ tau) = R ^ * _ {21} (- \ tau) $.

  • Korelacja krzyżowa nie jest przemienna jak splot tj

    $$ R_ {12} (\ tau) \ neq R_ {21} (- \ tau) $$

  • Jeśli R 12 (0) = 0 oznacza, że ​​jeśli $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ * (t) dt = 0 $, to mówi się, że oba sygnały są ortogonalne.

    Dla sygnału mocy, jeśli $ \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x ^ * ( t) \, dt $ wtedy mówi się, że dwa sygnały są ortogonalne.

  • Funkcja korelacji krzyżowej odpowiada zwielokrotnieniu widm jednego sygnału do zespolonej sprzężonej widma innego sygnału. to znaczy

    $$ R_ {12} (\ tau) \ leftarrow \ rightarrow X_1 (\ omega) X_2 ^ * (\ omega) $$

    Nazywa się to również twierdzeniem o korelacji.

Twierdzenie Parsevala

Twierdzenie Parsevala dotyczące sygnałów energetycznych stwierdza, że ​​całkowitą energię w sygnale można uzyskać z widma sygnału jako

$ E = {1 \ ponad 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | X (\ omega) | ^ 2 d \ omega $

Note: Jeśli sygnał ma energię E, to wersja tego sygnału x (at) ze skalą czasu ma energię E / a.