Twierdzenie o próbkowaniu sygnałów

Statement:Ciągły sygnał czasu może być reprezentowany w jego próbek przy pobieraniu próbek i częstotliwość f mogą być odzyskane z powrotem _s jest większy niż lub równy dwukrotności składnika o najwyższej częstotliwości sygnału komunikatu. to znaczy

$$ f_s \ geq 2 f_m. $$

Proof:Rozważ ciągły sygnał czasu x (t). Widmo x (t) jest pasmem ograniczonym do f _m Hz, czyli widmo x (t) wynosi zero dla | ω |> ω _m .

Próbkowania sygnału wejściowego x (t) można uzyskać przez pomnożenie x (t) za pomocą impulsów hemibursztynianu kolejowego (t) w okresie T _y . Wyjściem mnożnika jest dyskretny sygnał zwany sygnałem próbkowanym, który jest reprezentowany przez y (t) na poniższych diagramach:

Tutaj można zauważyć, że próbkowany sygnał zajmuje okres impulsu. Proces pobierania próbek można wyjaśnić następującym wyrażeniem matematycznym:

$ \ text {Próbkowany sygnał} \, y (t) = x (t). \ delta (t) \, \, ... \, ... (1) $

Przedstawienie trygonometrycznego szeregu Fouriera $ \ delta $ (t) jest podane przez

$ \ delta (t) = a_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_n \ cos⁡ n \ omega_s t + b_n \ sin⁡ n \ omega_s t) \, \, ... \ ,. .. (2) $

Gdzie $ a_0 = {1 \ ponad T_s} \ int _ {- T \ ponad 2} ^ {T \ ponad 2} \ delta (t) dt = {1 \ ponad T_s} \ delta (0) = {1 \ ponad T_s } $

$ a_n = {2 \ ponad T_s} \ int _ {- T \ ponad 2} ^ {T \ ponad 2} \ delta (t) \ cos n \ omega_s \, dt = {2 \ ponad T_2} \ delta (0) \ cos n \ omega_s 0 = {2 \ ponad T} $

$ b_n = {2 \ ponad T_s} \ int _ {- T \ ponad 2} ^ {T \ ponad 2} \ delta (t) \ sin⁡ n \ omega_s t \, dt = {2 \ ponad T_s} \ delta ( 0) \ sin⁡ n \ omega_s 0 = 0 $

Zastąp powyższe wartości w równaniu 2.

$ \ dlatego \, \ delta (t) = {1 \ ponad T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ({2 \ ponad T_s} \ cos ⁡ n \ omega_s t + 0) $

Podstaw δ (t) w równaniu 1.

$ \ do y (t) = x (t). \ delta (t) $

$ = x (t) [{1 \ ponad T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ({2 \ ponad T_s} \ cos n \ omega_s t)] $

$ = {1 \ ponad T_s} [x (t) + 2 \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (\ cos n \ omega_s t) x (t)] $

$ y (t) = {1 \ ponad T_s} [x (t) + 2 \ cos \ omega_s tx (t) + 2 \ cos 2 \ omega_st.x (t) + 2 \ cos 3 \ omega_s tx (t) \, ... \, ... \,] $

Weź transformację Fouriera po obu stronach.

$ Y (\ omega) = {1 \ ponad T_s} [X (\ omega) + X (\ omega- \ omega_s) + X (\ omega + \ omega_s) + X (\ omega-2 \ omega_s) + X (\ omega + 2 \ omega_s) + \, ...] $

$ \ dlatego \, \, Y (\ omega) = {1 \ ponad T_s} \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} X (\ omega - n \ omega_s) \ quad \ quad gdzie \, \ , n = 0, \ pm1, \ pm2, ... $

Aby zrekonstruować x (t), musisz odzyskać widmo sygnału wejściowego X (ω) z próbkowanego widma sygnału Y (ω), co jest możliwe, gdy nie ma nakładania się między cyklami Y (ω).

Możliwość próbkowanego widma częstotliwości w różnych warunkach obrazują poniższe wykresy:

Efekt aliasingu

Nakładający się region w przypadku niepełnego próbkowania reprezentuje efekt aliasingu, który można usunąć za pomocą

• biorąc pod uwagę f _s > 2f _m

• Używając filtrów antyaliasingowych.