Transformaty Fouriera
Główną wadą szeregu Fouriera jest to, że ma on zastosowanie tylko do sygnałów okresowych. Istnieją pewne naturalnie wytwarzane sygnały, takie jak nieokresowe lub aperiodyczne, których nie możemy przedstawić za pomocą szeregów Fouriera. Aby przezwyciężyć tę wadę, Fourier opracował model matematyczny do przekształcania sygnałów z domeny czasu (lub przestrzeni) do domeny częstotliwości i odwrotnie, który nazywa się „transformacją Fouriera”.
Transformata Fouriera ma wiele zastosowań w fizyce i inżynierii, takich jak analiza systemów LTI, RADAR, astronomia, przetwarzanie sygnałów itp.
Wyprowadzenie transformaty Fouriera z szeregu Fouriera
Rozważmy okresowy sygnał f (t) z okresem T. Złożona reprezentacja f (t) w szeregach Fouriera jest podana jako
$$ f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t} $$
$$ \quad \quad \quad \quad \quad = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j {2\pi \over T_0} kt} ... ... (1) $$
Pozwolić ${1 \over T_0} = \Delta f$, wtedy równanie 1 staje się
$f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j2\pi k \Delta ft} ... ... (2) $
ale wiesz o tym
$a_k = {1\over T_0} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j k\omega_0 t} dt$
Podstaw w równaniu 2.
(2) $ \Rightarrow f(t) = \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} {1 \over T_0} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j k\omega_0 t} dt\, e^{j2\pi k \Delta ft} $
Pozwolić $t_0={T\over2}$
$ = \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} [ \int_{-T\over2}^{T\over2} f(t) e^{-j2 \pi k \Delta ft} dt ] \, e^{j2 \pi k \Delta ft}.\Delta f $
W granicach jak $T \to \infty, \Delta f$ podejście różnicowe $df, k \Delta f$ staje się zmienną ciągłą $f$a sumowanie staje się integracją
$$ f(t) = lim_{T \to \infty} \left\{ \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} [ \int_{-T\over2}^{T\over2} f(t) e^{-j2 \pi k \Delta ft} dt ] \, e^{j2 \pi k \Delta ft}.\Delta f \right\} $$
$$ = \int_{-\infty}^{\infty} [ \int_{-\infty}^{\infty}\,f(t) e^{-j2\pi ft} dt] e^{j2\pi ft} df $$
$$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\, F[\omega] e^{j\omega t} d \omega$$
$\text{Where}\,F[\omega] = [ \int_{-\infty}^{\infty}\, f(t) e^{-j2 \pi ft} dt]$
Transformacja Fouriera sygnału $$f(t) = F[\omega] = [\int_{-\infty}^{\infty}\, f(t) e^{-j\omega t} dt]$$
Odwrotna transformata Fouriera jest $$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\,F[\omega] e^{j\omega t} d \omega$$
Transformacja Fouriera podstawowych funkcji
Przejdźmy przez transformację Fouriera podstawowych funkcji:
FT funkcji GATE
$$F[\omega] = AT Sa({\omega T \over 2})$$
FT funkcji impulsu
$FT [\omega(t) ] = [\int_{- \infty}^{\infty} \delta (t) e^{-j\omega t} dt] $
$\quad \quad \quad \quad = e^{-j\omega t}\, |\, t = 0 $
$\quad \quad \quad \quad = e^{0} = 1 $
$\quad \therefore \delta (\omega) = 1 $
FT funkcji kroku jednostkowego:
$U(\omega) = \pi \delta (\omega)+1/j\omega$
FT wykładniczych
$ e^{-at}u(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} 1/(a+jω)$
$ e^{-at}u(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} 1/(a+j\omega )$
$ e^{-a\,|\,t\,|} \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} {2a \over {a^2+ω^2}}$
$ e^{j \omega_0 t} \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} \delta (\omega - \omega_0)$
FT funkcji Signum
$ sgn(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} {2 \over j \omega }$
Warunki istnienia transformacji Fouriera
Dowolną funkcję f (t) można przedstawić za pomocą transformaty Fouriera tylko wtedy, gdy funkcja spełnia warunki Dirichleta. to znaczy
Funkcja f (t) ma skończoną liczbę maksimów i minimów.
Musi istnieć skończona liczba nieciągłości w sygnale f (t) w danym przedziale czasu.
Musi być absolutnie integrowalna w danym przedziale czasu, tj
$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, f (t) | \, dt <\ infty $
Dyskretne transformaty Fouriera w czasie (DTFT)
Dyskretna transformata Fouriera (DTFT) lub transformata Fouriera dyskretnej sekwencji czasowej x [n] jest reprezentacją sekwencji w postaci złożonej sekwencji wykładniczej $e^{j\omega n}$.
Sekwencja DTFT x [n] jest określona przez
$$ X(\omega) = \Sigma_{n= -\infty}^{\infty} x(n)e^{-j \omega n} \,\, ...\,... (1) $$
Tutaj X (ω) jest złożoną funkcją zmiennej częstotliwości rzeczywistej ω i można ją zapisać jako
$$ X(\omega) = X_{re}(\omega) + jX_{img}(\omega) $$
Gdzie X re (ω), X img (ω) są odpowiednio rzeczywistą i urojoną częścią X (ω).
$$ X_{re}(\omega) = |\, X(\omega) | \cos\theta(\omega) $$
$$ X_{img}(\omega) = |\, X(\omega) | \sin\theta(\omega) $$
$$ |X(\omega) |^2 = |\, X_{re} (\omega) |^2+ |\,X_{im} (\omega) |^2 $$
X (ω) można również przedstawić jako $ X(\omega) = |\,X(\omega) | e^{j\theta (ω)} $
Gdzie $\theta(\omega) = arg{X(\omega) } $
$|\,X(\omega) |, \theta(\omega)$ nazywane są widmami wielkości i fazy X (ω).
Odwrotna transformacja Fouriera w czasie dyskretnym
$$ x(n) = { 1 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(\omega) e^{j \omega n} d\omega \,\, ...\,... (2)$$
Warunek konwergencji:
Nieskończony szereg w równaniu 1 może być zbieżny lub nie. x (n) jest absolutnie sumowalne.
$$ \ text {when} \, \, \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | \, x (n) | \, <\ infty $$
Absolutnie sumowalna sekwencja zawsze ma skończoną energię, ale sekwencja o skończonej energii niekoniecznie musi być absolutnie sumowalna.