Właściwości szeregu Fouriera

Oto właściwości szeregu Fouriera:

Właściwość liniowości

Jeśli $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} f_ {xn} $ & $ y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} f_ {yn} $

to własność liniowości stwierdza, że

$ \ text {a} \, x (t) + \ text {b} \, y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} \ text {a} \, f_ {xn} + \ text {b} \, f_ {yn} $

Właściwość przesunięcia w czasie

Jeśli $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} f_ {xn} $

następnie właściwość przesuwająca się w czasie stwierdza, że

$ x (t-t_0) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} e ^ {- jn \ omega_0 t_0} f_ {xn} $

Właściwość przesunięcia częstotliwości

Jeśli $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} f_ {xn} $

następnie właściwość przesunięcia częstotliwości stwierdza, że

$ e ^ {jn \ omega_0 t_0}. x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} f_ {x (n-n_0)} $

Właściwość Time Reversal

Jeśli $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} f_ {xn} $

następnie właściwość odwrócenia czasu to stwierdza

Jeśli $ x (-t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} f _ {- xn} $

Właściwość skalowania czasu

Jeśli $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} f_ {xn} $

następnie właściwość skalowania czasu to stwierdza

Jeśli $ x (at) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} f_ {xn} $

Właściwość skalowania czasu zmienia składowe częstotliwości z $ \ omega_0 $ na $ a \ omega_0 $.

Właściwości różnicowania i integracji

Jeśli $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} f_ {xn} $

następnie własność różnicowania stwierdza, że

Jeśli $ {dx (t) \ over dt} \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} jn \ omega_0. f_ {xn} $

i własność integracji stwierdza, że

Jeśli $ \ int x (t) dt \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} {f_ {xn} \ ponad jn \ omega_0} $

Właściwości mnożenia i splotu

Jeśli $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} f_ {xn} $ & $ y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} f_ {yn} $

następnie właściwość mnożenia stwierdza, że

$ x (t). y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} T f_ {xn} * f_ {yn} $

& właściwość konwolucji stwierdza, że

$ x (t) * y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} T f_ {xn}. f_ {yn} $

Właściwości koniugatu i koniugatu symetrii

Jeśli $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} f_ {xn} $

Następnie własność sprzężona stwierdza, że

$ x * (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {współczynnik} f * _ {xn} $

Właściwość sprzężonej symetrii dla sygnału czasu o wartościach rzeczywistych stwierdza, że

$$ f * _ {xn} = f _ {- xn} $$

& Własność sprzężonej symetrii dla urojonego sygnału czasu o wartościach mówi, że

$$ f * _ {xn} = -f _ {- xn} $$