Szereg Fouriera
Jean Baptiste Joseph Fourier,francuski matematyk i fizyk; urodził się w Auxerre we Francji. Zainicjował szereg Fouriera, transformaty Fouriera i ich zastosowania do problemów wymiany ciepła i drgań. Na jego cześć nazwano szereg Fouriera, transformaty Fouriera i prawo Fouriera.
Szereg Fouriera
Aby przedstawić dowolny okresowy sygnał x (t), Fourier opracował wyrażenie zwane szeregiem Fouriera. Jest to nieskończona suma sinusów i cosinusów lub wykładników. Szereg Fouriera używa warunku ortoganalności.
Reprezentacja ciągłych sygnałów okresowych w szeregach Fouriera
Mówi się, że sygnał jest okresowy, jeśli spełnia warunek x (t) = x (t + T) lub x (n) = x (n + N).
Gdzie T = podstawowy okres czasu,
ω 0 = częstotliwość podstawowa = 2π / T
Istnieją dwa podstawowe sygnały okresowe:
$ x (t) = \ cos \ omega_0t $ (sinusoidalny) &
$ x (t) = e ^ {j \ omega_0 t} $ (zespolona wykładnicza)
Te dwa sygnały są okresowe z okresem $ T = 2 \ pi / \ omega_0 $.
Zbiór powiązanych harmonicznie złożonych wykładniczych wykładników można przedstawić jako {$ \ phi_k (t) $}
$$ {\ phi_k (t)} = \ {e ^ {jk \ omega_0t} \} = \ {e ^ {jk ({2 \ pi \ over T}) t} \} \ text {where} \, k = 0 \ pm 1, \ pm 2 ..n \, \, \, ..... (1) $$
Wszystkie te sygnały są okresowe z okresem T.
Zgodnie z ortogonalną aproksymacją przestrzeni sygnału funkcji x (t) zn, wzajemnie ortogonalne funkcje są podane przez
$$ x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t} ..... (2) $$
$$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_kk e ^ {jk \ omega_0t} $$
Gdzie $ a_k $ = współczynnik Fouriera = współczynnik aproksymacji.
Ten sygnał x (t) jest również okresowy z okresem T.
Równanie 2 przedstawia szereg Fouriera reprezentacji sygnału okresowego x (t).
Termin k = 0 jest stały.
Wyraz $ k = \ pm1 $ o częstotliwości podstawowej $ \ omega_0 $ nazywany jest pierwszą harmoniczną.
Termin $ k = \ PM2 $ posiadające podstawową częstotliwość $ 2 \ omega_0 $, nazywa się 2 nd harmonicznych, i tak dalej ...
Wyraz $ k = ± n $ o częstotliwości podstawowej $ n \ omega0 $ nazywany jest n- tą harmoniczną.
Wyprowadzanie współczynnika Fouriera
Wiemy, że $ x (t) = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} ...... (1) $
Pomnóż $ e ^ {- jn \ omega_0 t} $ po obu stronach. Następnie
$$ x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} $$
Rozważ całkę po obu stronach.
$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \, \, = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} . dt $$
$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. \, \, ..... (2) $$
według wzoru Eulera,
$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ int_ {0} ^ {T} \ cos (kn) \ omega_0 dt + j \ int_ {0} ^ {T} \ sin (kn) \ omega_0t \, dt $$
$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ left \ {\ begin {array} {ll} T & \ quad k = n \\ 0 & \ quad k \ neq n \ end {array} \ right. $$
Stąd w równaniu 2 całka jest równa zero dla wszystkich wartości k z wyjątkiem k = n. Umieść k = n w równaniu 2.
$$ \ Rightarrow \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt = a_n T $$
$$ \ Rightarrow a_n = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$
Zastąp n przez k.
$$ \ Rightarrow a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$
$$ \ dlatego x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} $$
$$ \ text {where} a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$