Analiza sygnałów

Analogia między wektorami a sygnałami

Istnieje doskonała analogia między wektorami a sygnałami.

Wektor

Wektor zawiera wielkość i kierunek. Nazwa wektora jest oznaczona pogrubioną czcionką, a ich wielkość jest oznaczona jasną czcionką.

Example:V jest wektorem o wielkości V. Rozważ dwa wektory V 1 i V 2, jak pokazano na poniższym diagramie. Niech składowa V 1 wraz z V 2 jest dana przez C 12 V 2 . Składową wektora V 1 wraz z wektorem V 2 można uzyskać, biorąc prostopadłą od końca V 1 do wektora V 2, jak pokazano na schemacie:

Wektor V 1 można wyrazić jako wektor V 2

    V 1 = C 12 V 2 + V e

    Gdzie Ve jest wektorem błędu.

Ale to nie jedyny sposób wyrażenia wektora V 1 za pomocą V 2 . Alternatywne możliwości to:

V 1 = C 1 V 2 + V e1

V 2 = C 2 V 2 + V e2

Sygnał błędu jest minimalny dla dużej wartości składnika. Jeśli C 12 = 0, to mówi się, że dwa sygnały są ortogonalne.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów

    V 1 . V 2 = V 1. V 2 cosθ

      θ = Kąt pomiędzy V1 i V2

    V 1 . V 2 = V 2. V 1

    Składowe V 1 alog n V 2 = V 1 Cos θ = $ V1.V2 \ powyżej V2 $

Z wykresu składowe V 1 alog n V 2 = C 12 V 2

$$ V_1.V_2 \ over V_2 = C_12 \, V_2 $$

$$ \ Rightarrow C_ {12} = {V_1.V_2 \ ponad V_2} $$

Sygnał

Pojęcie ortogonalności można zastosować do sygnałów. Rozważmy dwa sygnały f 1 (t) if 2 (t). Podobnie jak w przypadku wektorów, można przybliżyć f 1 (t) w postaci f 2 (t) jako

    f 1 (t) = C 12 f 2 (t) + f e (t) dla (t 1 <t <t 2 )

    $ \ Rightarrow $ f e (t) = f 1 (t) - C 12 f 2 (t)

Jednym z możliwych sposobów zminimalizowania błędu jest całkowanie w przedziale od t 1 do t 2 .

$$ {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] dt $$

$$ {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_1 (t) - C_ {12} f_2 (t)] dt $$

Jednak ten krok również nie zmniejsza błędu w dostrzegalnym stopniu. Można to skorygować, biorąc kwadrat błędu funkcji.

$ \ varepsilon = {1 \ ponad {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2 dt $

$ \ Rightarrow {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t) - C_ {12} f_2] ^ 2 dt $

Gdzie ε jest średnią kwadratową sygnału błędu. Wartość C 12, która minimalizuje błąd, musisz obliczyć $ {d \ varepsilon \ over dC_ {12}} = 0 $

$ \ Rightarrow {d \ over dC_ {12}} [{1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_1 (t) - C_ {12} f_2 (t)] ^ 2 dt] = 0 $

$ \ Rightarrow {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [{d \ over dC_ {12}} f_ {1} ^ 2 (t) - {d \ over dC_ {12} } 2f_1 (t) C_ {12} f_2 (t) + {d \ ponad dC_ {12}} f_ {2} ^ {2} (t) C_ {12} ^ 2] dt = 0 $

Pochodne terminów, które nie mają członu C12, wynoszą zero.

$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} - 2f_1 (t) f_2 (t) dt + 2C_ {12} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_ {2} ^ {2} (t)] dt = 0 $

Jeśli $ C_ {12} = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_ {2} ^ {2} (t ) dt}} $ składnik jest równy zero, wtedy mówi się, że dwa sygnały są ortogonalne.

Umieść C 12 = 0, aby uzyskać warunek ortogonalności.

0 = $ {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt} \ ponad {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_ {2} ^ {2} (t) dt}} $

$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt = 0 $$

Ortogonalna przestrzeń wektorowa

Kompletny zestaw wektorów ortogonalnych nazywany jest przestrzenią wektorów ortogonalnych. Rozważ trójwymiarową przestrzeń wektorową, jak pokazano poniżej:

Rozważ wektor A w punkcie (X 1 , Y 1 , Z 1 ). Rozważmy trzy wektory jednostkowe (V X , V Y , V Z ) odpowiednio w kierunku osi X, Y, Z. Ponieważ te wektory jednostkowe są wzajemnie ortogonalne, spełnia to

$$ V_X. V_X = V_Y. V_Y = V_Z. V_Z = 1 $$

$$ V_X. V_Y = V_Y. V_Z = V_Z. V_X = 0 $$

Możesz napisać powyższe warunki jako

$$ V_a. V_b = \ left \ {\ begin {array} {ll} 1 & \ quad a = b \\ 0 & \ quad a \ neq b \ end {array} \ right. $$

Wektor A można przedstawić za pomocą jego składowych i wektorów jednostkowych jako

$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z ................ (1) $

Dowolne wektory w tej trójwymiarowej przestrzeni mogą być reprezentowane tylko za pomocą tych trzech wektorów jednostkowych.

Jeśli weźmiesz pod uwagę przestrzeń wymiarową n, to dowolny wektor A w tej przestrzeni można przedstawić jako

$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + ... + N_1V_N ..... (2) $

Ponieważ wielkość wektorów jednostkowych jest jednością dla dowolnego wektora A.

Składowa A wzdłuż osi x = AV X

Składowa A wzdłuż osi Y = AV Y

Składowa A wzdłuż osi Z = AV Z

Podobnie, dla przestrzeni n-wymiarowej, składnik A wzdłuż jakiejś osi G.

$ = A.VG ............... (3) $

Zastąp równanie 2 w równaniu 3.

$ \ Rightarrow CG = (X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + ... + G_1 V_G ... + N_1V_N) V_G $

$ = X_1 V_X V_G + Y_1 V_Y V_G + Z_1 V_Z V_G + ... + G_1V_G V_G ... + N_1V_N V_G $

$ = G_1 \, \, \, \, \, \ text {od} V_G V_G = 1 $

$ Jeśli V_G V_G \ neq 1 \, \, \ text {ie} V_G V_G = k $

$ AV_G = G_1V_G V_G = G_1K $

$ G_1 = {(AV_G) \ ponad K} $

Ortogonalna przestrzeń sygnału

Rozważmy zbiór n wzajemnie ortogonalnych funkcji x 1 (t), x 2 (t) ... x n (t) w przedziale od t 1 do t 2 . Ponieważ te funkcje są względem siebie ortogonalne, dowolne dwa sygnały x j (t), x k (t) muszą spełniać warunek ortogonalności. to znaczy

$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_j (t) x_k (t) dt = 0 \, \, \, \ text {gdzie} \, j \ neq k $$

$$ \ text {Let} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_ {k} ^ {2} (t) dt = k_k $$

Niech funkcja f (t) może być przybliżona z tą ortogonalną przestrzenią sygnałową poprzez dodanie składowych wzdłuż wzajemnie ortogonalnych sygnałów tj.

    $ \, \, \, f (t) = C_1x_1 (t) + C_2x_2 (t) + ... + C_nx_n (t) + f_e (t) $

    $ \ quad \ quad = \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t) $

    $ \, \, \, f (t) = f (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t) $

Średni błąd kwadratowy $ \ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2 dt $

$$ = {1 \ over t_2 - t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f [t] - \ sum_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t)] ^ 2 dt $$

Składnik minimalizujący średni błąd kwadratowy można znaleźć przez

$$ {d \ varepsilon \ over dC_1} = {d \ varepsilon \ over dC_2} = ... = {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0 $$

Rozważmy $ {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0 $

$$ {d \ over dC_k} [{1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)] ^ 2 dt] = 0 $$

Wszystkie terminy niezawierające C k wynoszą zero. tj. w sumie r = k pozostaje, a wszystkie inne wyrazy są równe zero.

$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} - 2 f (t) x_k (t) dt + 2C_k \ int_ {t_1} ^ {t_2} [x_k ^ 2 (t)] dt = 0 $$

$$ \ Rightarrow C_k = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt} \ over {int_ {t_1} ^ {t_2} x_k ^ 2 (t) dt}} $$

$$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = C_kK_k $$

Średni błąd kwadratowy

Średnia kwadratowa błędu funkcji f e (t) jest nazywana średnim błędem kwadratowym. Jest oznaczony przez ε (epsilon).

.

$ \ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2dt $

$ \, \, \, \, = {1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)] ^ 2 dt $

$ \, \, \, \, = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e ^ 2 (t)] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2 (t) dt - 2 \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r (t) f (t) dt $

Wiesz, że $ C_ {r} ^ {2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2 (t) dt = C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r (t) f (d) dt = C_r ^ 2 K_r $

$ \ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r - 2 \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r] $

$ \, \, \, \, = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt - \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r] $

$ \, \ Dlatego \ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt + (C_1 ^ 2 K_1 + C_2 ^ 2 K_2 + ... + C_n ^ 2 K_n)] $

Powyższe równanie służy do oceny średniego błędu kwadratowego.

Zamknięty i kompletny zestaw funkcji ortogonalnych

Rozważmy zbiór n wzajemnie ortogonalnych funkcji x 1 (t), x 2 (t) ... x n (t) w przedziale od t 1 do t 2 . Nazywa się to zbiorem zamkniętym i kompletnym, gdy nie ma funkcji f (t) spełniającej warunek $ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = 0 $

Jeśli ta funkcja spełnia równanie $ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = 0 \, \, \ text {for} \, k = 1,2, .. $ then f (t) mówi się, że jest ortogonalny do każdej funkcji zbioru ortogonalnego. Ten zbiór jest niekompletny bez f (t). Staje się zamknięty i kompletny, gdy zawiera się f (t).

f (t) można przybliżyć tym zestawem ortogonalnym, dodając składowe wzdłuż wzajemnie ortogonalnych sygnałów, tj.

$$ f (t) = C_1 x_1 (t) + C_2 x_2 (t) + ... + C_n x_n (t) + f_e (t) $$

Jeśli nieskończony szereg $ C_1 x_1 (t) + C_2 x_2 (t) + ... + C_n x_n (t) $ zbiega się do f (t), to średni błąd kwadratowy wynosi zero.

Ortogonalność w funkcjach złożonych

Jeśli f 1 (t) if 2 (t) są dwiema funkcjami zespolonymi, to f 1 (t) można wyrazić za pomocą f 2 (t) jako

$ f_1 (t) = C_ {12} f_2 (t) \, \, \, \, \, \, \, \, $ ..z pomijalnym błędem

Gdzie $ C_ {12} = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} | f_2 (t) | ^ 2 dt}} $

Gdzie $ f_2 ^ * (t) $ = sprzężona liczba zespolona f 2 (t).

Jeśli f 1 (t) if 2 (t) są ortogonalne, to C 12 = 0

$$ {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (t) dt \ over \ int_ {t_1} ^ {t_2} | f_2 (t) | ^ 2 dt} = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (dt) = 0 $$

Powyższe równanie przedstawia warunek ortogonalności w funkcjach złożonych.