Analiza sygnałów
Analogia między wektorami a sygnałami
Istnieje doskonała analogia między wektorami a sygnałami.
Wektor
Wektor zawiera wielkość i kierunek. Nazwa wektora jest oznaczona pogrubioną czcionką, a ich wielkość jest oznaczona jasną czcionką.
Example:V jest wektorem o wielkości V. Rozważ dwa wektory V 1 i V 2, jak pokazano na poniższym diagramie. Niech składowa V 1 wraz z V 2 jest dana przez C 12 V 2 . Składową wektora V 1 wraz z wektorem V 2 można uzyskać, biorąc prostopadłą od końca V 1 do wektora V 2, jak pokazano na schemacie:
Wektor V 1 można wyrazić jako wektor V 2
V 1 = C 12 V 2 + V e
Gdzie Ve jest wektorem błędu.
Ale to nie jedyny sposób wyrażenia wektora V 1 za pomocą V 2 . Alternatywne możliwości to:
V 1 = C 1 V 2 + V e1
V 2 = C 2 V 2 + V e2
Sygnał błędu jest minimalny dla dużej wartości składnika. Jeśli C 12 = 0, to mówi się, że dwa sygnały są ortogonalne.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów
V 1 . V 2 = V 1. V 2 cosθ
θ = Kąt pomiędzy V1 i V2
V 1 . V 2 = V 2. V 1
Składowe V 1 alog n V 2 = V 1 Cos θ = $ V1.V2 \ powyżej V2 $
Z wykresu składowe V 1 alog n V 2 = C 12 V 2
$$ V_1.V_2 \ over V_2 = C_12 \, V_2 $$
$$ \ Rightarrow C_ {12} = {V_1.V_2 \ ponad V_2} $$
Sygnał
Pojęcie ortogonalności można zastosować do sygnałów. Rozważmy dwa sygnały f 1 (t) if 2 (t). Podobnie jak w przypadku wektorów, można przybliżyć f 1 (t) w postaci f 2 (t) jako
f 1 (t) = C 12 f 2 (t) + f e (t) dla (t 1 <t <t 2 )
$ \ Rightarrow $ f e (t) = f 1 (t) - C 12 f 2 (t)
Jednym z możliwych sposobów zminimalizowania błędu jest całkowanie w przedziale od t 1 do t 2 .
$$ {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] dt $$
$$ {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_1 (t) - C_ {12} f_2 (t)] dt $$
Jednak ten krok również nie zmniejsza błędu w dostrzegalnym stopniu. Można to skorygować, biorąc kwadrat błędu funkcji.
$ \ varepsilon = {1 \ ponad {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2 dt $
$ \ Rightarrow {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t) - C_ {12} f_2] ^ 2 dt $
Gdzie ε jest średnią kwadratową sygnału błędu. Wartość C 12, która minimalizuje błąd, musisz obliczyć $ {d \ varepsilon \ over dC_ {12}} = 0 $
$ \ Rightarrow {d \ over dC_ {12}} [{1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_1 (t) - C_ {12} f_2 (t)] ^ 2 dt] = 0 $
$ \ Rightarrow {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [{d \ over dC_ {12}} f_ {1} ^ 2 (t) - {d \ over dC_ {12} } 2f_1 (t) C_ {12} f_2 (t) + {d \ ponad dC_ {12}} f_ {2} ^ {2} (t) C_ {12} ^ 2] dt = 0 $
Pochodne terminów, które nie mają członu C12, wynoszą zero.
$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} - 2f_1 (t) f_2 (t) dt + 2C_ {12} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_ {2} ^ {2} (t)] dt = 0 $
Jeśli $ C_ {12} = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_ {2} ^ {2} (t ) dt}} $ składnik jest równy zero, wtedy mówi się, że dwa sygnały są ortogonalne.
Umieść C 12 = 0, aby uzyskać warunek ortogonalności.
0 = $ {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt} \ ponad {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_ {2} ^ {2} (t) dt}} $
$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt = 0 $$
Ortogonalna przestrzeń wektorowa
Kompletny zestaw wektorów ortogonalnych nazywany jest przestrzenią wektorów ortogonalnych. Rozważ trójwymiarową przestrzeń wektorową, jak pokazano poniżej:
Rozważ wektor A w punkcie (X 1 , Y 1 , Z 1 ). Rozważmy trzy wektory jednostkowe (V X , V Y , V Z ) odpowiednio w kierunku osi X, Y, Z. Ponieważ te wektory jednostkowe są wzajemnie ortogonalne, spełnia to
$$ V_X. V_X = V_Y. V_Y = V_Z. V_Z = 1 $$
$$ V_X. V_Y = V_Y. V_Z = V_Z. V_X = 0 $$
Możesz napisać powyższe warunki jako
$$ V_a. V_b = \ left \ {\ begin {array} {ll} 1 & \ quad a = b \\ 0 & \ quad a \ neq b \ end {array} \ right. $$
Wektor A można przedstawić za pomocą jego składowych i wektorów jednostkowych jako
$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z ................ (1) $
Dowolne wektory w tej trójwymiarowej przestrzeni mogą być reprezentowane tylko za pomocą tych trzech wektorów jednostkowych.
Jeśli weźmiesz pod uwagę przestrzeń wymiarową n, to dowolny wektor A w tej przestrzeni można przedstawić jako
$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + ... + N_1V_N ..... (2) $
Ponieważ wielkość wektorów jednostkowych jest jednością dla dowolnego wektora A.
Składowa A wzdłuż osi x = AV X
Składowa A wzdłuż osi Y = AV Y
Składowa A wzdłuż osi Z = AV Z
Podobnie, dla przestrzeni n-wymiarowej, składnik A wzdłuż jakiejś osi G.
$ = A.VG ............... (3) $
Zastąp równanie 2 w równaniu 3.
$ \ Rightarrow CG = (X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + ... + G_1 V_G ... + N_1V_N) V_G $
$ = X_1 V_X V_G + Y_1 V_Y V_G + Z_1 V_Z V_G + ... + G_1V_G V_G ... + N_1V_N V_G $
$ = G_1 \, \, \, \, \, \ text {od} V_G V_G = 1 $
$ Jeśli V_G V_G \ neq 1 \, \, \ text {ie} V_G V_G = k $
$ AV_G = G_1V_G V_G = G_1K $
$ G_1 = {(AV_G) \ ponad K} $
Ortogonalna przestrzeń sygnału
Rozważmy zbiór n wzajemnie ortogonalnych funkcji x 1 (t), x 2 (t) ... x n (t) w przedziale od t 1 do t 2 . Ponieważ te funkcje są względem siebie ortogonalne, dowolne dwa sygnały x j (t), x k (t) muszą spełniać warunek ortogonalności. to znaczy
$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_j (t) x_k (t) dt = 0 \, \, \, \ text {gdzie} \, j \ neq k $$
$$ \ text {Let} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_ {k} ^ {2} (t) dt = k_k $$
Niech funkcja f (t) może być przybliżona z tą ortogonalną przestrzenią sygnałową poprzez dodanie składowych wzdłuż wzajemnie ortogonalnych sygnałów tj.
$ \, \, \, f (t) = C_1x_1 (t) + C_2x_2 (t) + ... + C_nx_n (t) + f_e (t) $
$ \ quad \ quad = \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t) $
$ \, \, \, f (t) = f (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t) $
Średni błąd kwadratowy $ \ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2 dt $
$$ = {1 \ over t_2 - t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f [t] - \ sum_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t)] ^ 2 dt $$
Składnik minimalizujący średni błąd kwadratowy można znaleźć przez
$$ {d \ varepsilon \ over dC_1} = {d \ varepsilon \ over dC_2} = ... = {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0 $$
Rozważmy $ {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0 $
$$ {d \ over dC_k} [{1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)] ^ 2 dt] = 0 $$
Wszystkie terminy niezawierające C k wynoszą zero. tj. w sumie r = k pozostaje, a wszystkie inne wyrazy są równe zero.
$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} - 2 f (t) x_k (t) dt + 2C_k \ int_ {t_1} ^ {t_2} [x_k ^ 2 (t)] dt = 0 $$
$$ \ Rightarrow C_k = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt} \ over {int_ {t_1} ^ {t_2} x_k ^ 2 (t) dt}} $$
$$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = C_kK_k $$
Średni błąd kwadratowy
Średnia kwadratowa błędu funkcji f e (t) jest nazywana średnim błędem kwadratowym. Jest oznaczony przez ε (epsilon).
.$ \ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2dt $
$ \, \, \, \, = {1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)] ^ 2 dt $
$ \, \, \, \, = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e ^ 2 (t)] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2 (t) dt - 2 \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r (t) f (t) dt $
Wiesz, że $ C_ {r} ^ {2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2 (t) dt = C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r (t) f (d) dt = C_r ^ 2 K_r $
$ \ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r - 2 \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r] $
$ \, \, \, \, = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt - \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r] $
$ \, \ Dlatego \ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt + (C_1 ^ 2 K_1 + C_2 ^ 2 K_2 + ... + C_n ^ 2 K_n)] $
Powyższe równanie służy do oceny średniego błędu kwadratowego.
Zamknięty i kompletny zestaw funkcji ortogonalnych
Rozważmy zbiór n wzajemnie ortogonalnych funkcji x 1 (t), x 2 (t) ... x n (t) w przedziale od t 1 do t 2 . Nazywa się to zbiorem zamkniętym i kompletnym, gdy nie ma funkcji f (t) spełniającej warunek $ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = 0 $
Jeśli ta funkcja spełnia równanie $ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = 0 \, \, \ text {for} \, k = 1,2, .. $ then f (t) mówi się, że jest ortogonalny do każdej funkcji zbioru ortogonalnego. Ten zbiór jest niekompletny bez f (t). Staje się zamknięty i kompletny, gdy zawiera się f (t).
f (t) można przybliżyć tym zestawem ortogonalnym, dodając składowe wzdłuż wzajemnie ortogonalnych sygnałów, tj.
$$ f (t) = C_1 x_1 (t) + C_2 x_2 (t) + ... + C_n x_n (t) + f_e (t) $$
Jeśli nieskończony szereg $ C_1 x_1 (t) + C_2 x_2 (t) + ... + C_n x_n (t) $ zbiega się do f (t), to średni błąd kwadratowy wynosi zero.
Ortogonalność w funkcjach złożonych
Jeśli f 1 (t) if 2 (t) są dwiema funkcjami zespolonymi, to f 1 (t) można wyrazić za pomocą f 2 (t) jako
$ f_1 (t) = C_ {12} f_2 (t) \, \, \, \, \, \, \, \, $ ..z pomijalnym błędem
Gdzie $ C_ {12} = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} | f_2 (t) | ^ 2 dt}} $
Gdzie $ f_2 ^ * (t) $ = sprzężona liczba zespolona f 2 (t).
Jeśli f 1 (t) if 2 (t) są ortogonalne, to C 12 = 0
$$ {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (t) dt \ over \ int_ {t_1} ^ {t_2} | f_2 (t) | ^ 2 dt} = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (dt) = 0 $$
Powyższe równanie przedstawia warunek ortogonalności w funkcjach złożonych.