Region konwergencji (ROC)
Odchylenie zakresu σ, dla którego zbiega się transformata Laplace'a, nazywa się regionem zbieżności.
Właściwości ROC transformaty Laplace'a
ROC zawiera paski równoległe do osi jω w płaszczyźnie s.
Jeśli x (t) jest absolutnie całkowe i ma skończony czas trwania, to ROC jest całą s-płaszczyzną.
Jeśli x (t) jest sekwencją prawostronną, to ROC: Re {s}> σ o .
Jeśli x (t) jest sekwencją lewostronną, to ROC: Re {s} <σ o .
Jeśli x (t) jest sekwencją dwustronną, to ROC jest połączeniem dwóch regionów.
ROC można wyjaśnić na podstawie poniższych przykładów:
Example 1: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e-^{at}u(t)$
$ LT [x (t)] = LT [e - ^ {at} u (t)] = {1 \ ponad S + a} $
$ Re {} \ gt -a $
$ ROC: Re {s} \ gt> -a $
Example 2: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e^{at}u(-t)$
$ LT [x (t)] = LT [e ^ {at} u (t)] = {1 \ ponad Sa} $
$ Re {s} <a $
$ ROC: Re {s} <a $
Example 3: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t)$
$ LT [x (t)] = LT [e ^ {- at} u (t) + e ^ {at} u (-t)] = {1 \ ponad S + a} + {1 \ ponad Sa} $
Za $ {1 \ over S + a} Re \ {s \} \ gt -a $
Za $ {1 \ over Sa} Re \ {s \} \ lt a $
Nawiązując do powyższego diagramu, region kombinacji leży od –a do a. W związku z tym,
$ ROC: -a <Re {s} <a $
Przyczynowość i stabilność
Aby system był przyczynowy, wszystkie bieguny jego funkcji transferowej muszą być prawą połową płaszczyzny S.
Mówi się, że system jest stabilny, gdy wszystkie bieguny jego funkcji przenoszenia leżą na lewej połowie płaszczyzny s.
Mówi się, że system jest niestabilny, gdy co najmniej jeden biegun jego funkcji przenoszenia jest przesunięty do prawej połowy płaszczyzny S.
Mówi się, że układ jest marginalnie stabilny, gdy co najmniej jeden biegun jego funkcji przenoszenia leży na osi jω płaszczyzny s.
ROC podstawowych funkcji
| f (t) | F (s) | ROC |
|---|---|---|
| $ u (t) $ | $$ {1 \ over s} $$ | ROC: Re {s}> 0 |
| $ t \, u (t) $ | $$ {1 \ over s ^ 2} $$ | ROC: Re {s}> 0 |
| $ t ^ n \, u (t) $ | $$ {n! \ ponad s ^ {n + 1}} $$ | ROC: Re {s}> 0 |
| $ e ^ {at} \, u (t) $ | $$ {1 \ over sa} $$ | ROC: Re {s}> a |
| $ e ^ {- at} \, u (t) $ | $$ {1 \ over s + a} $$ | ROC: Re {s}> -a |
| $ e ^ {at} \, u (t) $ | $$ - {1 \ over sa} $$ | ROC: Re {s} <a |
| $ e ^ {- at} \, u (-t) $ | $$ - {1 \ over s + a} $$ | ROC: Re {s} <-a |
| $ t \, e ^ {at} \, u (t) $ | $$ {1 \ over (sa) ^ 2} $$ | ROC: Re {s}> a |
| $ t ^ {n} e ^ {at} \, u (t) $ | $$ {n! \ over (sa) ^ {n + 1}} $$ | ROC: Re {s}> a |
| $ t \, e ^ {- at} \, u (t) $ | $$ {1 \ over (s + a) ^ 2} $$ | ROC: Re {s}> -a |
| $ t ^ n \, e ^ {- at} \, u (t) $ | $$ {n! \ over (s + a) ^ {n + 1}} $$ | ROC: Re {s}> -a |
| $ t \, e ^ {at} \, u (-t) $ | $$ - {1 \ over (sa) ^ 2} $$ | ROC: Re {s} <a |
| $ t ^ n \, e ^ {at} \, u (-t) $ | $$ - {n! \ over (sa) ^ {n + 1}} $$ | ROC: Re {s} <a |
| $ t \, e ^ {- at} \, u (-t) $ | $$ - {1 \ over (s + a) ^ 2} $$ | ROC: Re {s} <-a |
| $ t ^ n \, e ^ {- at} \, u (-t) $ | $$ - {n! \ over (s + a) ^ {n + 1}} $$ | ROC: Re {s} <-a |
| $ e ^ {- at} \ cos \, bt $ | $$ {s + a \ over (s + a) ^ 2 + b ^ 2} $$ | |
| $ e ^ {- at} \ sin \, bt $ | $$ {b \ over (s + a) ^ 2 + b ^ 2} $$ |