Techniki próbkowania sygnałów

Istnieją trzy rodzaje technik pobierania próbek:

  • Próbkowanie impulsowe.

  • Naturalne pobieranie próbek.

  • Próbkowanie Flat Top.

Próbkowanie impulsowe

Próbkowanie impulsów można przeprowadzić mnożąc sygnał wejściowy x (t) przez ciąg impulsów $ \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-nT) $ okresu 'T'. Tutaj amplituda impulsu zmienia się w stosunku do amplitudy sygnału wejściowego x (t). Wyjście próbnika jest podane przez

$ y (t) = x (t) × $ ciąg impulsów

$ = x (t) × \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-nT) $

$ y (t) = y _ {\ delta} (t) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (nt) \ delta (t-nT) \, ... \, ... 1 $

Aby uzyskać widmo próbkowanego sygnału, rozważ transformację Fouriera równania 1 po obu stronach

$ Y (\ omega) = {1 \ ponad T} \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} X (\ omega - n \ omega_s) $

Nazywa się to próbkowaniem idealnym lub próbkowaniem impulsowym. Praktycznie nie można tego użyć, ponieważ szerokość impulsu nie może wynosić zero, a generowanie ciągu impulsów jest praktycznie niemożliwe.

Pobieranie próbek naturalnych

Próbkowanie naturalne jest podobne do próbkowania impulsów, z wyjątkiem tego, że ciąg impulsów jest zastępowany ciągiem impulsów okresu T. tj. Mnożymy sygnał wejściowy x (t) do ciągu impulsów $ \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} P ( t-nT) $, jak pokazano poniżej

Wyjście samplera to

$ y (t) = x (t) \ times \ text {ciąg impulsów} $

$ = x (t) \ razy p (t) $

$ = x (t) \ times \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} P (t-nT) \, ... \, ... (1) $

Wykładniczą reprezentację p (t) w szeregach Fouriera można podać jako

$ p (t) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} F_n e ^ {jn \ omega_s t} \, ... \, ... (2) $

$ = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} F_n e ^ {j 2 \ pi nf_s t} $

Gdzie $ F_n = {1 \ over T} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} p (t) e ^ {- jn \ omega_s t} dt $

$ = {1 \ ponad TP} (n \ omega_s) $

Zastąp wartość F n w równaniu 2

$ \ dlatego p (t) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {1 \ over T} P (n \ omega_s) e ^ {jn \ omega_s t} $

$ = {1 \ ponad T} \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} P (n \ omega_s) e ^ {jn \ omega_s t} $

Podstaw p (t) w równaniu 1

$ y (t) = x (t) \ razy p (t) $

$ = x (t) \ times {1 \ ponad T} \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} P (n \ omega_s) \, e ^ {jn \ omega_s t} $

$ y (t) = {1 \ ponad T} \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} P (n \ omega_s) \, x (t) \, e ^ {jn \ omega_s t} $

Aby uzyskać widmo próbkowanego sygnału, rozważ transformatę Fouriera po obu stronach.

$ FT \, [y (t)] = FT [{1 \ over T} \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} P (n \ omega_s) \, x (t) \, e ^ { jn \ omega_s t}] $

$ = {1 \ ponad T} \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} P (n \ omega_s) \, FT \, [x (t) \, e ^ {jn \ omega_s t}] $

Zgodnie z właściwością przesunięcia częstotliwości

$ FT \, [x (t) \, e ^ {jn \ omega_s t}] = X [\ omega-n \ omega_s] $

$ \ dlatego \, Y [\ omega] = {1 \ ponad T} \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} P (n \ omega_s) \, X [\ omega-n \ omega_s] $

Próbkowanie z płaskim wierzchołkiem

Podczas transmisji szum jest wprowadzany na górze impulsu nadawczego, który można łatwo usunąć, jeśli impuls ma postać płaskiej góry. W tym przypadku wierzchołki próbek są płaskie, tj. Mają stałą amplitudę. Dlatego nazywa się to próbkowaniem z płaskim wierzchołkiem lub próbkowaniem praktycznym. Próbkowanie z płaskim wierzchołkiem wykorzystuje obwód próbkowania i podtrzymania.

Teoretycznie próbkowany sygnał można otrzymać przez splot prostokątnego impulsu p (t) z idealnie próbkowanym sygnałem, powiedzmy y δ (t), jak pokazano na schemacie:

czyli $ y (t) = p (t) \ razy y_ \ delta (t) \, ... \, ... (1) $

Aby uzyskać próbkowane widmo, rozważ transformację Fouriera po obu stronach dla równania 1

$ Y [\ omega] = FT \, [P (t) \ razy y_ \ delta (t)] $

Znajomość własności splotu

$ Y [\ omega] = P (\ omega) \, Y_ \ delta (\ omega) $

Tutaj $ P (\ omega) = T Sa ({\ omega T \ over 2}) = 2 \ sin \ omega T / \ omega $

Nyquist Rate

Jest to minimalna częstotliwość próbkowania, przy której sygnał można przekształcić w próbki i odzyskać bez zniekształceń.

Współczynnik Nyquista f N = 2f m hz

Interwał Nyquista = $ {1 \ ponad fN} $ = $ {1 \ ponad 2fm} $ sekund.

Próbkowanie sygnałów pasmowych

W przypadku sygnałów pasmowoprzepustowych widmo sygnału pasmowoprzepustowego X [ω] = 0 dla częstotliwości spoza zakresu f 1 ≤ f ≤ f 2 . Częstotliwość f 1 jest zawsze większa od zera. Ponadto nie ma efektu aliasingu, gdy f s > 2f 2 . Ale ma dwie wady:

  • Częstotliwość próbkowania jest duża proporcjonalnie do f 2 . Ma to praktyczne ograniczenia.

  • Widmo próbkowanego sygnału ma luki widmowe.

Aby temu zaradzić, twierdzenie o przepustowości pasma stwierdza, że ​​sygnał wejściowy x (t) można przekształcić w jego próbki i można go odzyskać bez zniekształceń, gdy częstotliwość próbkowania f s <2f 2 .

Również,

$$ f_s = {1 \ over T} = {2f_2 \ over m} $$

Gdzie m jest największą liczbą całkowitą <$ {f_2 \ ponad B} $

a B jest szerokością pasma sygnału. Jeśli f 2 = KB, to

$$ f_s = {1 \ ponad T} = {2KB \ ponad m} $$

Dla sygnałów pasmowoprzepustowych o szerokości pasma 2f m i minimalnej częstotliwości próbkowania f s = 2 B = 4f m ,

widmo próbkowanego sygnału jest podane przez $ Y [\ omega] = {1 \ over T} \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \, X [\ omega - 2nB] $