Hilbert Transform
Transformatę Hilberta sygnału x (t) definiuje się jako transformację, w której kąt fazowy wszystkich składowych sygnału jest przesunięty o $ \ pm \ text {90} ^ o $.
Transformacja Hilberta z x (t) jest reprezentowana przez $ \ hat {x} (t) $ i jest określona przez
$$ \ hat {x} (t) = {1 \ over \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {x (k) \ over tk} dk $$
Odwrotna transformata Hilberta jest dana przez
$$ \ hat {x} (t) = {1 \ over \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {x (k) \ over tk} dk $$
x (t), $ \ hat {x} $ (t) nazywamy parą transformacji Hilberta.
Właściwości transformaty Hilberta
Sygnał x (t) i jego transformata Hilberta $ \ hat {x} $ (t) mają
To samo widmo amplitudy.
Ta sama funkcja autokorelacji.
Gęstość widmowa energii jest taka sama dla x (t) i $ \ hat {x} $ (t).
x (t) i $ \ hat {x} $ (t) są ortogonalne.
Transformata Hilberta z $ \ hat {x} $ (t) to -x (t)
Jeśli istnieje transformata Fouriera, to transformata Hilberta istnieje również dla sygnałów energii i mocy.