Transformaty Laplace'a (LT)

Złożona transformata Fouriera jest również nazywana dwustronną transformatą Laplace'a. Służy do rozwiązywania równań różniczkowych. Rozważmy system LTI wychodzący ze złożonego sygnału wykładniczego w postaci x (t) = Ge ^st .

Gdzie s = dowolna liczba zespolona = $ \ sigma + j \ omega $,

σ = rzeczywista liczby s i

ω = urojona s

Odpowiedź LTI można uzyskać poprzez splot wejścia z jego odpowiedzią impulsową, tj

$ y (t) = x (t) \ times h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, x (t- \ tau) d \ tau $

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, Ge ^ {s (t- \ tau)} d \ tau $

$ = Ge ^ {st}. \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, e ^ {(- s \ tau)} d \ tau $

$ y (t) = Ge ^ {st} .H (S) = x (t) .H (S) $

Gdzie H (S) = transformata Laplace'a $ h (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) e ^ {- s \ tau} d \ tau $

Podobnie transformata Laplace'a z $ x (t) = X (S) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} dt \, ... \, ... ( 1) $

Relacja między transformatami Laplace'a i Fouriera

Transformata Laplace'a z $ x (t) = X (S) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} dt $

Podstaw s = σ + jω w powyższym równaniu.

$ → X (\ sigma + j \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (t) e ^ {- (\ sigma + j \ omega) t} dt $

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [x (t) e ^ {- \ sigma t}] e ^ {- j \ omega t} dt $

$ \ więc X (S) = FT [x (t) e ^ {- \ sigma t}] \, ... \, ... (2) $

$ X (S) = X (\ omega) \ quad \ quad dla \, \, s = j \ omega $

Odwrotna transformata Laplace'a

Wiesz, że $ X (S) = FT [x (t) e ^ {- \ sigma t}] $

$ \ to x (t) e ^ {- \ sigma t} = FT ^ {- 1} [X (S)] = FT ^ {- 1} [X (\ sigma + j \ omega)] $

$ = {1 \ ponad 2} \ pi \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $

$ x (t) = e ^ {\ sigma t} {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $

$ = {1 \ ponad 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {(\ sigma + j \ omega) t} d \ omega \ ,. .. \, ... (3) $

Tutaj $ \ sigma + j \ omega = s $

$ jdω = ds → dω = ds / j $

$ \ dlatego x (t) = {1 \ over 2 \ pi j} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (s) e ^ {st} ds \, ... \, ... ( 4) $

Równania 1 i 4 przedstawiają Laplace'a i odwrotną transformatę Laplace'a sygnału x (t).

Warunki istnienia transformaty Laplace'a

Warunki Dirichleta służą do zdefiniowania istnienia transformaty Laplace'a. to znaczy

Funkcja f (t) ma skończoną liczbę maksimów i minimów.
Musi istnieć skończona liczba nieciągłości w sygnale f (t) w danym przedziale czasu.
Musi być całkowicie integrowalna w danym przedziale czasu. to znaczy

$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, f (t) | \, dt \ lt \ infty $

Twierdzenia o wartości początkowej i końcowej

Jeśli znana jest transformata Laplace'a nieznanej funkcji x (t), to można wyznaczyć początkową i końcową wartość tego nieznanego sygnału, tj. X (t) przy t = 0 ⁺ i t = ∞.