Friedmann สมการและแบบจำลองโลก

ในบทนี้เราจะทำความเข้าใจว่าสมการฟรีดมันน์คืออะไรและศึกษารายละเอียดเกี่ยวกับแบบจำลองโลกสำหรับค่าคงที่ความโค้งที่แตกต่างกัน

สมการฟรีดมันน์

สมการนี้บอกเราเกี่ยวกับการขยายตัวของอวกาศในแบบจำลองที่เป็นเนื้อเดียวกันและแบบไอโซทรอปิกของเอกภพ

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {2U} {mr_c ^ 2a ^ 2} $ $

สิ่งนี้ถูกแก้ไขในบริบทของ General Relativity (GR) และ Robertson-Walker Metric ดังนี้.

การใช้สมการ GR -

$$ \ frac {2U} {mr_c ^ 2} = -kc ^ 2 $$

ที่ไหน kคือค่าคงที่ความโค้ง ดังนั้น,

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $ $

นอกจากนี้ $ \ rho $ ยังถูกแทนที่ด้วยความหนาแน่นของพลังงานซึ่งรวมถึงสสารรังสีและพลังงานรูปแบบอื่น ๆ แต่สำหรับวัตถุประสงค์ในการเป็นตัวแทนจะเขียนเป็น $ \ rho $

แบบจำลองโลกสำหรับค่าคงที่ความโค้งที่แตกต่างกัน

ตอนนี้ให้เราดูความเป็นไปได้ต่างๆขึ้นอยู่กับค่าคงที่ของความโค้ง

กรณีที่ 1: k = 1 หรือ Closed Universe

สำหรับจักรวาลที่ขยายตัว $ da / dt> 0 $ เมื่อการขยายดำเนินต่อไปเทอมแรกใน RHS ของสมการข้างต้นจะเป็น $ a ^ {- 3} $ ในขณะที่เทอมที่สองจะเป็น $ a ^ {- 2} $ เมื่อสองเทอมเท่ากันจักรวาลก็หยุดการขยายตัว จากนั้น -

$$ \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho = \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $$

ที่นี่ k = 1 ดังนั้น

$$ a = \ left [\ frac {3c ^ 2} {8 \ pi G \ rho} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$

จักรวาลดังกล่าวมีขอบเขต จำกัด และมีปริมาณ จำกัด สิ่งนี้เรียกว่าจักรวาลปิด

กรณีที่ 2: k = -1 หรือ Open Universe

ถ้า k < 0การขยายตัวจะไม่มีวันหยุด หลังจากผ่านไประยะหนึ่งคำศัพท์แรกของ RHS อาจถูกละเลยเมื่อเทียบกับระยะที่สอง

ที่นี่ k = -1 ดังนั้น $ da / dt ∼ c $.

ในกรณีนี้จักรวาลกำลังเคลื่อนตัว จักรวาลดังกล่าวมีพื้นที่และเวลาไม่สิ้นสุด สิ่งนี้เรียกว่า Open Universe

กรณีที่ 3: k = 0 หรือ Flat Universe

ในกรณีนี้เอกภพกำลังขยายตัวในอัตราที่ลดน้อยลง ที่นี่ k = 0 ดังนั้น

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho $$

จักรวาลดังกล่าวมีพื้นที่และเวลาไม่สิ้นสุด สิ่งนี้เรียกว่าจักรวาลแบน

สิ่งที่ต้องจำ

• สมการฟรีดมันน์บอกเราเกี่ยวกับการขยายตัวของอวกาศในแบบจำลองที่เป็นเนื้อเดียวกันและแบบไอโซทรอปิกของเอกภพ

• ขึ้นอยู่กับค่าคงที่ความโค้งที่แตกต่างกันเราสามารถมีจักรวาลแบบปิดเปิดหรือแบนได้