จักรวาลวิทยา - ฮับเบิลและพารามิเตอร์ความหนาแน่น

ในบทนี้เราจะพูดถึงพารามิเตอร์ความหนาแน่นและฮับเบิล

พารามิเตอร์ของฮับเบิล

พารามิเตอร์ฮับเบิลกำหนดไว้ดังนี้ -

$$ H (t) \ equiv \ frac {da / dt} {a} $$

ซึ่งวัดว่าปัจจัยสเกลเปลี่ยนแปลงไปอย่างรวดเร็วเพียงใด โดยทั่วไปแล้ววิวัฒนาการของสเกลแฟคเตอร์จะถูกกำหนดโดยสมการฟรีดมันน์

$$ H ^ 2 (t) \ equiv \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {\ wedge} {3} $$

ที่ไหน ∧ เป็นค่าคงที่ของจักรวาล

สำหรับเอกภพแบน k = 0 ดังนั้นสมการฟรีดมันน์จึงกลายเป็น -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {\ wedge} {3} $$

สำหรับสสารที่ครอบงำจักรวาลความหนาแน่นจะแตกต่างกันไปตาม -

$$ \ frac {\ rho_m} {\ rho_ {m, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 3 \ Rightarrow \ rho_m = \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} $$

และสำหรับการแผ่รังสีที่ครอบงำจักรวาลความหนาแน่นจะแตกต่างกันไปตาม -

$$ \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_ {rad, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 4 \ Rightarrow \ rho_ {rad} = \ rho_ {rad, 0} a ^ {- 4} $$

ปัจจุบันเราอาศัยอยู่ในจักรวาลที่ครอบงำสสาร ดังนั้นเมื่อพิจารณาถึง $ \ rho ≡ \ rho_m $ เราจะได้ -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {\ wedge} {3} $$

ค่าคงที่ของจักรวาลและความหนาแน่นของพลังงานมืดมีความสัมพันธ์กันดังนี้ -

$$ \ rho_ \ wedge = \ frac {\ wedge} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ wedge = 8 \ pi G \ rho_ \ wedge $$

จากนี้เราจะได้รับ -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ \ wedge $$

นอกจากนี้ความหนาแน่นวิกฤตและค่าคงที่ของฮับเบิลมีความสัมพันธ์กันดังนี้ -

$$ \ rho_ {c, 0} = \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ frac {8 \ pi G} {3} = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} $$

จากนี้เราจะได้รับ -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ \ wedge $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 3} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0 } $$

$$ (\ dot {a}) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 1} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} \ frac {1} {a} + \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) + \ Omega _ {\ wedge, 0} \ frac {1} { (1 + z) ^ 2} $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 (1 + z) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge , 0} $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 \ frac {1} {a ^ 2} = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {\ wedge, 0} $$

$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$

ที่นี่ $ H (z) $ คือพารามิเตอร์ของฮับเบิลที่ขึ้นกับกะแดง ซึ่งสามารถแก้ไขได้เพื่อรวมพารามิเตอร์ความหนาแน่นของรังสี $ \ Omega_ {rad} $ และพารามิเตอร์ความหนาแน่นของความโค้ง $ \ Omega_k $ สมการที่แก้ไขคือ -

$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4+ \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$

$$ หรือ \: \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = E (z) $$

$$ หรือ \: H (z) = H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} $$

ที่ไหน

$$ E (z) \ equiv \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4 + \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$

นี่แสดงให้เห็นว่าพารามิเตอร์ของฮับเบิลแปรผันตามเวลา

สำหรับ Einstein-de Sitter จักรวาล, $ \ Omega_m = 1, \ Omega_ \ wedge = 0, k = 0 $

เมื่อใส่ค่าเหล่านี้เราจะได้ -

$$ H (z) = H_0 (1 + z) ^ {\ frac {3} {2}} $$

ซึ่งแสดงวิวัฒนาการเวลาของพารามิเตอร์ฮับเบิลสำหรับเอกภพ Einstein-de Sitter

พารามิเตอร์ความหนาแน่น

พารามิเตอร์ความหนาแน่น $ \ Omega $ ถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของความหนาแน่นจริง (หรือสังเกตได้) ρต่อความหนาแน่นวิกฤต $ \ rho_c $ สำหรับปริมาณใด ๆ $ x $ พารามิเตอร์ความหนาแน่นที่สอดคล้องกัน $ \ Omega_x $ สามารถแสดงทางคณิตศาสตร์เป็น -

$$ \ Omega_x = \ frac {\ rho_x} {\ rho_c} $$

สำหรับปริมาณที่แตกต่างกันภายใต้การพิจารณาเราสามารถกำหนดพารามิเตอร์ความหนาแน่นต่อไปนี้

ส.	ปริมาณ	พารามิเตอร์ความหนาแน่น
1	แบริออน	$ \ Omega_b = \ frac {\ rho_b} {\ rho_c} $
2	สสาร (Baryonic + Dark)	$ \ Omega_m = \ frac {\ rho_m} {\ rho_c} $
3	พลังงานมืด	$ \ Omega_ \ wedge = \ frac {\ rho_ \ wedge} {\ rho_c} $
4	การฉายรังสี	$ \ Omega_ {rad} = \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_c} $

โดยที่สัญลักษณ์มีความหมายตามปกติ

สิ่งที่ต้องจำ

• วิวัฒนาการของสเกลแฟคเตอร์ถูกกำหนดโดย Friedmann Equation.

• H(z) เป็นค่าพารามิเตอร์ของฮับเบิลกะสีแดง

• Hubble Parameter แตกต่างกันไปตามเวลา

• Density Parameter ถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของความหนาแน่นจริง (หรือสังเกตได้) ต่อความหนาแน่นวิกฤต