พารามิเตอร์ของฮับเบิลและสเกลแฟกเตอร์

ในบทนี้เราจะพูดถึงพารามิเตอร์ของฮับเบิลและสเกลแฟกเตอร์

  • Prerequisite - Cosmological Redshift หลักการจักรวาลวิทยา

  • Assumption - เอกภพเป็นเนื้อเดียวกันและเป็นไอโซทรอปิก

ค่าคงที่ของฮับเบิลกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของสเกลแฟคเตอร์แบบเศษส่วน

ในส่วนนี้เราจะเชื่อมโยงค่าคงที่ของฮับเบิลกับอัตราเศษส่วนของการเปลี่ยนแปลงของสเกลแฟกเตอร์

เราสามารถเขียนความเร็วในลักษณะต่อไปนี้และทำให้ง่ายขึ้น

$$ v = \ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} $$

$$ = \ frac {d [a (t) r_c} {dt} $$

$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast (ar_c) $$

$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast r_p $$

ที่นี่ v คือความเร็วถอย a คือสเกลแฟกเตอร์และ rp คือระยะห่างที่เหมาะสมระหว่างกาแลคซี

Hubble’s Empirical Formula เป็นของธรรมชาติ -

$$ v = H \ ast r_p $$

ดังนั้นการเปรียบเทียบสองสมการข้างต้นที่เราได้รับ -

Hubble’s Parameter = Fractional rate of change of the scale factor

$$ H = da / dt \ ast 1 / a $$

Note- นี่ไม่ใช่ค่าคงที่เนื่องจากสเกลแฟคเตอร์เป็นฟังก์ชันของเวลา ดังนั้นจึงเรียกว่าพารามิเตอร์ของฮับเบิลไม่ใช่ค่าคงที่ของฮับเบิล

เราเขียนเชิงประจักษ์ -

$$ H = V / D $$

ดังนั้นจากสมการนี้เราสามารถสรุปได้ตั้งแต่นั้นมา D กำลังเพิ่มขึ้นและ V เป็นค่าคงที่แล้ว H ลดลงตามเวลาและการขยายตัวของจักรวาล

สมการฟรีดมันน์ร่วมกับแบบจำลองโรเบิร์ตสัน - วอล์กเกอร์

ในส่วนนี้เราจะเข้าใจว่า Friedmann Equation ใช้ร่วมกับแบบจำลอง Robertson-Walker ได้อย่างไร เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ให้เราใช้ภาพต่อไปนี้ซึ่งมีมวลทดสอบที่ระยะทางrp จากมวลสาร M ตัวอย่างเช่น.

เมื่อพิจารณาจากภาพด้านบนเราสามารถแสดงพลังเป็น -

$$ F = G \ ast M \ ast \ frac {m} {r ^ 2_p} $$

ที่นี่ G คือค่าคงที่ความโน้มถ่วงสากลและρคือความหนาแน่นของสสารภายในเอกภพที่สังเกตได้

ตอนนี้สมมติว่าความหนาแน่นของมวลสม่ำเสมอภายในทรงกลมที่เราเขียนได้ -

$$ M = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast r_p ^ 3 \ ast \ rho $$

ใช้สิ่งเหล่านี้กลับมาในสมการกำลังของเราที่เราได้รับ -

$$ F = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p \ ast \ rho \ ast m $$

ดังนั้นเราจึงเขียนพลังงานศักย์และพลังงานจลน์ของมวลได้ m เป็น -

$$ V = - \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r ^ 2_p \ ast m \ ast \ rho $$

$$ KE = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ frac {\ mathrm {d} r_p ^ 2} {\ mathrm {d} t} $$

ใช้ Virial Theorem -

$$ U = KE + V $$

$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 - \ frac {4} { 3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$

แต่นี่ $ r_p = ar_c $ ดังนั้นเราจึงได้รับ -

$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 r_c ^ 2 - \ frac { 4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$

ในการทำให้เข้าใจง่ายขึ้นเราได้สมการฟรีดมันน์

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi} {3} \ ast G \ ast \ rho + \ frac {2U} {m} \ ast r_c ^ 2 \ ast a ^ 2 $$

ที่นี่ Uเป็นค่าคงที่ เราสังเกตด้วยว่าเอกภพที่เราอาศัยอยู่ในปัจจุบันนั้นถูกครอบงำโดยสสารในขณะที่ความหนาแน่นของพลังงานการแผ่รังสีนั้นต่ำมาก

สิ่งที่ต้องจำ

  • พารามิเตอร์ของฮับเบิลจะลดลงตามเวลาและการขยายตัวของเอกภพ

  • เอกภพที่เราอาศัยอยู่ในปัจจุบันถูกครอบงำโดยสสารและความหนาแน่นของพลังงานการแผ่รังสีต่ำมาก