Redshift และ Recessional Velocity
การสังเกตของฮับเบิลใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าความเร็วในแนวรัศมีเกี่ยวข้องกับการขยับของ Spectral Lines. ที่นี่เราจะสังเกตสี่กรณีและค้นหาความสัมพันธ์ระหว่าง Recessional Velocity ($ v_r $) และ Red Shift (z)
กรณีที่ 1: กรณีที่ไม่เกี่ยวข้องกับการย้ายแหล่งที่มา
ในกรณีนี้ v น้อยกว่า c มาก แหล่งที่มากำลังปล่อยสัญญาณบางอย่าง (เสียงแสง ฯลฯ ) ซึ่งแพร่กระจายเป็นWavefronts. ช่วงเวลาระหว่างการส่งสัญญาณสองสัญญาณติดต่อกันในเฟรมต้นทางคือΔts. ช่วงเวลาระหว่างการรับสัญญาณสองสัญญาณติดต่อกันในกรอบสังเกตการณ์คือΔto.
ถ้าทั้งผู้สังเกตและแหล่งที่มาอยู่กับที่ให้Δts = Δto แต่นี่ไม่ใช่กรณีนี้ แต่ความสัมพันธ์จะเป็นดังนี้
$$ \ Delta t_o = \ Delta t_s + \ frac {\ Delta l} {c} $$
ตอนนี้ $ \ Delta l = v \ Delta t_s $
นอกจากนี้เนื่องจาก (ความเร็วคลื่น x เวลา) = ความยาวคลื่นเราจึงได้
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} $$
จากสมการข้างต้นเราได้รับความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้ -
$$ \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} = 1 + \ frac {v} {c} $$
โดยที่ $ \ lambda _s $ คือความยาวคลื่นของสัญญาณที่ต้นทางและ $ \ lambda _o $ คือความยาวคลื่นของสัญญาณตามที่ผู้สังเกตตีความ
ที่นี่เนื่องจากแหล่งที่มากำลังเคลื่อนออกไปจากผู้สังเกตการณ์ v เป็นบวก
กะแดง -
$$ z = \ frac {\ lambda_o - \ lambda_s} {\ lambda_s} = \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} - 1 $$
จากสมการข้างต้นเราจะได้ Red shift ดังนี้
$$ z = \ frac {v} {c} $$
กรณีที่ 2: กรณีที่ไม่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ของผู้สังเกตการณ์
ในกรณีนี้ v น้อยกว่า c มาก ที่นี่ $ \ Delta l $ แตกต่างกัน
$$ \ Delta l = v \ Delta t_o $$
ในการทำให้เข้าใจง่ายเราได้รับ -
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ left (1 - \ frac {v} {c} \ right) ^ {- 1} $$
เราได้รับ Red shift ดังนี้ -
$$ z = \ frac {v / c} {1-v / c} $$
ตั้งแต่ v << cนิพจน์การเลื่อนสีแดงสำหรับทั้ง Case I และ Case II นั้นใกล้เคียงกันโดยประมาณ
ให้เราดูว่าการเปลี่ยนแปลงสีแดงที่ได้รับในสองกรณีข้างต้นแตกต่างกันอย่างไร
$$ z_ {II} - z_I = \ frac {v} {c} \ left [\ frac {1} {1 - v / c} -1 \ right] $$
ดังนั้น $ z_ {II} - z_ {I} $ จึงเป็นจำนวนที่น้อยมากเนื่องจากปัจจัย $ (v / c) ^ 2 $
นี่หมายความว่าถ้า v << c เราไม่สามารถบอกได้ว่าแหล่งกำเนิดกำลังเคลื่อนที่หรือผู้สังเกตกำลังเคลื่อนที่
ตอนนี้ให้เราเข้าใจไฟล์ Basics of STR (ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ) -
ความเร็วของแสงเป็นค่าคงที่
เมื่อแหล่งกำเนิด (หรือผู้สังเกตการณ์) เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเทียบเท่ากับความเร็วของแสงจะสังเกตเห็นเอฟเฟกต์เชิงสัมพันธ์
การขยายเวลา: $ \ Delta t_o = \ gamma \ Delta t_s $
การหดตัวของความยาว: $ \ Delta l_o = \ Delta t_s / \ gamma $
ที่นี่ $ \ gamma $ คือไฟล์ Lorrentz factorมากกว่า 1
$$ \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} $$
กรณีที่ 3: กรณีเชิงสัมพันธ์ของการย้ายแหล่งที่มา
ในกรณีนี้ v เปรียบได้กับ c อ้างถึงรูปเดียวกับในกรณีที่ 1 เนื่องจากเอฟเฟกต์เชิงสัมพัทธภาพจะสังเกตเห็นการขยายเวลาและด้วยเหตุนี้จึงได้รับความสัมพันธ์ต่อไปนี้ (แหล่งที่มากำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงสัมพันธ์)
$$ \ Delta t_o = \ gamma \ Delta t_s + \ frac {\ Delta l} {c} $$
$$ \ Delta l = \ frac {v \ gamma \ Delta t_s} {c} $$
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {1 + v / c} {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} $$
ในการทำให้เข้าใจง่ายขึ้นเราได้รับ
$$ 1 + z = \ sqrt {\ frac {1 + v / c} {1-v / c}} $$
นิพจน์ข้างต้นเรียกว่า Kinematic Doppler Shift Expression.
กรณีที่ 4: Relativistic Case of Observer Moving
อ้างถึงรูปเดียวกับใน Case II เนื่องจากผลของความสัมพันธ์จึงสังเกตเห็นการลดเวลาให้สั้นลงและด้วยเหตุนี้จึงได้รับความสัมพันธ์ต่อไปนี้ (ผู้สังเกตการณ์กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงสัมพันธ์)
$$ \ Delta t_o = \ frac {\ Delta t_s} {\ gamma} + \ frac {\ Delta l} {c} $$
$$ \ Delta l = \ frac {v \ Delta t_o} {c} $$
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} {1-v / c} $$
ในการทำให้เข้าใจง่ายขึ้นเราได้รับ -
$$ 1 + z = \ sqrt {\ frac {1+ v / c} {1- v / c}} $$
นิพจน์ข้างต้นเหมือนกับสิ่งที่เราได้รับสำหรับ Case III
สิ่งที่ต้องจำ
ความเร็วในการถอยและการเปลี่ยนสีแดงของดาวเป็นปริมาณที่สัมพันธ์กัน
ในกรณีที่ไม่เกี่ยวข้องกันเราไม่สามารถระบุได้ว่าแหล่งที่มานั้นเคลื่อนที่หรือหยุดนิ่ง
ในกรณีเชิงสัมพัทธภาพไม่มีความแตกต่างในความสัมพันธ์ของความเร็ว redshift-recessional สำหรับการเคลื่อนที่ของแหล่งที่มาหรือผู้สังเกตการณ์
การเคลื่อนที่ของนาฬิกาเคลื่อนที่ช้าลงเป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีสัมพัทธภาพ