จักรวาลวิทยา - จักรวาลที่ถูกครอบงำสสาร
ในบทนี้เราจะกล่าวถึงการแก้สมการของฟรีดมันน์ที่เกี่ยวข้องกับจักรวาลที่ถูกครอบงำสสาร ในจักรวาลวิทยาเนื่องจากเรามองเห็นทุกสิ่งในวงกว้างระบบสุริยะกาแลคซีทุกสิ่งเกิดขึ้นเหมือนอนุภาคฝุ่น (นั่นคือสิ่งที่เราเห็นด้วยตาของเรา) เราสามารถเรียกมันว่าจักรวาลที่เต็มไปด้วยฝุ่นหรือสสารเฉพาะเอกภพ
ใน Fluid Equation,
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right ) \ left (\ frac {P} {c ^ 2} \ right) $$
เราจะเห็นว่ามีระยะกดดัน สำหรับจักรวาลที่เต็มไปด้วยฝุ่นP = 0เนื่องจากความหนาแน่นของพลังงานของสสารจะมากกว่าความดันรังสีและสสารจะไม่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงสัมพัทธภาพ
ดังนั้นสมการของไหลจะกลายเป็น
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho $$
$$ \ Rightarrow \ dot {\ rho} a + 3 \ dot {a} \ rho = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ frac {1} {a ^ 3} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (a ^ 3 \ rho) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ rho a ^ 3 = \: ค่าคงที่ $$
$$ \ Rightarrow \ rho \ propto \ frac {1} {a ^ 3} $$
ไม่มีสัญชาตญาณตอบโต้ในสมการนี้เนื่องจากความหนาแน่นควรปรับขนาดเป็น $ a ^ {- 3} $ เนื่องจากปริมาณเพิ่มขึ้นเป็น $ a ^ 3 $
จากความสัมพันธ์ครั้งล่าสุดเราสามารถพูดได้ว่า
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ left [\ frac {a_0} {a (t)} \ right] ^ 3 $$
สำหรับจักรวาลปัจจุบัน aซึ่งเท่ากับ a0 ควรเป็น 1 ดังนั้น
$$ \ rho (t) = \ frac {\ rho_0} {a ^ 3} $$
ในสสารที่ครอบงำจักรวาลแบน k = 0 ดังนั้นสมการของฟรีดมันน์จะกลายเป็น
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} $$
$$ \ dot {a} ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho a ^ 2} {3} $$
โดยการแก้สมการนี้เราจะได้
$$ a \ propto t ^ {2/3} $$
$$ \ frac {a (t)} {a_0} = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
$$ a (t) = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
นั่นหมายความว่าจักรวาลจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ โดยมีอัตราที่ลดน้อยลง ภาพต่อไปนี้แสดงการขยายตัวของ Dusty Universe
ρเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาอย่างไร?
ดูสมการต่อไปนี้ -
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ left (\ frac {t_0} {t} \ right) ^ 2 $$
เราทราบว่าตัวคูณมาตราส่วนเปลี่ยนแปลงตามเวลาเป็น $ t ^ {2/3} $ ดังนั้น,
$$ a (t) = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
เราจะได้รับความแตกต่าง
$$ \ frac {(da)} {dt} = \ dot {a} = \ frac {2} {3} \ left (\ frac {t ^ {- 1/3}} {t_0} \ right) $$
เรารู้ว่า Hubble Constant คือ,
$$ H (t) = \ frac {\ dot {a}} {a} = \ frac {2} {3t} $$
นี่คือสมการของ Einstein-de sitter Universe. ถ้าเราต้องการคำนวณอายุปัจจุบันของจักรวาล
$$ t_0 = t_ {age} = \ frac {2} {3H_0} $$
หลังจากใส่มูลค่า $ H_0 $ สำหรับจักรวาลปัจจุบันเราจะได้ค่าอายุของจักรวาลเป็น 9 Gyrs. มีมากมายGlobular Cluster ในกาแล็กซีทางช้างเผือกของเราเองซึ่งมีอายุมากกว่านั้น
นั่นคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับจักรวาลที่เต็มไปด้วยฝุ่น ทีนี้ถ้าคุณคิดว่าเอกภพถูกครอบงำด้วยรังสีไม่ใช่สสารความหนาแน่นของพลังงานการแผ่รังสีจะเป็น $ a ^ {- 4} $ แทนที่จะเป็น $ a ^ {- 3} $ เราจะเห็นมากขึ้นในบทต่อไป
สิ่งที่ต้องจำ
ในจักรวาลวิทยาทุกสิ่งเกิดขึ้นเหมือนอนุภาคฝุ่นดังนั้นเราจึงเรียกมันว่าจักรวาลที่เต็มไปด้วยฝุ่นหรือสสารเฉพาะจักรวาล
ถ้าเราสมมติว่าเอกภพถูกครอบงำด้วยรังสีไม่ใช่สสารความหนาแน่นของพลังงานการแผ่รังสีจะเป็น $ a ^ {- 4} $ แทนที่จะเป็น $ a ^ {- 3} $