ทฤษฎีเครือข่าย - คู่มือฉบับย่อ

Network theoryเป็นการศึกษาการแก้ปัญหาของวงจรไฟฟ้าหรือเครือข่ายไฟฟ้า ในบทเกริ่นนำนี้ให้เราพูดถึงคำศัพท์พื้นฐานของวงจรไฟฟ้าและประเภทขององค์ประกอบเครือข่ายก่อน

คำศัพท์พื้นฐาน

ในทฤษฎีเครือข่ายเรามักจะพบคำศัพท์ต่อไปนี้ -

  • วงจรไฟฟ้า
  • เครือข่ายไฟฟ้า
  • Current
  • Voltage
  • Power

ดังนั้นจึงมีความจำเป็นที่เราจะต้องรวบรวมความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับข้อกำหนดเหล่านี้ก่อนที่จะดำเนินการต่อไป เริ่มต้นด้วย Electric Circuit

วงจรไฟฟ้า

วงจรไฟฟ้ามีเส้นทางปิดสำหรับการไหลของอิเล็กตรอนจากแหล่งจ่ายแรงดันหรือแหล่งกระแส องค์ประกอบที่มีอยู่ในวงจรไฟฟ้าจะอยู่ในseries connection, parallel connectionหรือในการผสมผสานระหว่างอนุกรมและการเชื่อมต่อแบบขนาน

เครือข่ายไฟฟ้า

เครือข่ายไฟฟ้าไม่จำเป็นต้องมีเส้นทางปิดสำหรับการไหลของอิเล็กตรอนจากแหล่งจ่ายแรงดันหรือแหล่งกระแส ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่า "วงจรไฟฟ้าทั้งหมดเป็นเครือข่ายไฟฟ้า" แต่การสนทนาไม่จำเป็นต้องเป็นจริง

ปัจจุบัน

ปัจจุบัน "I"การไหลผ่านตัวนำไม่ได้เป็นเพียงอัตราเวลาของการไหลของประจุ ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนเป็น

$$I = \frac{dQ}{dt}$$

ที่ไหน

  • Q คือค่าใช้จ่ายและหน่วยของมันคือ Coloumb

  • t คือเวลาและหน่วยเป็นวินาที

ในการเปรียบเทียบกระแสไฟฟ้าสามารถคิดได้ว่าเป็นการไหลของน้ำผ่านท่อ ปัจจุบันวัดในรูปของAmpere.

โดยทั่วไปแล้ว Electron current ไหลจากขั้วลบของแหล่งกำเนิดไปยังขั้วบวกในขณะที่ Conventional current ไหลจากขั้วบวกของแหล่งกำเนิดไปยังขั้วลบ

Electron current ได้มาจากการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนอิสระในขณะที่ Conventional currentได้มาจากการเคลื่อนที่ของประจุบวกอิสระ ทั้งสองอย่างนี้เรียกว่าelectric current.

แรงดันไฟฟ้า

แรงดันไฟฟ้า "V"เป็นเพียงแรงเคลื่อนไฟฟ้าที่ทำให้ประจุ (อิเล็กตรอน) ไหล ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนเป็น

$$V = \frac{dW}{dQ}$$

ที่ไหน

  • W คือพลังงานศักย์และหน่วยของมันคือจูล

  • Q คือค่าใช้จ่ายและหน่วยของมันคือ Coloumb

ในการเปรียบเทียบแรงดันไฟฟ้าสามารถคิดได้ว่าเป็นแรงดันของน้ำที่ทำให้น้ำไหลผ่านท่อ มันวัดในรูปของVolt.

อำนาจ

พลัง "P"ไม่มีอะไรนอกจากอัตราเวลาของการไหลของพลังงานไฟฟ้า ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนเป็น

$$P = \frac{dW}{dt}$$

ที่ไหน

  • W คือพลังงานไฟฟ้าและวัดได้ในรูปของ Joule.

  • t คือเวลาและวัดเป็นวินาที

เราสามารถเขียนสมการข้างต้น a

$$P = \frac{dW}{dt} = \frac{dW}{dQ} \times \frac{dQ}{dt} = VI$$

ดังนั้น, power ไม่มีอะไรนอกจาก product ของแรงดันไฟฟ้า V และปัจจุบัน I. หน่วยของมันคือWatt.

ประเภทขององค์ประกอบเครือข่าย

เราสามารถจำแนกองค์ประกอบเครือข่ายออกเป็นประเภทต่างๆได้ตามพารามิเตอร์บางตัว ต่อไปนี้เป็นประเภทขององค์ประกอบเครือข่าย -

  • Active Elements และ Passive Elements

  • องค์ประกอบเชิงเส้นและองค์ประกอบที่ไม่ใช่เชิงเส้น

  • องค์ประกอบทวิภาคีและองค์ประกอบข้างเดียว

Active Elements และ Passive Elements

เราสามารถจำแนกองค์ประกอบเครือข่ายออกเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง active หรือ passive ขึ้นอยู่กับความสามารถในการส่งมอบพลังงาน

  • Active Elementsส่งพลังงานไปยังองค์ประกอบอื่น ๆ ซึ่งมีอยู่ในวงจรไฟฟ้า บางครั้งพวกมันอาจดูดซับพลังเหมือนธาตุแฝง นั่นหมายความว่าองค์ประกอบที่ใช้งานมีความสามารถทั้งในการส่งมอบและการดูดซับพลังExamples: แหล่งจ่ายแรงดันและแหล่งกระแส

  • Passive Elementsไม่สามารถส่งพลัง (พลังงาน) ไปยังองค์ประกอบอื่น ๆ ได้ แต่พวกมันสามารถดูดซับพลังได้ นั่นหมายความว่าองค์ประกอบเหล่านี้กระจายพลังงานในรูปแบบของความร้อนหรือเก็บพลังงานในรูปของสนามแม่เหล็กหรือสนามไฟฟ้าExamples: ตัวต้านทานตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ

องค์ประกอบเชิงเส้นและองค์ประกอบที่ไม่ใช่เชิงเส้น

เราสามารถแบ่งประเภทขององค์ประกอบเครือข่ายเป็น linear หรือ non-linear ขึ้นอยู่กับลักษณะของพวกเขาเพื่อปฏิบัติตามคุณสมบัติของเส้นตรง

  • Linear Elements เป็นองค์ประกอบที่แสดงความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างแรงดันและกระแส Examples: ตัวต้านทานตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ

  • Non-Linear Elements คือสิ่งที่ไม่แสดงความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างแรงดันและกระแส Examples: แหล่งจ่ายแรงดันและแหล่งกระแส

องค์ประกอบทวิภาคีและองค์ประกอบข้างเดียว

องค์ประกอบเครือข่ายสามารถจำแนกได้เช่นกัน bilateral หรือ unilateral ขึ้นอยู่กับทิศทางของกระแสไหลผ่านองค์ประกอบเครือข่าย

Bilateral Elements เป็นองค์ประกอบที่อนุญาตให้กระแสไฟฟ้าทั้งสองทิศทางและมีความต้านทานเดียวกันในทิศทางใดทิศทางหนึ่งของการไหลของกระแส Examples: ตัวต้านทานตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ

แนวคิดขององค์ประกอบทวิภาคีแสดงไว้ในรูปต่อไปนี้

ในรูปด้านบนกระแส (I) ไหลจากขั้ว A ถึง B ผ่านองค์ประกอบแบบพาสซีฟที่มีความต้านทานของZ Ω มันคืออัตราส่วนของแรงดันไฟฟ้า (V) ขององค์ประกอบนั้นระหว่างขั้ว A & B และกระแส (I)

ในรูปด้านบนกระแส (I) ไหลจากขั้ว B ไปยัง A ผ่านองค์ประกอบแบบพาสซีฟที่มีอิมพีแดนซ์ของZ Ω นั่นหมายความว่ากระแส (–I) กำลังไหลจากขั้ว A ถึง B ในกรณีนี้เราก็จะได้ค่าอิมพีแดนซ์เท่ากันเนื่องจากทั้งกระแสและแรงดันมีสัญญาณลบเทียบกับขั้ว A & B

Unilateral Elementsเป็นสิ่งที่ยอมให้กระแสในทิศทางเดียวเท่านั้น ดังนั้นพวกเขาจึงมีความต้านทานที่แตกต่างกันในทั้งสองทิศทาง

เราได้กล่าวถึงประเภทขององค์ประกอบเครือข่ายในบทที่แล้ว ตอนนี้ให้เราระบุไฟล์nature of network elements จากคุณลักษณะ VI ที่ให้ไว้ในตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง 1

V-I characteristics ขององค์ประกอบเครือข่ายแสดงอยู่ด้านล่าง

Step 1 - ตรวจสอบองค์ประกอบเครือข่ายเป็น linear หรือ non-linear.

จากรูปด้านบนลักษณะ VI ขององค์ประกอบเครือข่ายคือเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด ดังนั้นจึงเป็นLinear element.

Step 2 - ตรวจสอบองค์ประกอบเครือข่ายเป็น active หรือ passive.

ลักษณะ VI ที่กำหนดขององค์ประกอบเครือข่ายอยู่ในจตุภาคที่หนึ่งและสาม

  • ใน first quadrantค่าของทั้งแรงดันไฟฟ้า (V) และกระแส (I) เป็นบวก ดังนั้นอัตราส่วนของแรงดันไฟฟ้า (V) และกระแส (I) จึงให้ค่าอิมพีแดนซ์เป็นบวก

  • ในทำนองเดียวกันในไฟล์ third quadrantค่าของทั้งแรงดันไฟฟ้า (V) และกระแส (I) มีค่าเป็นลบ ดังนั้นอัตราส่วนของแรงดันไฟฟ้า (V) และกระแส (I) จึงสร้างค่าอิมพีแดนซ์ที่เป็นบวก

เนื่องจากคุณสมบัติ VI ที่กำหนดจึงมีค่าอิมพีแดนซ์เป็นบวกองค์ประกอบเครือข่ายจึงเป็น Passive element.

Step 3 - ตรวจสอบองค์ประกอบเครือข่ายเป็น bilateral หรือ unilateral.

สำหรับทุกจุด (I, V) ในคุณสมบัติจะมีจุดที่สอดคล้องกัน (-I, -V) สำหรับคุณสมบัติที่กำหนด ดังนั้นองค์ประกอบเครือข่ายคือไฟล์Bilateral element.

ดังนั้นลักษณะ VI ที่กำหนดแสดงว่าองค์ประกอบเครือข่ายเป็นไฟล์ Linear, Passiveและ Bilateral element.

ตัวอย่าง 2

V-I characteristics ขององค์ประกอบเครือข่ายแสดงอยู่ด้านล่าง

Step 1 - ตรวจสอบองค์ประกอบเครือข่ายเป็น linear หรือ non-linear.

จากรูปด้านบนลักษณะ VI ขององค์ประกอบเครือข่ายเป็นเส้นตรงระหว่างจุด (-3A, -3V) และ (5A, 5V) เท่านั้น นอกเหนือจากประเด็นเหล่านี้ลักษณะ VI ไม่ได้เป็นไปตามความสัมพันธ์เชิงเส้น ดังนั้นจึงเป็นNon-linear element.

Step 2 - ตรวจสอบองค์ประกอบเครือข่ายเป็น active หรือ passive.

ลักษณะ VI ที่กำหนดขององค์ประกอบเครือข่ายอยู่ในจตุภาคที่หนึ่งและสาม ในจตุภาคทั้งสองนี้อัตราส่วนของแรงดันไฟฟ้า (V) และกระแส (I) จะสร้างค่าความต้านทานที่เป็นบวก ดังนั้นองค์ประกอบเครือข่ายคือไฟล์Passive element.

Step 3 - ตรวจสอบองค์ประกอบเครือข่ายเป็น bilateral or unilateral.

พิจารณาจุด (5A, 5V) เกี่ยวกับคุณสมบัติ จุดที่สอดคล้องกัน (-5A, -3V) มีอยู่ในคุณสมบัติที่กำหนดแทนที่จะเป็น (-5A, -5V) ดังนั้นองค์ประกอบเครือข่ายคือไฟล์Unilateral element.

ดังนั้นลักษณะ VI ที่กำหนดแสดงว่าองค์ประกอบเครือข่ายเป็นไฟล์ Non-linear, Passiveและ Unilateral element.

Active Elementsเป็นองค์ประกอบเครือข่ายที่ส่งพลังงานไปยังองค์ประกอบอื่น ๆ ที่มีอยู่ในวงจรไฟฟ้า ดังนั้นองค์ประกอบที่ใช้งานจึงถูกเรียกว่าเป็นแหล่งของแรงดันไฟฟ้าหรือประเภทกระแส เราสามารถจำแนกแหล่งข้อมูลเหล่านี้ออกเป็นสองประเภทต่อไปนี้ -

  • แหล่งที่มาอิสระ
  • ขึ้นอยู่กับแหล่งที่มา

แหล่งที่มาอิสระ

ตามชื่อที่แนะนำแหล่งที่มาอิสระจะสร้างค่าคงที่ของแรงดันไฟฟ้าหรือกระแสและสิ่งเหล่านี้ไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์อื่นใด แหล่งข้อมูลอิสระสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทต่อไปนี้ -

  • แหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าอิสระ
  • แหล่งที่มาปัจจุบันอิสระ

แหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าอิสระ

แหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าอิสระจะสร้างแรงดันไฟฟ้าคงที่ตลอดทั้งสองขั้ว แรงดันไฟฟ้านี้ไม่ขึ้นอยู่กับปริมาณของกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านขั้วทั้งสองของแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า

อิสระ ideal voltage source และลักษณะ VI แสดงในรูปต่อไปนี้

V-I characteristicsของแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าในอุดมคติที่เป็นอิสระคือเส้นคงที่ซึ่งจะเท่ากับแรงดันต้นทาง (VS) เสมอโดยไม่คำนึงถึงค่าปัจจุบัน (I) ดังนั้นความต้านทานภายในของแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าในอุดมคติที่เป็นอิสระคือศูนย์โอห์ม

ดังนั้นแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าในอุดมคติที่เป็นอิสระ do not exist practicallyเพราะจะมีความต้านทานภายใน

อิสระ practical voltage source และลักษณะ VI แสดงในรูปต่อไปนี้

มีความเบี่ยงเบนในลักษณะ VI ของแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าที่ใช้งานได้จริงจากลักษณะ VI ของแหล่งแรงดันไฟฟ้าในอุดมคติที่เป็นอิสระ สาเหตุนี้เกิดจากแรงดันตกคร่อมความต้านทานภายใน (R S ) ของแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าที่เป็นอิสระ

แหล่งที่มาปัจจุบันอิสระ

แหล่งกระแสอิสระจะสร้างกระแสคงที่ กระแสไฟฟ้านี้ไม่ขึ้นกับแรงดันไฟฟ้าข้ามขั้วทั้งสอง อิสระideal current source และลักษณะ VI แสดงในรูปต่อไปนี้

V-I characteristicsของแหล่งกระแสในอุดมคติอิสระคือเส้นคงที่ซึ่งจะเท่ากับกระแสต้นทาง (I S ) เสมอโดยไม่คำนึงถึงค่าแรงดันไฟฟ้า (V) ดังนั้นความต้านทานภายในของแหล่งกระแสในอุดมคติที่เป็นอิสระคือโอห์มไม่มีที่สิ้นสุด

ดังนั้นแหล่งกระแสในอุดมคติที่เป็นอิสระ do not exist practicallyเพราะจะมีความต้านทานภายใน

อิสระ practical current source และลักษณะ VI แสดงในรูปต่อไปนี้

มีความเบี่ยงเบนในลักษณะ VI ของแหล่งกระแสในทางปฏิบัติที่เป็นอิสระจากลักษณะ VI ของแหล่งกระแสในอุดมคติที่เป็นอิสระ นี่เป็นเพราะปริมาณของกระแสที่ไหลผ่านความต้านทานการแบ่งภายใน (R S ) ของแหล่งจ่ายกระแสไฟฟ้าที่เป็นอิสระ

ขึ้นอยู่กับแหล่งที่มา

ตามชื่อที่แนะนำแหล่งที่มาที่พึ่งพาจะสร้างปริมาณแรงดันหรือกระแสที่ขึ้นอยู่กับแรงดันไฟฟ้าหรือกระแสอื่น ๆ แหล่งที่ขึ้นอยู่กับที่เรียกอีกอย่างว่าcontrolled sources. แหล่งอ้างอิงสามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภทต่อไปนี้ -

  • แหล่งที่มาของแรงดันไฟฟ้าขึ้นอยู่กับ
  • ขึ้นอยู่กับแหล่งที่มาปัจจุบัน

แหล่งที่มาของแรงดันไฟฟ้าขึ้นอยู่กับ

แหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าที่อ้างอิงจะสร้างแรงดันไฟฟ้าข้ามขั้วทั้งสอง ปริมาณของแรงดันไฟฟ้านี้ขึ้นอยู่กับแรงดันไฟฟ้าหรือกระแสไฟฟ้าอื่น ๆ ดังนั้นแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าที่ขึ้นอยู่กับสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทต่อไปนี้ -

  • แหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าขึ้นอยู่กับแรงดันไฟฟ้า (VDVS)
  • แหล่งจ่ายแรงดันขึ้นอยู่กับปัจจุบัน (CDVS)

แหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าที่อ้างอิงจะแสดงด้วยเครื่องหมาย '+' และ '-' ภายในรูปเพชร ขนาดของแหล่งจ่ายแรงดันสามารถแสดงภายนอกรูปเพชรได้

ขึ้นอยู่กับแหล่งที่มาปัจจุบัน

แหล่งที่มาของกระแสไฟฟ้าที่อ้างอิงจะสร้างกระแส ปริมาณของกระแสไฟฟ้านี้ขึ้นอยู่กับแรงดันไฟฟ้าหรือกระแสไฟฟ้าอื่น ๆ ดังนั้นแหล่งที่มาในปัจจุบันที่อ้างอิงสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทต่อไปนี้ -

  • แหล่งจ่ายกระแสไฟฟ้าขึ้นอยู่กับแรงดันไฟฟ้า (VDCS)
  • ปัจจุบันขึ้นอยู่กับแหล่งที่มาปัจจุบัน (CDCS)

แหล่งที่มาในปัจจุบันที่อ้างอิงจะแสดงด้วยลูกศรภายในรูปเพชร ขนาดของแหล่งที่มาปัจจุบันสามารถแสดงภายนอกรูปเพชรได้

เราสามารถสังเกตแหล่งที่ขึ้นกับหรือควบคุมเหล่านี้ได้ในทรานซิสเตอร์รุ่นที่เทียบเท่ากัน

เทคนิคการแปลงแหล่งที่มา

เราทราบดีว่ามีแหล่งข้อมูลที่ใช้ได้จริง 2 แหล่ง ได้แก่ voltage source และ current source. เราสามารถแปลง (แปลง) แหล่งที่มาหนึ่งไปเป็นอีกแหล่งหนึ่งตามความต้องการในขณะที่แก้ปัญหาเครือข่าย

เทคนิคการเปลี่ยนแหล่งที่มาหนึ่งไปเป็นอีกแหล่งหนึ่งเรียกว่าเป็น source transformation technique. ต่อไปนี้คือการแปลงแหล่งที่มาที่เป็นไปได้สองแบบ -

  • แหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าที่ใช้งานได้จริงไปยังแหล่งกระแสไฟฟ้าในทางปฏิบัติ
  • แหล่งจ่ายกระแสที่ใช้งานได้จริงเป็นแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า

แหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าที่ใช้งานได้จริงไปยังแหล่งกระแสไฟฟ้าในทางปฏิบัติ

การเปลี่ยนแหล่งจ่ายแรงดันในทางปฏิบัติให้เป็นแหล่งกระแสที่ใช้งานได้จริงแสดงในรูปต่อไปนี้

Practical voltage sourceประกอบด้วยแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า (V S ) ในอนุกรมพร้อมตัวต้านทาน (R S ) สิ่งนี้สามารถแปลงเป็นแหล่งกระแสที่ใช้ได้จริงดังแสดงในรูป ประกอบด้วยแหล่งกระแส (I S ) คู่ขนานกับตัวต้านทาน (R S )

คุณค่าของการเป็นจะเท่ากับอัตราส่วนของวีเอสและอาร์เอส ในทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงเป็น

$$I_S = \frac{V_S}{R_S}$$

แหล่งจ่ายกระแสที่ใช้งานได้จริงเป็นแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า

การเปลี่ยนแหล่งจ่ายกระแสในทางปฏิบัติเป็นแหล่งจ่ายแรงดันในทางปฏิบัติแสดงในรูปต่อไปนี้

แหล่งที่มาในทางปฏิบัติประกอบด้วยแหล่งกระแส (I S ) คู่ขนานกับตัวต้านทาน (R S ) สามารถแปลงเป็นแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าได้ดังแสดงในรูป ประกอบด้วยแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า (V S ) ในอนุกรมพร้อมตัวต้านทาน (R S )

ค่าของ V Sจะเท่ากับสินค้าของฉันSและ R S ในทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงเป็น

$$V_S = I_S R_S$$

ในบทนี้เราจะพูดถึงรายละเอียดเกี่ยวกับองค์ประกอบแฝงเช่นตัวต้านทานตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ ให้เราเริ่มด้วยตัวต้านทาน

ตัวต้านทาน

การทำงานหลักของตัวต้านทานคือการต่อต้านหรือ จำกัด การไหลของกระแสไฟฟ้า ดังนั้นจึงใช้ตัวต้านทานเพื่อ จำกัด ปริมาณการไหลของกระแสและ / หรือการหารแรงดันไฟฟ้า (การแบ่งปัน)

ปล่อยให้กระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทานคือ I แอมแปร์และแรงดันไฟฟ้าที่อยู่ตรงข้ามคือโวลต์ V symbol ของตัวต้านทานพร้อมกับกระแส I และแรงดันไฟฟ้า V แสดงในรูปต่อไปนี้

ตาม Ohm’s lawแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวต้านทานคือผลคูณของกระแสที่ไหลผ่านและความต้านทานของตัวต้านทานนั้น Mathematicallyสามารถแสดงเป็น

$V = IR$ Equation 1

$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$Equation 2

ที่ไหน R คือความต้านทานของตัวต้านทาน

จากสมการที่ 2 เราสามารถสรุปได้ว่ากระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทานเป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงดันไฟฟ้าที่ใช้กับตัวต้านทานและแปรผกผันกับความต้านทานของตัวต้านทาน

Power ในองค์ประกอบวงจรไฟฟ้าสามารถแสดงเป็น

$P = VI$Equation 3

แทนสมการ 1 ในสมการ 3

$P = (IR)I$

$\Rightarrow P = I^2 R$ Equation 4

แทนสมการ 2 ในสมการ 3

$P = V \lgroup \frac{V}{R} \rgroup$

$\Rightarrow P = \frac{V^2}{R}$ Equation 5

ดังนั้นเราสามารถคำนวณปริมาณพลังงานที่กระจายไปในตัวต้านทานโดยใช้หนึ่งในสูตรที่กล่าวถึงในสมการ 3 ถึง 5

ตัวเหนี่ยวนำ

โดยทั่วไปตัวเหนี่ยวนำจะมีจำนวนรอบ ดังนั้นพวกมันจึงผลิตฟลักซ์แม่เหล็กเมื่อกระแสไหลผ่าน ดังนั้นจำนวนของฟลักซ์แม่เหล็กทั้งหมดที่เกิดจากตัวเหนี่ยวนำจึงขึ้นอยู่กับกระแสที่ฉันไหลผ่านและมีความสัมพันธ์เชิงเส้น

Mathematicallyสามารถเขียนเป็น

$$\Psi \: \alpha \: I$$

$$\Rightarrow \Psi = LI$$

ที่ไหน

  • Ψ คือฟลักซ์แม่เหล็กทั้งหมด

  • L คือการเหนี่ยวนำของตัวเหนี่ยวนำ

ปล่อยให้กระแสที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำคือIแอมแปร์และแรงดันไฟฟ้าที่อยู่ตรงข้ามคือโวลต์V symbolของตัวเหนี่ยวนำพร้อมกับกระแสIและแรงดันไฟฟ้าVแสดงดังรูปต่อไปนี้

ตาม Faraday’s lawแรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวเหนี่ยวนำสามารถเขียนเป็น

$$V = \frac{d\Psi}{dt}$$

แทนΨ = LIในสมการด้านบน

$$V = \frac{d(LI)}{dt}$$

$$\Rightarrow V = L \frac{dI}{dt}$$

$$\Rightarrow I = \frac{1}{L} \int V dt$$

จากสมการข้างต้นเราสามารถสรุปได้ว่ามี linear relationship ระหว่างแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเหนี่ยวนำและกระแสที่ไหลผ่าน

เรารู้ว่า power ในองค์ประกอบวงจรไฟฟ้าสามารถแสดงเป็น

$$P = VI$$

ทดแทน $V = L \frac{dI}{dt}$ ในสมการข้างต้น

$$P = \lgroup L \frac{dI}{dt}\rgroup I$$

$$\Rightarrow P = LI \frac{dI}{dt}$$

เมื่อรวมสมการข้างต้นเราจะได้ energy เก็บไว้ในตัวเหนี่ยวนำเป็น

$$W = \frac{1}{2} LI^2$$

ดังนั้นตัวเหนี่ยวนำจะเก็บพลังงานในรูปของสนามแม่เหล็ก

คาปาซิเตอร์

โดยทั่วไปตัวเก็บประจุจะมีแผ่นนำไฟฟ้าสองแผ่นคั่นด้วยสื่ออิเล็กทริก หากใช้แรงดันไฟฟ้าบวกกับตัวเก็บประจุมันจะเก็บประจุบวก ในทำนองเดียวกันหากใช้แรงดันไฟฟ้าลบกับตัวเก็บประจุก็จะเก็บประจุลบ

ดังนั้นจำนวนประจุที่เก็บไว้ในตัวเก็บประจุจึงขึ้นอยู่กับแรงดันไฟฟ้าที่ใช้ Vข้ามมันและมีความสัมพันธ์เชิงเส้น ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนเป็น

$$Q \: \alpha \: V$$

$$\Rightarrow Q = CV$$

ที่ไหน

  • Q คือประจุที่เก็บไว้ในตัวเก็บประจุ

  • C คือความจุของตัวเก็บประจุ

ปล่อยให้กระแสที่ไหลผ่านตัวเก็บประจุคือIแอมแปร์และแรงดันไฟฟ้าที่อยู่ตรงข้ามคือโวลต์V สัญลักษณ์ของตัวเก็บประจุพร้อมกับกระแสIและแรงดันไฟฟ้าVแสดงในรูปต่อไปนี้

เรารู้ว่า current ไม่มีอะไรนอกจาก time rate of flow of charge. ในทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงเป็น

$$I = \frac{dQ}{dt}$$

ทดแทน $Q = CV$ ในสมการข้างต้น

$$I = \frac{d(CV)}{dt}$$

$$\Rightarrow I = C \frac{dV}{dt}$$

$$\Rightarrow V = \frac{1}{C} \int I dt$$

จากสมการข้างต้นเราสามารถสรุปได้ว่ามี linear relationship ระหว่างแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุและกระแสที่ไหลผ่าน

เรารู้ว่า power ในองค์ประกอบวงจรไฟฟ้าสามารถแสดงเป็น

$$P = VI$$

ทดแทน $I = C \frac{dV}{dt}$ ในสมการข้างต้น

$$P = V \lgroup C \frac{dV}{dt} \rgroup$$

$$\Rightarrow P = CV \frac{dV}{dt}$$

เมื่อรวมสมการข้างต้นเราจะได้ energy เก็บไว้ในตัวเก็บประจุเป็น

$$W = \frac{1}{2}CV^2$$

ดังนั้นตัวเก็บประจุจะเก็บพลังงานในรูปของสนามไฟฟ้า

องค์ประกอบเครือข่ายสามารถเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง active หรือ passiveประเภท. วงจรไฟฟ้าหรือเครือข่ายใด ๆ มีองค์ประกอบเครือข่ายหนึ่งในสองประเภทนี้หรือทั้งสองอย่างรวมกัน

ตอนนี้ให้เราพิจารณาเกี่ยวกับกฎหมายสองฉบับต่อไปนี้ซึ่งนิยมเรียกกันว่า Kirchhoff’s laws.

  • กฎหมายปัจจุบันของ Kirchhoff
  • กฎแรงดันไฟฟ้าของ Kirchhoff

กฎหมายปัจจุบันของ Kirchhoff

กฎหมายปัจจุบันของ Kirchhoff (KCL) ระบุว่าผลรวมพีชคณิตของกระแสที่ออก (หรือเข้า) โหนดมีค่าเท่ากับศูนย์

Nodeคือจุดที่มีการเชื่อมต่อองค์ประกอบของวงจรตั้งแต่สองชิ้นขึ้นไป หากมีเพียงสององค์ประกอบวงจรเชื่อมต่อกับโหนดแสดงว่าเป็นโหนดธรรมดา หากองค์ประกอบวงจรสามตัวขึ้นไปเชื่อมต่อกับโหนดแสดงว่าเป็นPrincipal Node.

MathematicallyKCL สามารถแสดงเป็นไฟล์

$$\displaystyle\sum\limits_{m=1}^M I_m = 0$$

ที่ไหน

  • Imเป็นเมตรTHสาขาปัจจุบันออกจากโหนด

  • M คือจำนวนสาขาที่เชื่อมต่อกับโหนด

ข้อความข้างต้นของ KCLยังสามารถแสดงเป็น "ผลรวมพีชคณิตของกระแสที่เข้าสู่โหนดเท่ากับผลรวมพีชคณิตของกระแสที่ออกจากโหนด" ให้เราตรวจสอบคำสั่งนี้ผ่านตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง

เขียน KCL equation ที่โหนด P ของรูปต่อไปนี้

  • ในรูปด้านบนกระแสสาขา I 1 , I 2และ I 3คือentering ที่โหนดพีดังนั้นให้พิจารณาสัญญาณเชิงลบสำหรับกระแสทั้งสามนี้

  • ในรูปด้านบนกระแสสาขา I 4และ I 5คือleaving จากโหนดพีดังนั้นให้พิจารณาสัญญาณเชิงบวกสำหรับสองกระแสนี้

KCL equation ที่โหนด P จะเป็น

$$- I_1 - I_2 - I_3 + I_4 + I_5 = 0$$

$$\Rightarrow I_1 + I_2 + I_3 = I_4 + I_5$$

ในสมการข้างต้นด้านซ้ายมือแสดงถึงผลรวมของการป้อนกระแสในขณะที่ด้านขวามือแสดงถึงผลรวมของการออกจากกระแส

ในบทช่วยสอนนี้เราจะพิจารณาเครื่องหมายบวกเมื่อกระแสออกจากโหนดและเครื่องหมายลบเมื่อเข้าสู่โหนด ในทำนองเดียวกันคุณสามารถพิจารณาเครื่องหมายลบเมื่อปัจจุบันออกจากโหนดและเครื่องหมายบวกเมื่อเข้าสู่โหนด ในทั้งสองกรณีไฟล์result will be same.

Note - KCL ไม่ขึ้นอยู่กับลักษณะขององค์ประกอบเครือข่ายที่เชื่อมต่อกับโหนด

กฎแรงดันไฟฟ้าของ Kirchhoff

กฎแรงดันไฟฟ้าของ Kirchhoff (KVL) ระบุว่าผลรวมทางพีชคณิตของแรงดันไฟฟ้ารอบ ๆ ลูปหรือตาข่ายมีค่าเท่ากับศูนย์

Loopเป็นเส้นทางที่สิ้นสุดที่โหนดเดียวกับที่เริ่มต้น ในทางตรงกันข้ามกMesh คือลูปที่ไม่มีลูปอื่นอยู่ข้างใน

ในทางคณิตศาสตร์ KVL สามารถแสดงเป็น

$$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^N V_n = 0$$

ที่ไหน

  • Vnเป็นที่ n THแรงดันไฟฟ้าขององค์ประกอบในวง (ตาข่าย)

  • N คือจำนวนองค์ประกอบเครือข่ายในลูป (ตาข่าย)

ข้อความข้างต้นของ KVLยังสามารถแสดงเป็น "ผลรวมพีชคณิตของแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าเท่ากับผลรวมพีชคณิตของแรงดันตกที่มีอยู่ในลูป" ให้เราตรวจสอบคำสั่งนี้ด้วยความช่วยเหลือของตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง

เขียน KVL equation รอบวงของวงจรต่อไปนี้

แผนภาพวงจรข้างต้นประกอบด้วยแหล่งจ่ายแรงดันที่ V Sในชุดที่มีสองตัวต้านทาน R 1และ R 2 แรงดันตกคร่อมตัวต้านทาน R 1และ R 2คือ V 1และ V 2ตามลำดับ

สมัคร KVL รอบวง

$$V_S - V_1 - V_2 = 0$$

$$\Rightarrow V_S = V_1 + V_2$$

ในสมการข้างต้นคำทางด้านซ้ายหมายถึงแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าเดียว VS ในขณะที่ด้านขวามือแสดงถึงไฟล์sum of voltage drops. ในตัวอย่างนี้เราพิจารณาแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าเพียงแหล่งเดียว นั่นคือเหตุผลที่ด้านซ้ายมือมีเพียงหนึ่งเทอม หากเราพิจารณาแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าหลายแหล่งทางด้านซ้ายจะมีแหล่งกำเนิดแรงดันรวมอยู่ด้วย

ในบทช่วยสอนนี้เราจะพิจารณาสัญลักษณ์ของแรงดันไฟฟ้าของแต่ละองค์ประกอบเป็นขั้วของเทอร์มินัลที่สองที่มีอยู่ขณะเดินทางรอบวง ในทำนองเดียวกันคุณสามารถพิจารณาสัญลักษณ์ของแรงดันไฟฟ้าแต่ละตัวเป็นขั้วของขั้วแรกที่มีอยู่ขณะเดินทางรอบวง ในทั้งสองกรณีไฟล์result will be same.

Note - KVL ไม่ขึ้นอยู่กับลักษณะขององค์ประกอบเครือข่ายที่มีอยู่ในลูป

ในบทนี้ให้เราพูดคุยเกี่ยวกับหลักการหารปริมาณไฟฟ้าสองข้อต่อไปนี้

  • หลักการหารปัจจุบัน
  • หลักการหารแรงดัน

หลักการหารปัจจุบัน

เมื่อมีการเชื่อมต่อองค์ประกอบแฝงสององค์ประกอบขึ้นไปแบบขนานปริมาณของกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านแต่ละองค์ประกอบจะได้รับ divided (แชร์) กันเองจากกระแสที่เข้าสู่โหนด

พิจารณาสิ่งต่อไปนี้ circuit diagram.

แผนภาพวงจรข้างต้นประกอบด้วยแหล่งกระแสอินพุต IS ขนานกับตัวต้านทานสองตัว R1 และ R2. แรงดันไฟฟ้าของแต่ละองค์ประกอบคือVS. กระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทานR1 และ R2 คือ I1 และ I2 ตามลำดับ

KCL equation ที่โหนด P จะ

$$I_S = I_1 + I_2$$

  • ทดแทน $I_1 = \frac{V_S}{R_1}$ และ $I_2 = \frac{V_S}{R_2}$ ในสมการข้างต้น

$$I_S = \frac{V_S}{R_1} + \frac{V_S}{R_2} = V_S \lgroup \frac {R_2 + R_1 }{R_1 R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow V_S = I_S \lgroup \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

  • แทนค่าของV Sใน$I_1 = \frac{V_S}{R_1}$.

$$I_1 = \frac{I_S}{R_1}\lgroup \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow I_1 = I_S\lgroup \frac{R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

  • แทนค่าของV Sใน$I_2 = \frac{V_S}{R_2}$.

$$I_2 = \frac{I_S}{R_2} \lgroup \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow I_2 = I_S \lgroup \frac{R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

จากสมการของI 1และI 2เราสามารถสรุปได้ว่ากระแสที่ไหลผ่านองค์ประกอบแฝงใด ๆ สามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้

$$I_N = I_S \lgroup \frac{Z_1\rVert Z_2 \rVert...\rVert Z_{N-1}}{Z_1 + Z_2 + ... + Z_N}\rgroup$$

นี้เรียกว่า current division principle และสามารถใช้ได้เมื่อสององค์ประกอบหรือมากกว่านั้นเชื่อมต่อแบบขนานและมีเพียงกระแสเดียวเท่านั้นที่เข้าสู่โหนด

ที่ไหน

  • ฉันยังไม่มีข้อความที่เป็นปัจจุบันที่ไหลผ่านองค์ประกอบ passive ของ N THสาขา

  • I Sคือกระแสอินพุตซึ่งเข้าสู่โหนด

  • Z 1 , Z 2 , ... , Z Nมีความต้านทาน 1 เซนต์สาขา 2 ครั้งสาขา, ... , N THสาขาตามลำดับ

หลักการหารแรงดัน

เมื่อมีการเชื่อมต่อองค์ประกอบแบบพาสซีฟตั้งแต่สองชิ้นขึ้นไปจำนวนของแรงดันไฟฟ้าที่มีอยู่ในแต่ละองค์ประกอบจะได้รับ divided (ใช้ร่วมกัน) กันเองจากแรงดันไฟฟ้าที่มีอยู่ในชุดค่าผสมทั้งหมดนั้น

พิจารณาสิ่งต่อไปนี้ circuit diagram.

แผนภาพวงจรข้างต้นประกอบด้วยแหล่งจ่ายแรงดันที่ V Sในชุดที่มีสองตัวต้านทาน R 1และ R 2 ปัจจุบันที่ไหลผ่านองค์ประกอบเหล่านี้คือผมS แรงดันตกคร่อมตัวต้านทาน R 1และ R 2คือ V 1และ V 2ตามลำดับ

KVL equation รอบวงจะเป็น

$$V_S = V_1 + V_2$$

  • แทนV 1 = I S R 1และV 2 = I S R 2ในสมการข้างต้น

$$V_S = I_S R_1 + I_S R_2 = I_S(R_1 + R_2)$$

$$I_S = \frac{V_S}{R_1 + R_2}$$

  • แทนค่าของฉันSในV 1 = ฉันS R 1

$$V_1 = \lgroup \frac {V_S}{R_1 + R_2} \rgroup R_1$$

$$\Rightarrow V_1 = V_S \lgroup \frac {R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

  • แทนค่าของฉันSในV 2 = ฉันS R 2

$$V_2 = \lgroup \frac {V_S}{R_1 + R_2} \rgroup R_2$$

$$\Rightarrow V_2 = V_S \lgroup \frac {R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

จากสมการของV 1และV 2เราสามารถสรุปได้ว่าแรงดันไฟฟ้าขององค์ประกอบแฝงใด ๆ สามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้

$$V_N = V_S \lgroup \frac {Z_N}{Z_1 + Z_2 +....+ Z_N}\rgroup$$

นี้เรียกว่า voltage division principle และสามารถใช้ได้เมื่อมีการเชื่อมต่อองค์ประกอบแบบพาสซีฟตั้งแต่สองชิ้นขึ้นไปเป็นอนุกรมและมีแรงดันไฟฟ้าเพียงตัวเดียวที่ใช้ได้ในชุดค่าผสมทั้งหมด

ที่ไหน

  • V Nคือแรงดันไฟฟ้าขององค์ประกอบพาสซีฟN th

  • V Sคือแรงดันไฟฟ้าขาเข้าซึ่งมีอยู่ตลอดทั้งชุดองค์ประกอบแบบพาสซีฟ

  • Z 1 , Z 2 , …, Z 3คืออิมพีแดนซ์ของ 1 st passive element, 2 nd passive element, …, N th passive element ตามลำดับ

มีสองวิธีพื้นฐานที่ใช้ในการแก้ปัญหาเครือข่ายไฟฟ้า: Nodal analysis และ Mesh analysis. ในบทนี้ให้เราพูดคุยเกี่ยวกับไฟล์Nodal analysis วิธี.

ในการวิเคราะห์ Nodal เราจะพิจารณาแรงดันไฟฟ้าของโหนดที่เกี่ยวกับกราวด์ ดังนั้นการวิเคราะห์ Nodal จึงเรียกอีกอย่างว่าNode-voltage method.

ขั้นตอนของการวิเคราะห์ที่สำคัญ

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้ในขณะที่แก้ปัญหาเครือข่ายไฟฟ้าหรือวงจรโดยใช้การวิเคราะห์โหนด

  • Step 1 - ระบุไฟล์ principal nodes และเลือกหนึ่งในนั้นเป็น reference node. เราจะถือว่าโหนดอ้างอิงนั้นเป็นกราวด์

  • Step 2 - ติดป้าย node voltages เกี่ยวกับกราวด์จากโหนดหลักทั้งหมดยกเว้นโหนดอ้างอิง

  • Step 3 - เขียน nodal equationsที่โหนดหลักทั้งหมดยกเว้นโหนดอ้างอิง สมการ Nodal ได้มาจากการใช้ KCL ก่อนแล้วตามด้วยกฎของโอห์ม

  • Step 4 - แก้สมการโหนดที่ได้รับในขั้นตอนที่ 3 เพื่อรับแรงดันไฟฟ้าของโหนด

ตอนนี้เราสามารถค้นหากระแสที่ไหลผ่านองค์ประกอบใด ๆ และแรงดันไฟฟ้าผ่านองค์ประกอบใด ๆ ที่มีอยู่ในเครือข่ายที่กำหนดโดยใช้แรงดันไฟฟ้าของโหนด

ตัวอย่าง

ค้นหากระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 20 Ωของวงจรต่อไปนี้โดยใช้ Nodal analysis.

Step 1 - มี three principle nodesในวงจรข้างต้น ซึ่งมีข้อความว่า 1, 2 และ 3 ในรูปต่อไปนี้

ในรูปด้านบนให้พิจารณา node 3 เป็นโหนดอ้างอิง (กราวด์)

Step 2- แรงดันไฟฟ้าของโหนด V 1และ V 2มีข้อความระบุไว้ในรูปต่อไปนี้

ในรูปด้านบน V 1คือแรงดันไฟฟ้าจากโหนด 1 เทียบกับกราวด์และ V 2คือแรงดันไฟฟ้าจากโหนด 2 เทียบกับกราวด์

Step 3 - ในกรณีนี้เราจะได้รับ two nodal equationsเนื่องจากมีโหนดหลักสองโหนดคือ 1 และ 2 นอกเหนือจากกราวด์ เมื่อเราเขียนสมการโหนดที่โหนดสมมติว่ากระแสทั้งหมดออกจากโหนดซึ่งไม่ได้กล่าวถึงทิศทางของกระแสและแรงดันไฟฟ้าของโหนดนั้นมากกว่าแรงดันไฟฟ้าของโหนดอื่นในวงจร

nodal equation ที่โหนด 1 คือ

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} + \frac{V_1 - V_2}{10} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{2 V_1 - 40 + V_1 + V_1 - V_2}{10} = 0$$

$$\Rightarrow 4V_1 - 40 - V_2 = 0$$

$\Rightarrow V_2 = 4V_1 - 40$ Equation 1

nodal equation ที่โหนด 2 คือ

$$-4 + \frac{V_2}{20} + \frac{V_2 - V_1}{10} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{-80 + V_2 + 2V_2 - 2V_2}{20} = 0$$

$\Rightarrow 3V_2 − 2V_1 = 80$ Equation 2

Step 4- การหาแรงดันโหนดV 1และV 2โดยการแก้สมการ 1 และสมการ 2

แทนสมการ 1 ในสมการ 2

$$3(4 V_1 - 40) - 2 V_1 = 80$$

$$\Rightarrow 12 V_1 - 120 - 2V_1 =80$$

$$\Rightarrow 10 V_1 = 200$$

$$\Rightarrow V_1 = 20V$$

แทนV 1 = 20 V ในสมการ 1.

$$V_2 = 4(20) - 40$$

$$\Rightarrow V_2 = 40V$$

ดังนั้นเราจึงได้แรงดันโหนดV 1และV 2เป็น20 V และ 40 V ตามลำดับ

Step 5- แรงดันไฟฟ้าข้ามตัวต้านทาน 20 Ωไม่ใช่อะไรนอกจากแรงดันโหนดV 2และเท่ากับ 40 V ตอนนี้เราสามารถหากระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 20 Ωได้โดยใช้กฎของโอห์ม

$$I_{20 \Omega} = \frac{V_2}{R}$$

แทนค่าของV 2และ R ในสมการด้านบน

$$I_{20 \Omega} = \frac{40}{20}$$

$$\Rightarrow I_{20 \Omega} = 2A$$

ดังนั้นกระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 20 Ωของวงจรที่กำหนดคือ 2 A.

Note- จากตัวอย่างข้างต้นเราสามารถสรุปได้ว่าเราต้องแก้สมการ 'n' โหนดถ้าวงจรไฟฟ้ามีโหนดหลัก 'n' (ยกเว้นโหนดอ้างอิง) ดังนั้นเราสามารถเลือก Nodal analysis เมื่อnumber of principal nodes (ยกเว้นโหนดอ้างอิง) น้อยกว่าจำนวนตาข่ายของวงจรไฟฟ้าใด ๆ

ในการวิเคราะห์ตาข่ายเราจะพิจารณากระแสที่ไหลผ่านแต่ละตาข่าย ดังนั้นการวิเคราะห์ตาข่ายจึงเรียกอีกอย่างว่าMesh-current method.

branchเป็นเส้นทางที่รวมสองโหนดและมีองค์ประกอบวงจร หากกิ่งไม้เป็นของตาข่ายเพียงเส้นเดียวกระแสของกิ่งจะเท่ากับกระแสตาข่าย

หากกิ่งไม้เป็นแบบเดียวกันกับตาข่ายสองเส้นกระแสของกิ่งจะเท่ากับผลรวม (หรือผลต่าง) ของกระแสตาข่ายสองเส้นเมื่ออยู่ในทิศทางเดียวกัน (หรือตรงกันข้าม)

ขั้นตอนของการวิเคราะห์ตาข่าย

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้ในขณะที่แก้ปัญหาเครือข่ายไฟฟ้าหรือวงจรโดยใช้การวิเคราะห์ตาข่าย

  • Step 1 - ระบุไฟล์ meshes และติดป้ายกระแสตาข่ายในทิศทางตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา

  • Step 2 - สังเกตปริมาณกระแสที่ไหลผ่านแต่ละองค์ประกอบในแง่ของกระแสตาข่าย

  • Step 3 - เขียน mesh equationsกับตาข่ายทั้งหมด สมการตาข่ายได้มาจากการใช้ KVL ก่อนแล้วตามด้วยกฎของโอห์ม

  • Step 4 - แก้สมการตาข่ายที่ได้รับในขั้นตอนที่ 3 เพื่อรับไฟล์ mesh currents.

ตอนนี้เราสามารถค้นหากระแสที่ไหลผ่านองค์ประกอบใด ๆ และแรงดันไฟฟ้าผ่านองค์ประกอบใด ๆ ที่มีอยู่ในเครือข่ายที่กำหนดโดยใช้กระแสตาข่าย

ตัวอย่าง

ค้นหาแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวต้านทาน 30 Ωโดยใช้ Mesh analysis.

Step 1- มีสองตาข่ายในวงจรด้านบน mesh currentsI 1และ I 2ถือเป็นทิศทางตามเข็มนาฬิกา กระแสตาข่ายเหล่านี้แสดงในรูปต่อไปนี้

Step 2- กระแสตาข่าย I 1ไหลผ่านแหล่งจ่ายแรงดัน 20 V และตัวต้านทาน 5 Ω ในทำนองเดียวกันกระแสตาข่าย I 2ไหลผ่านตัวต้านทาน 30 Ωและแหล่งแรงดันไฟฟ้า -80 V แต่ความแตกต่างของกระแสตาข่ายสองเส้นคือ I 1และ I 2ไหลผ่านตัวต้านทาน 10 Ωเนื่องจากเป็นกิ่งก้านทั่วไปของตาข่ายสองเส้น

Step 3 - ในกรณีนี้เราจะได้รับ two mesh equationsเนื่องจากมีสองตาข่ายในวงจรที่กำหนด เมื่อเราเขียนสมการตาข่ายให้สมมติว่ากระแสตาข่ายของตาข่ายนั้นมากกว่ากระแสตาข่ายอื่น ๆ ทั้งหมดของวงจร

mesh equation ของตาข่ายแรกคือ

$$20 - 5I_1 -10(I_1 - I_2) = 0$$

$$\Rightarrow 20 - 15I_1 + 10I_2 = 0$$

$$\Rightarrow 10I_2 = 15I_1 - 20$$

หารสมการข้างบนด้วย 5

$$2I_2 = 3I_1 - 4$$

คูณสมการข้างบนด้วย 2

$4I_2 = 6I_1 - 8$ Equation 1

mesh equation ของตาข่ายที่สองคือ

$$-10(I_2 - I_1) - 30I_2 + 80 = 0$$

หารสมการข้างบนด้วย 10

$$-(I_2 - I_1) - 3I_2 + 8 = 0$$

$$\Rightarrow -4I_2 + I_1 + 8 = 0$$

$4I_2 = I_1 + 8$ Equation 2

Step 4- การหากระแสตาข่ายI 1และI 2โดยการแก้สมการ 1 และสมการ 2

เงื่อนไขด้านซ้ายมือของสมการ 1 และสมการ 2 จะเหมือนกัน จึงถือเอาข้อตกลงทางด้านขวามือของสมการที่ 1 และ 2 สมการเพื่อหาค่าของฉัน 1

$$6I_1 - 8 = I_1 + 8$$

$$\Rightarrow 5I_1 = 16$$

$$\Rightarrow I_1 = \frac{16}{5} A$$

แทนค่าI 1ในสมการ 2

$$4I_2 = \frac{16}{5} + 8$$

$$\Rightarrow 4I_2 = \frac{56}{5}$$

$$\Rightarrow I_2 = \frac{14}{5} A$$

เราจึงได้กระแสตาข่ายI 1และI 2เป็น$\mathbf{\frac{16}{5}}$ A และ $\mathbf{\frac{14}{5}}$ A ตามลำดับ

Step 5- กระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 30 Ωไม่ใช่อะไรนอกจากกระแสตาข่ายI 2และเท่ากับ$\frac{14}{5}$ A. ตอนนี้เราสามารถหาแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวต้านทาน 30 Ωได้โดยใช้กฎของโอห์ม

$$V_{30 \Omega} = I_2 R$$

แทนค่าของI 2และRในสมการด้านบน

$$V_{30 \Omega} = \lgroup \frac{14}{5} \rgroup 30$$

$$\Rightarrow V_{30 \Omega} = 84V$$

ดังนั้นแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวต้านทาน 30 Ωของวงจรที่กำหนดคือ 84 V.

Note 1- จากตัวอย่างข้างต้นเราสามารถสรุปได้ว่าเราต้องแก้สมการเมช 'm' ถ้าวงจรไฟฟ้ามีตาข่าย 'm' นั่นเป็นเหตุผลที่เราสามารถเลือกการวิเคราะห์ตาข่ายเมื่อจำนวนตาข่ายน้อยกว่าจำนวนโหนดหลัก (ยกเว้นโหนดอ้างอิง) ของวงจรไฟฟ้าใด ๆ

Note 2 - เราสามารถเลือกการวิเคราะห์โหนดหรือการวิเคราะห์ตาข่ายเมื่อจำนวนตาข่ายเท่ากับจำนวนโหนดหลัก (ยกเว้นโหนดอ้างอิง) ในวงจรไฟฟ้าใด ๆ

หากวงจรประกอบด้วยองค์ประกอบพาสซีฟที่คล้ายกันตั้งแต่สองชิ้นขึ้นไปและเชื่อมต่อแบบอนุกรมหรือชนิดขนานโดยเฉพาะเราสามารถแทนที่ด้วยองค์ประกอบแบบพาสซีฟที่เทียบเท่ากันเพียงตัวเดียว ดังนั้นวงจรนี้จึงเรียกว่าเป็นequivalent circuit.

ในบทนี้ให้เราพิจารณาเกี่ยวกับวงจรที่เท่ากันสองวงจรต่อไปนี้

  • วงจรเทียบเท่าซีรีส์
  • วงจรเทียบเท่าขนาน

วงจรเทียบเท่าซีรีส์

หากมีการเชื่อมต่อองค์ประกอบแบบพาสซีฟที่คล้ายกัน seriesจากนั้นกระแสเดียวกันจะไหลผ่านองค์ประกอบเหล่านี้ทั้งหมด แต่แรงดันไฟฟ้าจะถูกแบ่งออกจากแต่ละองค์ประกอบ

พิจารณาสิ่งต่อไปนี้ circuit diagram.

แต่ก็มีแหล่งเดียวแรงดันไฟฟ้า (V S ) และสามตัวต้านทานที่มีความต้านทานของ R 1 , R 2และ R 3 องค์ประกอบทั้งหมดนี้เชื่อมต่อกันเป็นชุด IS ปัจจุบันไหลผ่านองค์ประกอบเหล่านี้ทั้งหมด

วงจรด้านบนมีเพียงตาข่ายเดียว KVL equation รอบ ๆ ตาข่ายนี้คือ

$$V_S = V_1 + V_2 + V_3$$

ทดแทน $V_1 = I_S R_1, \: V_2 = I_S R_2$ และ $V_3 = I_S R_3$ ในสมการข้างต้น

$$V_S = I_S R_1 + I_S R_2 + I_S R_3$$

$$\Rightarrow V_S = I_S(R_1 + R_2 + R_3)$$

สมการข้างต้นอยู่ในรูปของ $V_S = I_S R_{Eq}$ ที่ไหน

$$R_{Eq} = R_1 + R_2 + R_3$$

equivalent circuit diagram ของวงจรที่กำหนดจะแสดงในรูปต่อไปนี้

นั่นหมายความว่าหากมีการเชื่อมต่อตัวต้านทานหลายตัวเป็นอนุกรมเราสามารถแทนที่ด้วย equivalent resistor. ความต้านทานของตัวต้านทานเทียบเท่านี้เท่ากับผลรวมของความต้านทานของตัวต้านทานหลายตัวเหล่านั้นทั้งหมด

Note 1- ถ้าตัวเหนี่ยวนำ 'N' ที่มีการเหนี่ยวนำของ L 1 , L 2 , ... , L Nเชื่อมต่อเป็นอนุกรมดังนั้นequivalent inductance จะ

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 + ... + L_N$$

Note 2- หากตัวเก็บประจุ 'N' ที่มีความจุของ C 1 , C 2 , ... , C Nเชื่อมต่อเป็นอนุกรมดังนั้นequivalent capacitance จะ

$$\frac{1}{C_{Eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_N}$$

วงจรเทียบเท่าขนาน

หากมีการเชื่อมต่อองค์ประกอบแบบพาสซีฟที่คล้ายกัน parallelจากนั้นแรงดันไฟฟ้าเดียวกันจะยังคงอยู่ในแต่ละองค์ประกอบ แต่กระแสที่ไหลผ่านแต่ละองค์ประกอบจะถูกแบ่งออก

พิจารณาสิ่งต่อไปนี้ circuit diagram.

แต่ก็มีแหล่งเดียวในปัจจุบัน (ฉันS ) และสามตัวต้านทานที่มีความต้านทานของ R 1 , R 2และ R 3 องค์ประกอบทั้งหมดนี้เชื่อมต่อแบบขนาน แรงดันไฟฟ้า (V S ) มีอยู่ในองค์ประกอบเหล่านี้ทั้งหมด

วงจรด้านบนมีโหนดหลัก (P) เพียงโหนดเดียวยกเว้นโหนดกราวด์ KCL equation ที่โหนดหลัก (P) นี้คือ

$$I_S = I_1 + I_2 + I_3$$

ทดแทน $I_1 = \frac{V_S}{R_1}, \: I_2 = \frac{V_S}{R_2}$ และ $I_3 = \frac{V_S}{R_3}$ ในสมการข้างต้น

$$I_S = \frac{V_S}{R_1} + \frac{V_S}{R_2} + \frac{V_S}{R_3}$$

$$\Rightarrow I_S = V_S \lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup$$

$$\Rightarrow V_S = I_S\left [ \frac{1}{\lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup} \right ]$$

สมการข้างต้นอยู่ในรูปของV S = I S R Eqโดยที่

$$R_{Eq} = \frac{1}{\lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup}$$

$$\frac{1}{R_{Eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$$

equivalent circuit diagram ของวงจรที่กำหนดจะแสดงในรูปต่อไปนี้

นั่นหมายความว่าหากมีการเชื่อมต่อตัวต้านทานหลายตัวแบบขนานเราสามารถแทนที่ด้วยตัวต้านทานที่เท่ากันได้ ความต้านทานของสิ่งนี้equivalent resistor เท่ากับผลรวมของผลรวมซึ่งกันและกันของความต้านทานแต่ละตัวของตัวต้านทานหลายตัวเหล่านั้นทั้งหมด

Note 1- ถ้าตัวเหนี่ยวนำ 'N' ที่มีตัวเหนี่ยวนำของ L 1 , L 2 , ... , L Nเชื่อมต่อแบบขนานดังนั้นequivalent inductance จะ

$$\frac{1}{L_{Eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + ... + \frac{1}{L_N}$$

Note 2- ถ้าตัวเก็บประจุ 'N' ที่มีความจุ C 1 , C 2 , ... , C Nเชื่อมต่อแบบขนานแล้วequivalent capacitance จะ

$$C_{Eq} = C_1 + C_2 + ... + C_N$$

ในบทที่แล้วเราได้พูดถึงวงจรที่เท่ากันของการรวมอนุกรมและชุดค่าผสมแบบขนานทีละรายการ ในบทนี้ให้เราแก้ปัญหาตัวอย่างโดยพิจารณาทั้งชุดและชุดคู่ขนานขององค์ประกอบแฝงที่คล้ายกัน

ตัวอย่าง

ให้เราค้นหาไฟล์ equivalent resistance ข้ามขั้ว A & B ของเครือข่ายไฟฟ้าต่อไปนี้

เราจะได้รับความต้านทานที่เท่ากันข้ามเทอร์มินัล A & B โดยการย่อเครือข่ายข้างต้นให้เหลือเพียงตัวต้านทานเดียวระหว่างขั้วทั้งสองนั้น สำหรับสิ่งนี้เราต้องidentify the combination of resistors ที่เชื่อมต่อในรูปแบบอนุกรมและรูปแบบขนานจากนั้นค้นหาความต้านทานที่เท่ากันของรูปแบบที่เกี่ยวข้องในทุกขั้นตอน

เครือข่ายไฟฟ้าที่กำหนดคือ modified ลงในรูปแบบต่อไปนี้ดังแสดงในรูปต่อไปนี้

ในรูปด้านบนตัวอักษร C ถึง G ใช้สำหรับติดฉลากขั้วต่างๆ

Step 1 - ในเครือข่ายข้างต้นสอง 6 Ω resistors เชื่อมต่ออยู่ใน parallel. ดังนั้นความต้านทานที่เท่ากันระหว่าง D & E จะเป็น 3 Ω สามารถหาได้จากการทำให้เข้าใจง่ายต่อไปนี้

$$R_{DE} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3 \Omega$$

ในเครือข่ายด้านบนตัวต้านทาน 4 Ω และ 8 Ω เชื่อมต่ออยู่ใน series. ดังนั้นความต้านทานที่เท่ากันระหว่าง F & G จะเท่ากับ 12 Ω สามารถหาได้จากการทำให้เข้าใจง่ายต่อไปนี้

$$R_{FG} = 4 + 8 = 12 \Omega$$

Step 2 - ระบบไฟฟ้าที่เรียบง่าย network after Step 1 แสดงดังรูปต่อไปนี้

ในเครือข่ายข้างต้นสอง 3 Ω resistors เชื่อมต่ออยู่ใน series. ดังนั้นความต้านทานที่เท่ากันระหว่าง C & E จะเป็น6 Ω. สามารถหาได้จากการทำให้เข้าใจง่ายต่อไปนี้

$$R_{CE} = 3 + 3 = 6 \Omega$$

Step 3 - ระบบไฟฟ้าที่เรียบง่าย network after Step 2 แสดงดังรูปต่อไปนี้

ในเครือข่ายด้านบนตัวต้านทาน 6 Ω และ 12 Ω เชื่อมต่ออยู่ใน parallel. ดังนั้นความต้านทานที่เท่ากันระหว่าง C & B จะเป็น 4 Ω สามารถหาได้จากการทำให้เข้าใจง่ายต่อไปนี้

$$R_{CB} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \Omega$$

Step 4 - ระบบไฟฟ้าที่เรียบง่าย network after Step 3 แสดงดังรูปต่อไปนี้

ในเครือข่ายด้านบนตัวต้านทาน 2 Ω และ 4 Ω เชื่อมต่ออยู่ใน seriesระหว่างขั้ว A & B ดังนั้นความต้านทานเทียบเท่าระหว่าง A & B จะเท่ากับ 6 Ω สามารถหาได้จากการทำให้เข้าใจง่ายต่อไปนี้

$$R_{AB} = 2 + 4 = 6 \Omega$$

ดังนั้นความต้านทานที่เทียบเท่ากันระหว่างขั้ว A & B ของเครือข่ายไฟฟ้าที่กำหนดคือ 6 Ω.

ในบทที่แล้วเราได้กล่าวถึงตัวอย่างปัญหาที่เกี่ยวข้องกับความต้านทานเทียบเท่า ที่นั่นเราคำนวณequivalent resistanceระหว่างขั้ว A & B ของเครือข่ายไฟฟ้าที่กำหนดได้อย่างง่ายดาย เนื่องจากในทุกขั้นตอนเรามีการรวมกันของตัวต้านทานที่เชื่อมต่อในรูปแบบอนุกรมหรือรูปแบบขนาน

อย่างไรก็ตามในบางสถานการณ์เป็นการยากที่จะลดความซับซ้อนของเครือข่ายโดยทำตามแนวทางก่อนหน้านี้ ตัวอย่างเช่นตัวต้านทานที่เชื่อมต่อในรูปแบบเดลต้า (δ) หรือรูปดาว ในสถานการณ์เช่นนี้เราต้องconvertเครือข่ายของรูปแบบหนึ่งไปยังอีกรูปแบบหนึ่งเพื่อให้ง่ายขึ้นโดยใช้ชุดค่าผสมหรือชุดค่าผสมแบบขนาน ในบทนี้ให้เราพูดคุยเกี่ยวกับไฟล์Delta to Star Conversion.

เครือข่ายเดลต้า

พิจารณาสิ่งต่อไปนี้ delta network ดังแสดงในรูปต่อไปนี้

สมการต่อไปนี้แสดงถึง equivalent resistance ระหว่างสองขั้วของเครือข่ายเดลต้าเมื่อเทอร์มินัลที่สามเปิดอยู่

$$R_{AB} = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{BC} = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{CA} = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

เครือข่ายสตาร์

รูปต่อไปนี้แสดงไฟล์ equivalent star network ที่สอดคล้องกับเครือข่ายเดลต้าข้างต้น

สมการต่อไปนี้แสดงถึง equivalent resistance ระหว่างสองขั้วของเครือข่ายดาวเมื่อขั้วที่สามเปิดอยู่

$$R_{AB} = R_A + R_B$$

$$R_{BC} = R_B + R_C$$

$$R_{CA} = R_C + R_A$$

ความต้านทานเครือข่ายดาวในแง่ของความต้านทานเครือข่ายเดลต้า

เราจะได้สมการต่อไปนี้โดยการหาเงื่อนไขด้านขวามือของสมการข้างต้นซึ่งเงื่อนไขด้านซ้ายมือจะเหมือนกัน

$R_A + R_B = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 1

$R_B + R_C = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 2

$R_C + R_A = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 3

โดยการเพิ่มสามสมการข้างต้นเราจะได้

$$2(R_A + R_B + R_C) = \frac{2(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$\Rightarrow R_A + R_B + R_C = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 4

ลบสมการ 2 ออกจากสมการ 4

$R_A + R_B + R_C - (R_B + R_C) = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3} - \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

โดยการลบสมการ 3 จากสมการ 4 เราจะได้

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

โดยการลบสมการ 1 จากสมการ 4 เราจะได้

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

โดยใช้ความสัมพันธ์ข้างต้นเราสามารถค้นหาความต้านทานของเครือข่ายดาวจากความต้านทานของเครือข่ายเดลต้า ด้วยวิธีนี้เราสามารถแปลงไฟล์delta network เป็น star network.

ตัวอย่าง

ให้เราคำนวณ resistances of star networkซึ่งเทียบเท่ากับเครือข่ายเดลต้าดังแสดงในรูปต่อไปนี้

ได้รับ resistances of delta networkเป็นR 1 = 10 Ω, R 2 = 60 ΩและR 3 = 30 Ω

เราทราบความสัมพันธ์ต่อไปนี้ของความต้านทานของเครือข่ายดาวในแง่ของความต้านทานของเครือข่ายเดลต้า

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

แทนค่าของR 1 , R 2และR 3ในสมการข้างต้น

$$R_A = \frac{10 \times 60}{10 +60+30} = \frac{600}{100} = 6\Omega$$

$$R_B = \frac{60 \times 30}{10 +60+30} = \frac{1800}{100} = 18\Omega$$

$$R_C = \frac{30 \times 10}{10 +60+30} = \frac{300}{100} = 3\Omega$$

ดังนั้นเราจึงได้ความต้านทานของเครือข่ายดาวเป็น RA = 6 Ω, RB = 18 Ω และ RC = 3 Ωซึ่งเทียบเท่ากับความต้านทานของเครือข่ายเดลต้าที่กำหนด

ในบทที่แล้วเราได้พูดถึงการแปลงเครือข่ายเดลต้าเป็นเครือข่ายดาวที่เทียบเท่ากัน ตอนนี้ให้เราพูดคุยเกี่ยวกับการแปลงเครือข่ายดาวเป็นเครือข่ายเดลต้าที่เทียบเท่ากัน การแปลงนี้เรียกว่าเป็นStar to Delta Conversion.

ในบทที่แล้วเรามีไฟล์ resistances of star network จากเครือข่ายเดลต้าเป็น

$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 1

$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 2

$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 3

ความต้านทานเครือข่ายเดลต้าในแง่ของความต้านทานเครือข่ายดาว

ให้เราจัดการสมการข้างต้นเพื่อรับความต้านทานของเครือข่ายเดลต้าในแง่ของความต้านทานของเครือข่ายดาว

  • Multiply แต่ละชุดของสองสมการแล้ว add.

$$R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2^2 R_3 + R_2 R_3^2 R_1 + R_3 R_1^2 R_2}{(R_1 + R_2 + R_3)^2}$$

$$\Rightarrow R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2 R_3(R_1 + R_2 + R_3)}{(R_1 + R_2 + R_3)^2}$$

$\Rightarrow R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 4

  • การหารสมการ 4 ด้วยสมการ 2 เราจะได้

$$\frac{R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A}{R_B} = R_1$$

$$\Rightarrow R_1 = R_C + R_A + \frac{R_C R_A}{R_B}$$

  • การหารสมการ 4 ด้วยสมการ 3 เราจะได้

$$R_2 = R_A + R_B + \frac{R_A R_B}{R_C}$$

  • การหารสมการ 4 ด้วยสมการ 1 เราจะได้

$$R_3 = R_B + R_C + \frac{R_B R_C}{R_A}$$

โดยใช้ความสัมพันธ์ข้างต้นเราสามารถค้นหาความต้านทานของเครือข่ายเดลต้าได้จากความต้านทานของเครือข่ายดาว ด้วยวิธีนี้เราสามารถแปลงstar network into delta network.

ตัวอย่าง

ให้เราคำนวณ resistances of delta networkซึ่งเทียบเท่ากับเครือข่ายดาวดังแสดงในรูปต่อไปนี้

ได้รับ resistances of star networkเป็นR = 6 Ω, R B = 18 ΩและR C = 3 Ω

เราทราบความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้ของไฟล์ resistances of delta network ในแง่ของความต้านทานของเครือข่ายดาว

$$R_1 = R_C + R_A + \frac{R_C R_A}{R_B}$$

$$R_2 = R_A + R_B + \frac{R_A R_B}{R_C}$$

$$R_3 = R_B + R_C + \frac{R_B R_C}{R_A}$$

แทนค่าของR A , R BและR Cในสมการข้างต้น

$$R_1 = 3 + 6 + \frac{3 \times 6}{18} = 9 + 1 = 10 \Omega$$

$$R_2 = 6 + 18 + \frac{6 \times 18}{3} = 24 + 36 = 60 \Omega$$

$$R_3 = 18 + 3 + \frac{18 \times 3}{6} = 21 + 9 = 30 \Omega$$

ดังนั้นเราจึงได้ความต้านทานของเครือข่ายเดลต้าเป็น R1 = 10 Ω, R2 = 60 Ω และ R3 = 30 Ωซึ่งเทียบเท่ากับความต้านทานของเครือข่ายดาวที่กำหนด

โทโพโลยีเครือข่ายเป็นการแสดงภาพกราฟิกของวงจรไฟฟ้า มีประโยชน์สำหรับการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าที่ซับซ้อนโดยการแปลงเป็นกราฟเครือข่าย โทโพโลยีเครือข่ายเรียกอีกอย่างว่าGraph theory.

คำศัพท์พื้นฐานของเครือข่ายโทโพโลยี

ตอนนี้ให้เราพูดคุยเกี่ยวกับคำศัพท์พื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างเครือข่ายนี้

กราฟ

กราฟเครือข่ายเรียกง่ายๆว่า graph. ประกอบด้วยชุดของโหนดที่เชื่อมต่อกันด้วยสาขา ในกราฟโหนดเป็นจุดร่วมของสองสาขาหรือมากกว่า บางครั้งเพียงสาขาเดียวอาจเชื่อมต่อกับโหนด สาขาคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อสองโหนด

วงจรไฟฟ้าหรือเครือข่ายใด ๆ สามารถแปลงให้เทียบเท่าได้ graphโดยการแทนที่องค์ประกอบแบบพาสซีฟและแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าด้วยวงจรลัดและแหล่งกระแสด้วยวงจรเปิด นั่นหมายความว่าส่วนของเส้นในกราฟแสดงถึงกิ่งก้านที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบแฝงหรือแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าของวงจรไฟฟ้า

ตัวอย่าง

ให้เราพิจารณาสิ่งต่อไปนี้ electric circuit.

ในวงจรข้างต้นมี four principal nodes และมีป้ายกำกับ 1, 2, 3 และ 4 มี seven branches ในวงจรข้างต้นซึ่งสาขาหนึ่งมีแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้า 20 V อีกสาขาหนึ่งมีแหล่งจ่ายกระแส 4 A และอีกห้าสาขาที่เหลือมีตัวต้านทานที่มีความต้านทาน 30 Ω, 5 Ω, 10 Ω, 10 Ωและ 20 Ωตามลำดับ

เทียบเท่า graph ที่สอดคล้องกับวงจรไฟฟ้าด้านบนแสดงในรูปต่อไปนี้

ในกราฟด้านบนมี four nodesและมีป้ายกำกับ 1, 2, 3 และ 4 ตามลำดับ สิ่งเหล่านี้เหมือนกับโหนดหลักในวงจรไฟฟ้า มีsix branches ในกราฟด้านบนและมีป้ายกำกับ a, b, c, d, e & f ตามลำดับ

ในกรณีนี้เราได้ one branch less ในกราฟเนื่องจากแหล่งจ่ายกระแส 4 A ถูกสร้างเป็นวงจรเปิดในขณะที่แปลงวงจรไฟฟ้าเป็นกราฟที่เท่ากัน

จากตัวอย่างนี้เราสามารถสรุปประเด็นต่อไปนี้ -

  • number of nodes ปัจจุบันในกราฟจะเท่ากับจำนวนโหนดหลักที่มีอยู่ในวงจรไฟฟ้า

  • number of branches ที่มีอยู่ในกราฟจะน้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนสาขาที่มีอยู่ในวงจรไฟฟ้า

ประเภทของกราฟ

ประเภทของกราฟต่อไปนี้ -

  • กราฟที่เชื่อมต่อ
  • กราฟที่ไม่เชื่อมต่อ
  • กราฟกำกับ
  • กราฟที่ไม่ได้บอกทิศทาง

ตอนนี้ให้เราพูดคุยเกี่ยวกับกราฟเหล่านี้ทีละรายการ

กราฟที่เชื่อมต่อ

หากมีอย่างน้อยหนึ่งสาขาระหว่างโหนดใด ๆ ในสองโหนดของกราฟจะเรียกว่าเป็น connected graph. นั่นหมายความว่าแต่ละโหนดในกราฟที่เชื่อมต่อจะมีหนึ่งหรือหลายสาขาที่เชื่อมต่อกับมัน ดังนั้นจะไม่มีโหนดใดถูกแยกออกจากกัน

กราฟที่แสดงในตัวอย่างก่อนหน้าคือ a connected graph. ที่นี่โหนดทั้งหมดเชื่อมต่อกันด้วยสามสาขา

กราฟที่ไม่เชื่อมต่อ

หากมีโหนดอย่างน้อยหนึ่งโหนดในกราฟที่ยังคงไม่ได้เชื่อมต่อกันแม้แต่สาขาเดียวก็จะเรียกว่าเป็นไฟล์ unconnected graph. ดังนั้นจะมีโหนดแยกอย่างน้อยหนึ่งโหนดในกราฟที่ไม่เชื่อมต่อ

พิจารณากราฟที่แสดงในรูปต่อไปนี้

ในกราฟนี้โหนด 2, 3 และ 4 เชื่อมต่อกันด้วยสองสาขา แต่ไม่มีแม้แต่สาขาเดียวที่เชื่อมต่อกับnode 1. ดังนั้นโหนด 1 จึงกลายเป็นisolated node. ดังนั้นกราฟด้านบนจึงเป็นไฟล์unconnected graph.

กราฟกำกับ

หากกิ่งก้านทั้งหมดของกราฟแสดงด้วยลูกศรกราฟนั้นจะเรียกว่า a directed graph. ลูกศรเหล่านี้ระบุทิศทางการไหลของกระแสในแต่ละสาขา ดังนั้นกราฟนี้จึงเรียกอีกอย่างว่าoriented graph.

พิจารณากราฟที่แสดงในรูปต่อไปนี้

ในกราฟด้านบนทิศทางของการไหลของกระแสจะแสดงด้วยลูกศรในแต่ละสาขา ดังนั้นจึงเป็นdirected graph.

กราฟที่ไม่ได้บอกทิศทาง

หากกิ่งก้านของกราฟไม่ได้แสดงด้วยลูกศรกราฟนั้นจะถูกเรียกว่าเป็นไฟล์ undirected graph. เนื่องจากไม่มีทิศทางของการไหลของกระแสดังนั้นจึงเรียกกราฟนี้ว่าเป็นunoriented graph.

กราฟที่แสดงในตัวอย่างแรกของบทนี้คือไฟล์ unoriented graphเนื่องจากไม่มีลูกศรบนกิ่งก้านของกราฟนั้น

Subgraph และประเภท

ส่วนหนึ่งของกราฟเรียกว่าเป็นไฟล์ subgraph. เราได้รับกราฟย่อยโดยการลบโหนดและ / หรือกิ่งก้านของกราฟที่กำหนด ดังนั้นจำนวนสาขาและ / หรือโหนดของกราฟย่อยจะน้อยกว่ากราฟดั้งเดิม ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่ากราฟย่อยเป็นส่วนย่อยของกราฟ

ต่อไปนี้คือไฟล์ two types ของย่อหน้าย่อย

  • Tree
  • Co-Tree

ต้นไม้

Tree คือกราฟย่อยที่เชื่อมต่อกันของกราฟที่กำหนดซึ่งมีโหนดทั้งหมดของกราฟ แต่ไม่ควรมีการวนซ้ำใด ๆ ในย่อหน้านั้น กิ่งก้านของต้นไม้เรียกว่าtwigs.

พิจารณาสิ่งต่อไปนี้ connected subgraph ของกราฟซึ่งแสดงในตัวอย่างจุดเริ่มต้นของบทนี้

กราฟย่อยที่เชื่อมต่อนี้ประกอบด้วยโหนดทั้งสี่ของกราฟที่กำหนดและไม่มีการวนซ้ำ ดังนั้นจึงเป็นTree.

ต้นไม้นี้มีเพียงสามกิ่งจากหกกิ่งของกราฟที่กำหนด เพราะถ้าเราพิจารณาแม้แต่กิ่งก้านเดียวของกราฟที่เหลือก็จะมีการวนซ้ำในกราฟย่อยที่เชื่อมต่อด้านบน จากนั้นกราฟย่อยที่เชื่อมต่อผลลัพธ์จะไม่เป็น Tree

จากต้นไม้ข้างต้นเราสามารถสรุปได้ว่า number of branches ที่มีอยู่ในต้นไม้ควรเท่ากับ n - 1 โดยที่ 'n' คือจำนวนโหนดของกราฟที่กำหนด

ต้นไม้ร่วม

Co-Tree เป็นกราฟย่อยซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับกิ่งก้านที่ถูกลบออกในขณะที่สร้างต้นไม้ ดังนั้นจึงเรียกว่าเป็นComplementของต้นไม้ สำหรับต้นไม้ทุกต้นจะมี Co-Tree ที่สอดคล้องกันและกิ่งก้านของมันจะถูกเรียกว่าเป็นlinksหรือคอร์ด โดยทั่วไปลิงก์จะแสดงด้วยเส้นประ

Co-Tree ที่สอดคล้องกับ Tree ด้านบนจะแสดงในรูปต่อไปนี้

Co-Tree นี้มีเพียงสามโหนดแทนที่จะเป็นสี่โหนดของกราฟที่กำหนดเนื่องจากโหนด 4 ถูกแยกจาก Co-Tree ด้านบน ดังนั้น Co-Tree จึงไม่จำเป็นต้องเป็นกราฟย่อยที่เชื่อมต่อกัน Co-Tree นี้มีสามสาขาและรวมกันเป็นวง

number of branchesที่มีอยู่ในต้นไม้ร่วมจะเท่ากับผลต่างระหว่างจำนวนกิ่งก้านของกราฟที่กำหนดกับจำนวนกิ่ง ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนเป็น

$$l = b - (n - 1)$$

$$l = b - n + 1$$

ที่ไหน

  • l คือจำนวนลิงก์
  • b คือจำนวนสาขาที่มีอยู่ในกราฟที่กำหนด
  • n คือจำนวนโหนดที่มีอยู่ในกราฟที่กำหนด

หากเรารวม Tree และ Co-Tree ที่สอดคล้องกันเราจะได้ไฟล์ original graph ดังแสดงด้านล่าง

กิ่งก้านของต้นไม้ d, e & f แสดงด้วยเส้นทึบ Co-Tree กิ่งก้าน a, b & c จะแสดงด้วยเส้นประ

ในบทที่แล้วเราได้กล่าวถึงวิธีการแปลงวงจรไฟฟ้าเป็นกราฟที่เท่ากัน ตอนนี้ให้เราพูดถึงเมทริกซ์โทโพโลยีเครือข่ายซึ่งมีประโยชน์สำหรับการแก้ปัญหาวงจรไฟฟ้าหรือเครือข่ายโดยใช้กราฟที่เท่ากัน

เมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับกราฟเครือข่าย

ต่อไปนี้เป็นเมทริกซ์สามตัวที่ใช้ในทฤษฎีกราฟ

  • เมทริกซ์อุบัติการณ์
  • เมทริกซ์ลูปพื้นฐาน
  • เมทริกซ์ชุด Fundamental Cut

เมทริกซ์อุบัติการณ์

เมทริกซ์อุบัติการณ์แสดงถึงกราฟของวงจรไฟฟ้าหรือเครือข่ายที่กำหนด ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะวาดกราฟของวงจรไฟฟ้าหรือเครือข่ายเดียวกันจากincidence matrix.

เราทราบดีว่ากราฟประกอบด้วยชุดของโหนดและมีการเชื่อมต่อด้วยบางสาขา ดังนั้นการเชื่อมต่อของสาขากับโหนดจึงเรียกว่าอุบัติการณ์ เมทริกซ์อุบัติการณ์แสดงด้วยตัวอักษร A เรียกอีกอย่างว่าโหนดไปยังเมทริกซ์อุบัติการณ์สาขาหรือnode incidence matrix.

หากมีโหนด 'n' และ 'b' อยู่ในไฟล์ directed graphจากนั้นเมทริกซ์อุบัติการณ์จะมีแถว 'n' และ 'b' ที่นี่แถวและคอลัมน์จะสอดคล้องกับโหนดและกิ่งก้านของกราฟกำกับ ดังนั้นorder ของเมทริกซ์อุบัติการณ์จะเป็น n × b.

elements of incidence matrix จะมีค่าหนึ่งในสามค่านี้คือ +1, -1 และ 0

  • หากกระแสสาขาออกจากโหนดที่เลือกค่าขององค์ประกอบจะเป็น +1

  • หากกระแสสาขาเข้าสู่โหนดที่เลือกค่าขององค์ประกอบจะเป็น -1

  • หากสาขาปัจจุบันไม่เข้าสู่โหนดที่เลือกหรือออกจากโหนดที่เลือกค่าขององค์ประกอบจะเป็น 0

ขั้นตอนการหา Incidence Matrix

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้เพื่อค้นหาเมทริกซ์อุบัติการณ์ของกราฟกำกับ

  • เลือกโหนดในช่วงเวลาของกราฟกำกับที่กำหนดและเติมค่าขององค์ประกอบของเมทริกซ์อุบัติการณ์ที่สอดคล้องกับโหนดนั้นในแถว

  • ทำซ้ำขั้นตอนข้างต้นสำหรับโหนดทั้งหมดของกราฟกำกับที่กำหนด

ตัวอย่าง

พิจารณาสิ่งต่อไปนี้ directed graph.

incidence matrix ที่สอดคล้องกับกราฟที่กำหนดไว้ด้านบนจะเป็น

$$A = \begin{bmatrix}-1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$

แถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ด้านบนแสดงถึงโหนดและกิ่งก้านของกราฟกำกับที่กำหนด ลำดับของเมทริกซ์อุบัติการณ์นี้คือ 4 × 6

จากการสังเกตเมทริกซ์อุบัติการณ์ข้างต้นเราสามารถสรุปได้ว่า summationขององค์ประกอบคอลัมน์ของเมทริกซ์อุบัติการณ์เท่ากับศูนย์ นั่นหมายความว่ากระแสสาขาจะออกจากโหนดหนึ่งและเข้าสู่โหนดเดียวเท่านั้น

Note- หากกราฟที่กำหนดเป็นประเภทที่ไม่ได้กำหนดทิศทางให้แปลงเป็นกราฟกำกับโดยแสดงลูกศรในแต่ละสาขา เราสามารถพิจารณาทิศทางโดยพลการของการไหลของกระแสในแต่ละสาขา

เมทริกซ์ลูปพื้นฐาน

ห่วงพื้นฐานหรือ f-loopคือการวนซ้ำซึ่งมีเพียงลิงค์เดียวและกิ่งไม้อย่างน้อยหนึ่งอัน ดังนั้นจำนวน f-loops จะเท่ากับจำนวนลิงค์ เมทริกซ์ลูปพื้นฐานแสดงด้วยตัวอักษร B เรียกอีกอย่างว่าfundamental circuit matrixและเมทริกซ์ Tie-set เมทริกซ์นี้ให้ความสัมพันธ์ระหว่างกระแสสาขาและกระแสลิงค์

หากมีโหนด 'n' และ 'b' อยู่ในไฟล์ directed graphจากนั้นจำนวนลิงก์ที่ปรากฏในแผนผังร่วมซึ่งสอดคล้องกับต้นไม้ที่เลือกของกราฟที่กำหนดจะเป็น b-n + 1

ดังนั้นเมทริกซ์ลูปพื้นฐานจะมีแถว 'b-n + 1' และคอลัมน์ 'b' แถวและคอลัมน์จะตรงกับลิงก์ของต้นไม้ร่วมและกิ่งก้านของกราฟที่กำหนด ดังนั้นลำดับของเมทริกซ์ลูปพื้นฐานจะเป็น(b - n + 1) × b.

elements of fundamental loop matrix จะมีค่าหนึ่งในสามค่านี้คือ +1, -1 และ 0

  • ค่าขององค์ประกอบจะเป็น +1 สำหรับลิงค์ของ f-loop ที่เลือก

  • ค่าขององค์ประกอบจะเป็น 0 สำหรับลิงค์และกิ่งไม้ที่เหลือซึ่งไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของ f-loop ที่เลือก

  • หากทิศทางของกระแสกิ่งไม้ของ f-loop ที่เลือกตรงกับกระแสของลิงค์ f-loop ค่าขององค์ประกอบจะเป็น +1

  • หากทิศทางของกระแสกิ่งไม้ของ f-loop ที่เลือกอยู่ตรงข้ามกับกระแสของลิงค์ f-loop ค่าขององค์ประกอบจะเป็น -1

ขั้นตอนการค้นหา Fundamental Loop Matrix

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้เพื่อค้นหาเมทริกซ์ลูปพื้นฐานของกราฟกำกับที่กำหนด

  • เลือกต้นไม้ของกราฟกำกับที่กำหนด

  • โดยรวมทีละลิงค์เราจะได้ f-loop หนึ่งอัน กรอกค่าขององค์ประกอบที่สอดคล้องกับ f-loop นี้ในแถวของเมทริกซ์ลูปพื้นฐาน

  • ทำซ้ำขั้นตอนด้านบนสำหรับลิงก์ทั้งหมด

ตัวอย่าง

ลองดูที่ Tree of directed graphซึ่งถือเป็นเมทริกซ์อุบัติการณ์

ต้นไม้ด้านบนมีสามสาขา d, e & f ดังนั้นกิ่ง a, b & c จะเป็นลิงค์ของ Co-Tree ที่ตรงกับ Tree ด้านบน โดยการรวมลิงค์ทีละรายการไปยัง Tree ด้านบนเราจะได้มาf-loop. ดังนั้นจะมีสามf-loopsเนื่องจากมีลิงก์สามลิงก์ f-loops ทั้งสามนี้แสดงในรูปต่อไปนี้

ในรูปด้านบนกิ่งก้านซึ่งแสดงด้วยเส้นสีเป็นรูป f-loops เราจะได้รับค่าองค์ประกอบแถวที่ชาญฉลาดของเมทริกซ์ Tie-set จากแต่ละ f-loop ดังนั้นTieset matrix ของต้นไม้ที่พิจารณาข้างต้นจะเป็น

$$B = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$

แถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ด้านบนแสดงถึงลิงก์และกิ่งก้านของกราฟกำกับที่กำหนด ลำดับของเมทริกซ์อุบัติการณ์นี้คือ 3 × 6

number of Fundamental loop matricesของกราฟกำกับจะเท่ากับจำนวนต้นไม้ของกราฟกำกับนั้น เพราะต้นไม้ทุกต้นจะมีเมทริกซ์ลูปพื้นฐานหนึ่งเดียว

เมทริกซ์ชุดตัดพื้นฐาน

ชุดตัดพื้นฐานหรือ f-cut setคือจำนวนกิ่งขั้นต่ำที่ถูกลบออกจากกราฟในลักษณะที่กราฟดั้งเดิมจะกลายเป็นกราฟย่อยสองกราฟแยกกัน ชุด f-cut มีเฉพาะone twigและลิงก์อย่างน้อยหนึ่งลิงก์ ดังนั้นจำนวนชุดตัด f จะเท่ากับจำนวนกิ่งไม้

Fundamental cut set matrix แสดงด้วยตัวอักษร C เมทริกซ์นี้ให้ความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันไฟฟ้าสาขาและแรงดันไฟฟ้ากิ่งไม้

หากมีโหนด 'n' และ 'b' อยู่ในไฟล์ directed graphจากนั้นจำนวนกิ่งไม้ที่มีอยู่ในแผนภูมิต้นไม้ที่เลือกไว้จะเป็น n-1 ดังนั้นเมทริกซ์ชุดตัดพื้นฐานจะมีแถว 'n-1' และคอลัมน์ 'b' ที่นี่แถวและคอลัมน์จะสอดคล้องกับกิ่งก้านของต้นไม้ที่เลือกและกิ่งก้านของกราฟที่กำหนด ดังนั้นorder ของเมทริกซ์เซตตัดพื้นฐานจะเป็น (n-1) × b.

elements of fundamental cut set matrix จะมีค่าหนึ่งในสามค่านี้คือ +1, -1 และ 0

  • ค่าขององค์ประกอบจะเท่ากับ +1 สำหรับกิ่งก้านของ f-cutset ที่เลือก

  • ค่าขององค์ประกอบจะเป็น 0 สำหรับกิ่งไม้และลิงค์ที่เหลือซึ่งไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของ f-cutset ที่เลือก

  • หากทิศทางของกระแสลิงค์ของชุด f-cut ที่เลือกตรงกับกระแสของกิ่งไม้ f-cutset ค่าขององค์ประกอบจะเป็น +1

  • หากทิศทางของกระแสลิงค์ของชุด f-cut ที่เลือกตรงข้ามกับกระแสของกิ่งไม้ f-cutset ค่าขององค์ประกอบจะเป็น -1

ขั้นตอนในการค้นหาเมทริกซ์ตัดชุดพื้นฐาน

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้เพื่อค้นหาเมทริกซ์เซตตัดพื้นฐานของกราฟกำกับที่กำหนด

  • เลือกแผนภูมิของกราฟกำกับที่กำหนดและแสดงลิงก์ด้วยเส้นประ

  • การลบกิ่งไม้และลิงค์ที่จำเป็นออกทีละรายการเราจะได้ชุด f-cut หนึ่งชุด เติมค่าขององค์ประกอบที่สอดคล้องกับชุด f-cut นี้ในแถวของเมทริกซ์เซตตัดพื้นฐาน

  • ทำซ้ำขั้นตอนข้างต้นสำหรับกิ่งไม้ทั้งหมด

ตัวอย่าง

พิจารณาเช่นเดียวกัน directed graph ซึ่งเราได้พูดถึงในส่วนของเมทริกซ์อุบัติการณ์ เลือกกิ่ง d, e & f ของกราฟกำกับนี้เป็นกิ่งไม้ ดังนั้นสาขาที่เหลือ a, b & c ของกราฟกำกับนี้จะเป็นลิงก์

twigs d, e & f แสดงด้วยเส้นทึบและ links a, b & c แสดงด้วยเส้นประในรูปต่อไปนี้

การลบกิ่งไม้และลิงค์ที่จำเป็นออกทีละรายการเราจะได้ชุด f-cut หนึ่งชุด ดังนั้นจะมีชุดตัด f สามชุดเนื่องจากมีกิ่งไม้สามกิ่ง ทั้งสามf-cut sets แสดงในรูปต่อไปนี้

เราจะมีชุด f-cut สามชุดโดยเอากิ่งไม้และลิงค์ของ C 1 , C 2และ C 3ออก เราจะได้รับค่าองค์ประกอบแถวที่ชาญฉลาดของเมทริกซ์เซตการตัดพื้นฐานจากแต่ละชุด f-cut ดังนั้นfundamental cut set matrix ของต้นไม้ที่พิจารณาข้างต้นจะเป็น

$$C = \begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

แถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ด้านบนแสดงถึงกิ่งไม้และกิ่งก้านของกราฟกำกับที่กำหนด ลำดับของเมทริกซ์เซตการตัดพื้นฐานนี้คือ 3 × 6

number of Fundamental cut set matricesของกราฟกำกับจะเท่ากับจำนวนต้นไม้ของกราฟกำกับนั้น เพราะต้นไม้ทุกต้นจะมีเมทริกซ์ชุดตัดพื้นฐานหนึ่งชุด

Superposition theoremขึ้นอยู่กับแนวคิดของความเป็นเชิงเส้นระหว่างการตอบสนองและการกระตุ้นของวงจรไฟฟ้า ระบุว่าการตอบสนองในสาขาเฉพาะของวงจรเชิงเส้นเมื่อแหล่งที่มาอิสระหลายแหล่งทำงานในเวลาเดียวกันจะเทียบเท่ากับผลรวมของการตอบสนองเนื่องจากแหล่งที่มาอิสระแต่ละแหล่งทำหน้าที่ในแต่ละครั้ง

ในวิธีนี้เราจะพิจารณาเฉพาะ one independent sourceขณะนั้น. ดังนั้นเราต้องกำจัดแหล่งที่มาอิสระที่เหลือออกจากวงจร เราสามารถกำจัดแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าได้โดยการทำให้ขั้วทั้งสองสั้นลงและในทำนองเดียวกันแหล่งกำเนิดกระแสไฟฟ้าโดยการเปิดขั้วทั้งสอง

ดังนั้นเราจำเป็นต้องค้นหาการตอบสนองในสาขาใดสาขาหนึ่ง ‘n’ timesหากมีแหล่งที่มาที่เป็นอิสระ 'n' การตอบสนองในสาขาใดสาขาหนึ่งอาจเป็นได้ทั้งกระแสที่ไหลผ่านสาขานั้นหรือแรงดันไฟฟ้าข้ามสาขานั้น

ขั้นตอนของทฤษฎีบทการซ้อนทับ

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้เพื่อค้นหาการตอบสนองในสาขาเฉพาะโดยใช้ทฤษฎีบทซ้อนทับ

Step 1 - ค้นหาการตอบสนองในสาขาเฉพาะโดยพิจารณาแหล่งที่มาอิสระหนึ่งแหล่งและกำจัดแหล่งที่มาอิสระที่เหลืออยู่ในเครือข่าย

Step 2 - ทำซ้ำขั้นตอนที่ 1 สำหรับแหล่งข้อมูลอิสระทั้งหมดที่มีอยู่ในเครือข่าย

Step 3 - เพิ่มการตอบกลับทั้งหมดเพื่อให้ได้รับการตอบสนองโดยรวมในสาขาหนึ่ง ๆ เมื่อมีแหล่งข้อมูลอิสระทั้งหมดอยู่ในเครือข่าย

ตัวอย่าง

ค้นหากระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 20 Ωของวงจรต่อไปนี้โดยใช้ superposition theorem.

Step 1 - ให้เราหากระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 20 Ωโดยพิจารณาเฉพาะ 20 V voltage source. ในกรณีนี้เราสามารถกำจัดแหล่งจ่ายกระแส 4 A ได้โดยการสร้างวงจรเปิด แผนภาพวงจรที่แก้ไขจะแสดงในรูปต่อไปนี้

มีโหนดหลักเพียงโหนดเดียวยกเว้นกราวด์ในวงจรด้านบน ดังนั้นเราสามารถใช้nodal analysisวิธี. แรงดันไฟฟ้าของโหนด V 1มีป้ายกำกับในรูปต่อไปนี้ ที่นี่ V 1คือแรงดันไฟฟ้าจากโหนด 1 เทียบกับกราวด์

nodal equation ที่โหนด 1 คือ

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} + \frac{V_1}{10 + 20} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{6V_1 - 120 + 3V_1 + V_1}{30} = 0$$

$$\Rightarrow 10V_1 = 120$$

$$\Rightarrow V_1 = 12V$$

current flowing through 20 Ω resistor สามารถพบได้โดยการทำให้เข้าใจง่ายต่อไปนี้

$$I_1 = \frac{V_1}{10 + 20}$$

แทนค่าของ V 1ในสมการด้านบน

$$I_1 = \frac{12}{10 + 20} = \frac{12}{30} = 0.4 A$$

ดังนั้นกระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 20 Ωคือ 0.4 Aเมื่อพิจารณาแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าเพียง 20 V

Step 2 - ให้เราหากระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 20 Ωโดยพิจารณาเฉพาะ 4 A current source. ในกรณีนี้เราสามารถกำจัดแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า 20 V ได้โดยการลัดวงจรของมัน แผนภาพวงจรที่แก้ไขจะแสดงในรูปต่อไปนี้

ในวงจรด้านบนมีตัวต้านทานสามตัวทางด้านซ้ายของขั้ว A & B เราสามารถแทนที่ตัวต้านทานเหล่านี้ด้วยตัวเดียว equivalent resistor. ที่นี่ตัวต้านทาน 5 Ωและ 10 Ωเชื่อมต่อแบบขนานและชุดค่าผสมทั้งหมดอยู่ในอนุกรมที่มีตัวต้านทาน 10 Ω

equivalent resistance ทางด้านซ้ายของเทอร์มินัล A & B จะเป็น

$$R_{AB} = \lgroup \frac{5 \times 10}{5 + 10} \rgroup + 10 = \frac{10}{3} + 10 = \frac{40}{3} \Omega$$

แผนภาพวงจรแบบง่ายแสดงในรูปต่อไปนี้

เราสามารถหากระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 20 Ωโดยใช้ current division principle.

$$I_2 = I_S \lgroup \frac{R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

ทดแทน $I_S = 4A,\: R_1 = \frac{40}{3} \Omega$ และ $R_2 = 20 \Omega$ ในสมการข้างต้น

$$I_2 = 4 \lgroup \frac{\frac{40}{3}}{\frac{40}{3} + 20} \rgroup = 4 \lgroup \frac{40}{100} \rgroup = 1.6 A$$

ดังนั้นกระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 20 Ωคือ 1.6 Aเมื่อพิจารณาแหล่งที่มาปัจจุบันเพียง 4 A

Step 3 - เราจะได้กระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 20 Ωของวงจรที่กำหนดโดยทำ addition of two currents ที่เราได้รับในขั้นตอนที่ 1 และขั้นตอนที่ 2 ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนเป็น

$$I = I_1 + I_2$$

แทนค่าของI 1และI 2ในสมการด้านบน

$$I = 0.4 + 1.6 = 2 A$$

ดังนั้นกระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 20 Ωของวงจรที่กำหนดคือ 2 A.

Note - เราไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทการซ้อนทับโดยตรงเพื่อหาจำนวน powerส่งไปยังตัวต้านทานใด ๆ ที่มีอยู่ในวงจรเชิงเส้นเพียงแค่ทำการเพิ่มกำลังที่ส่งไปยังตัวต้านทานนั้นเนื่องจากแหล่งที่มาอิสระแต่ละแหล่ง แต่เราสามารถคำนวณกระแสทั้งหมดที่ไหลผ่านหรือแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวต้านทานนั้นโดยใช้ทฤษฎีบท superposition และจากนั้นเราสามารถคำนวณปริมาณพลังงานที่ส่งไปยังตัวต้านทานนั้นโดยใช้$I^2 R$ หรือ $\frac{V^2}{R}$.

Thevenin’s theoremระบุว่าเครือข่ายเชิงเส้นเทอร์มินัลหรือวงจรสองขั้วใด ๆ สามารถแสดงด้วยเครือข่ายหรือวงจรที่เทียบเท่าซึ่งประกอบด้วยแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าเป็นอนุกรมพร้อมตัวต้านทาน เป็นที่รู้จักกันในชื่อวงจรเทียบเท่าของ Thevenin วงจรเชิงเส้นอาจมีแหล่งที่มาอิสระแหล่งอ้างอิงและตัวต้านทาน

หากวงจรประกอบด้วยแหล่งที่มาอิสระแหล่งที่มาและตัวต้านทานหลายแหล่งการตอบสนองในองค์ประกอบสามารถพบได้ง่ายโดยการแทนที่เครือข่ายทั้งหมดทางด้านซ้ายขององค์ประกอบนั้นด้วย Thevenin’s equivalent circuit.

response in an element อาจเป็นแรงดันไฟฟ้าข้ามองค์ประกอบนั้นกระแสที่ไหลผ่านองค์ประกอบนั้นหรือกำลังที่กระจายไปทั่วองค์ประกอบนั้น

แนวคิดนี้แสดงในรูปต่อไปนี้

Thevenin’s equivalent circuitคล้ายกับแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าที่ใช้งานได้จริง ดังนั้นจึงมีแหล่งจ่ายแรงดันเป็นอนุกรมพร้อมตัวต้านทาน

  • แหล่งจ่ายแรงดันที่อยู่ในวงจรเทียบเท่าของ Thevenin เรียกว่าแรงดันไฟฟ้าเทียบเท่าของ Thevenin หรือเรียกง่ายๆ Thevenin’s voltage, VTh.

  • ตัวต้านทานที่มีอยู่ในวงจรเทียบเท่าของ Thevenin เรียกว่าตัวต้านทานเทียบเท่าของ Thevenin หรือเรียกง่ายๆ Thevenin’s resistor, RTh.

วิธีการหาวงจรสมมูลของ Thevenin

มีสามวิธีในการค้นหาวงจรเทียบเท่าของ Thevenin ขึ้นอยู่กับtype of sourcesที่มีอยู่ในเครือข่ายเราสามารถเลือกหนึ่งในสามวิธีนี้ได้ ตอนนี้ให้เราคุยสองวิธีทีละวิธี เราจะพูดถึงวิธีที่สามในบทถัดไป

วิธีที่ 1

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้เพื่อค้นหาวงจรเทียบเท่าของ Thevenin เมื่อมีเพียง sources of independent type อยู่

  • Step 1 - พิจารณาแผนภาพวงจรโดยการเปิดเทอร์มินัลที่เกี่ยวข้องกับวงจรเทียบเท่าของ Thevenin

  • Step 2 - ค้นหาแรงดันไฟฟ้าของ Thevenin VTh ข้ามขั้วเปิดของวงจรด้านบน

  • Step 3 - ค้นหาความต้านทานของ Thevenin RTh ข้ามขั้วเปิดของวงจรข้างต้นโดยการกำจัดแหล่งที่มาอิสระที่มีอยู่ในนั้น

  • Step 4 - วาดไฟล์ Thevenin’s equivalent circuitโดยการเชื่อมต่อแรงดันไฟฟ้าของเทเวอแน็ V Thในซีรีส์ที่มีความต้านทานของเทเวอแน็ R Th

ตอนนี้เราสามารถค้นหาการตอบสนองในองค์ประกอบที่อยู่ทางด้านขวาของวงจรสมมูลของ Thevenin

ตัวอย่าง

ค้นหากระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 20 Ωโดยหา a Thevenin’s equivalent circuit ทางด้านซ้ายของขั้ว A และ B

Step 1 - ในการค้นหาวงจรเทียบเท่าของ Thevenin ที่ด้านซ้ายของขั้ว A & B เราควรถอดตัวต้านทาน 20 Ωออกจากเครือข่ายโดย opening the terminals A & B. แผนภาพวงจรที่แก้ไขจะแสดงในรูปต่อไปนี้

Step 2 - การคำนวณของ Thevenin’s voltage VTh.

มีโหนดหลักเพียงโหนดเดียวยกเว้นกราวด์ในวงจรด้านบน ดังนั้นเราสามารถใช้nodal analysisวิธี. แรงดันโหนด V 1และแรงดันไฟฟ้า V Thของ Thevenin มีข้อความระบุไว้ในรูปด้านบน ที่นี่ V 1คือแรงดันไฟฟ้าจากโหนด 1 เทียบกับกราวด์และ V Thคือแรงดันไฟฟ้าจากแหล่งจ่ายกระแส 4 A

  • nodal equation ที่โหนด 1 คือ

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} - 4 = 0$$

$$\Rightarrow \frac{2V_1 - 40 + V_1 - 40}{10} = 0$$

$$\Rightarrow 3V_1 - 80 = 0$$

$$\Rightarrow V_1 = \frac{80}{3}V$$

  • แรงดันไฟฟ้าข้ามอนุกรมสาขาตัวต้านทาน 10 Ωคือ

$$V_{10 \Omega} = (-4)(10) = -40V$$

  • มีสองตาข่ายในวงจรด้านบน KVL equation รอบที่สองตาข่ายคือ

$$V_1 - V_{10 \Omega} - V_{Th} = 0$$

  • แทนค่าของ $V_1$ และ $V_{10 \Omega}$ ในสมการข้างต้น

$$\frac{80}{3} - (-40) - V_{Th} = 0$$

$$V_{Th} = \frac{80 + 120}{3} = \frac{200}{3}V$$

  • ดังนั้นแรงดันไฟฟ้าของ Thevenin คือ $V_{Th} = \frac{200}{3}V$

Step 3 - การคำนวณของ Thevenin’s resistance RTh.

ลัดวงจรแหล่งจ่ายแรงดันและวงจรเปิดแหล่งกระแสของวงจรข้างต้นเพื่อคำนวณความต้านทานของ Thevenin R Thข้ามขั้ว A & Bmodified circuit diagram แสดงดังรูปต่อไปนี้

ความต้านทานของ Thevenin ข้ามขั้ว A & B จะเป็น

$$R_{Th} = \lgroup \frac{5 \times 10}{5 + 10} \rgroup + 10 = \frac{10}{3} + 10 = \frac{40}{3} \Omega$$

ดังนั้นความต้านทานของ Thevenin คือ $\mathbf {R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega}$.

Step 4- วงจรเทียบเท่าของ Thevenin วางไว้ทางด้านซ้ายของขั้ว A & B ในวงจรที่กำหนด แผนภาพวงจรนี้แสดงในรูปต่อไปนี้

กระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 20 Ωสามารถพบได้โดยการแทนที่ค่าของV Th , R ThและRในสมการต่อไปนี้

$$l = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R}$$

$$l = \frac{\frac{200}{3}}{\frac{40}{3} + 20} = \frac{200}{100} = 2A$$

ดังนั้นกระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 20 Ωคือ 2 A.

วิธีที่ 2

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้เพื่อค้นหาวงจรเทียบเท่าของ Thevenin เมื่อไฟล์ sources of both independent type and dependent type อยู่

  • Step 1 - พิจารณาแผนภาพวงจรโดยเปิดเทอร์มินัลตามที่เกี่ยวข้องซึ่งจะพบวงจรเทียบเท่าของ Thevenin

  • Step 2 - ค้นหาแรงดันไฟฟ้าของ Thevenin VTh ข้ามขั้วเปิดของวงจรด้านบน

  • Step 3 - ค้นหากระแสไฟฟ้าลัดวงจร ISC โดยการลัดวงจรขั้วที่เปิดทั้งสองของวงจรข้างต้น

  • Step 4 - ค้นหาความต้านทานของ Thevenin RTh โดยใช้สูตรต่อไปนี้

$$R_{Th} = \frac{V_{Th}}{I_{SC}}$$

Step 5 - วาดไฟล์ Thevenin’s equivalent circuitโดยการเชื่อมต่อแรงดันไฟฟ้าของเทเวอแน็ V Thในซีรีส์ที่มีความต้านทานของเทเวอแน็ R Th

ตอนนี้เราสามารถค้นหาการตอบสนองในองค์ประกอบที่อยู่ทางด้านขวาของวงจรสมมูลของ Thevenin

Norton’s theoremคล้ายกับทฤษฎีบทของ Thevenin ระบุว่าเครือข่ายเชิงเส้นสองขั้วหรือวงจรใด ๆ สามารถแสดงด้วยเครือข่ายหรือวงจรที่เท่ากันซึ่งประกอบด้วยแหล่งกระแสขนานกับตัวต้านทาน เป็นที่รู้จักกันในชื่อNorton’s equivalent circuit. วงจรเชิงเส้นอาจมีแหล่งที่มาอิสระแหล่งอ้างอิงและตัวต้านทาน

หากวงจรมีแหล่งที่มาอิสระแหล่งที่มาและตัวต้านทานหลายแหล่งการตอบสนองในองค์ประกอบสามารถพบได้ง่ายโดยการแทนที่เครือข่ายทั้งหมดทางด้านซ้ายขององค์ประกอบนั้นด้วย a Norton’s equivalent circuit.

response in an element อาจเป็นแรงดันไฟฟ้าข้ามองค์ประกอบนั้นกระแสที่ไหลผ่านองค์ประกอบนั้นหรือกำลังที่กระจายไปทั่วองค์ประกอบนั้น

แนวคิดนี้แสดงในรูปต่อไปนี้

Norton’s equivalent circuitคล้ายกับแหล่งข้อมูลปัจจุบันที่ใช้งานได้จริง ดังนั้นจึงมีแหล่งจ่ายกระแสขนานกับตัวต้านทาน

  • แหล่งกระแสที่มีอยู่ในวงจรสมมูลของนอร์ตันเรียกว่ากระแสเทียบเท่าของนอร์ตันหรือเรียกง่ายๆ Norton’s current IN.

  • ตัวต้านทานที่มีอยู่ในวงจรสมมูลของนอร์ตันเรียกว่าตัวต้านทานเทียบเท่าของนอร์ตันหรือเรียกง่ายๆ Norton’s resistor RN.

วิธีการหาวงจรเทียบเท่าของ Norton

มี three methodsสำหรับการค้นหาวงจรเทียบเท่าของ Norton ขึ้นอยู่กับประเภทของแหล่งที่มาที่มีอยู่ในเครือข่ายเราสามารถเลือกหนึ่งในสามวิธีนี้ได้ ตอนนี้ให้เราพูดถึงสามวิธีนี้ทีละวิธี

วิธีที่ 1

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้เพื่อค้นหาวงจรเทียบเท่าของ Norton เมื่อมีเพียงไฟล์ sources of independent type อยู่

  • Step 1 - พิจารณาแผนภาพวงจรโดยการเปิดเทอร์มินัลตามที่เกี่ยวข้องซึ่งจะพบวงจรเทียบเท่าของนอร์ตัน

  • Step 2 - ค้นหากระแสของ Norton IN โดยการลัดวงจรขั้วที่เปิดทั้งสองของวงจรข้างต้น

  • Step 3 - ค้นหาความต้านทานของ Norton RNข้ามขั้วเปิดของวงจรที่พิจารณาในขั้นตอนที่ 1 โดยการกำจัดแหล่งที่มาอิสระที่มีอยู่ในนั้น ความต้านทานของ NortonRN จะเหมือนกับการต่อต้านของ Thevenin RTh.

  • Step 4 - วาดไฟล์ Norton’s equivalent circuitโดยการเชื่อมต่อในปัจจุบันของนอร์ตันในแบบคู่ขนานกับความต้านทานของ Norton R N

ตอนนี้เราสามารถค้นหาการตอบสนองในองค์ประกอบที่อยู่ทางด้านขวาของวงจรสมมูลของนอร์ตัน

วิธีที่ 2

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้เพื่อค้นหาวงจรเทียบเท่าของ Norton เมื่อไฟล์ sources of both independent type and dependent type อยู่

  • Step 1 - พิจารณาแผนภาพวงจรโดยการเปิดเทอร์มินัลที่เกี่ยวข้องกับวงจรที่เทียบเท่าของ Norton

  • Step 2 - ค้นหาแรงดันไฟฟ้าวงจรเปิด VOC ข้ามขั้วเปิดของวงจรด้านบน

  • Step 3 - ค้นหากระแสของ Norton IN โดยการลัดวงจรขั้วที่เปิดทั้งสองของวงจรข้างต้น

  • Step 4 - ค้นหาความต้านทานของ Norton RN โดยใช้สูตรต่อไปนี้

$$R_N = \frac{V_{OC}}{I_N}$$

  • Step 5- วาดวงจรเทียบเท่านอร์ตันโดยการเชื่อมต่อของนอร์ตันปัจจุบันผมยังไม่มีข้อความในแบบคู่ขนานกับความต้านทานของ Norton R N

ตอนนี้เราสามารถค้นหาการตอบสนองในองค์ประกอบที่อยู่ทางด้านขวาของวงจรสมมูลของนอร์ตัน

วิธีที่ 3

นี่เป็นวิธีอื่นในการค้นหาวงจรเทียบเท่าของ Norton

  • Step 1 - ค้นหาไฟล์ Thevenin’s equivalent circuitระหว่างสองขั้วที่ต้องการ เรารู้ว่ามันประกอบด้วยแหล่งจ่ายแรงดันของเทเวอแน็, V Thและเทเวอแน็ของตัวต้านทาน R Th

  • Step 2 - สมัคร source transformation techniqueไปยังวงจรเทียบเท่าของ Thevenin ข้างต้น เราจะได้วงจรสมมูลของนอร์ตัน ที่นี่

ปัจจุบันของ Norton

$$I_N = \frac{V_{Th}}{R_{Th}}$$

ความต้านทานของ Norton

$$R_N = R_{Th}$$

แนวคิดนี้แสดงในรูปต่อไปนี้

ตอนนี้เราสามารถค้นหาการตอบสนองในองค์ประกอบได้โดยวางวงจรเทียบเท่าของ Norton ไว้ทางด้านซ้ายขององค์ประกอบนั้น

Note- ในทำนองเดียวกันเราสามารถค้นหาวงจรสมมูลของ Thevenin ได้โดยการหาวงจรสมมูลของ Norton ก่อนจากนั้นจึงใช้เทคนิคการแปลงซอร์สกับมัน แนวคิดนี้แสดงในรูปต่อไปนี้

นี่คือวิธีที่ 3 สำหรับการหาวงจรเทียบเท่าของ Thevenin

ตัวอย่าง

ค้นหากระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 20 Ωโดยหา a Norton’s equivalent circuit ทางด้านซ้ายของขั้ว A และ B

ให้เราแก้ปัญหานี้โดยใช้ Method 3.

Step 1- ในบทที่แล้วเราคำนวณวงจรเทียบเท่าของ Thevenin ที่ด้านซ้ายของขั้ว A & B เราสามารถใช้วงจรนี้ได้แล้ว ดังแสดงในรูปต่อไปนี้

ที่นี่แรงดันไฟฟ้าของ Thevenin $V_{Th} = \frac{200}{3} V$ และการต่อต้านของ Thevenin $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$

Step 2 - สมัคร source transformation techniqueไปยังวงจรเทียบเท่าของ Thevenin ข้างต้น แทนค่าของV ThและR Thในสูตรต่อไปนี้ของNorton’s current.

$$I_N = \frac{V_{Th}}{R_{Th}}$$

$$I_N = \frac{\frac{200}{3}}{\frac{40}{3}} = 5A$$

ดังนั้นI Nปัจจุบันของ Norton คือ5 A.

เรารู้ว่าการต่อต้านนอร์ตัน, R Nเป็นเช่นเดียวกับที่ของความต้านทานของเทเวอแน็R Th

$$\mathbf {R_N = \frac{40}{3} \Omega}$$

วงจรสมมูลของ Norton ที่ตรงกับวงจรเทียบเท่า Thevenin ข้างต้นแสดงในรูปต่อไปนี้

ตอนนี้วางวงจรเทียบเท่าของ Norton ไว้ทางด้านซ้ายของขั้ว A & B ของวงจรที่กำหนด

โดยใช้ current division principleกระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 20 Ωจะเป็น

$$I_{20 \Omega} = 5 \lgroup \frac{\frac{40}{3}}{\frac{40}{3} + 20} \rgroup$$

$$I_{20 \Omega} = 5 \lgroup \frac{40}{100} \rgroup = 2A$$

ดังนั้นกระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 20 Ωคือ 2 A.

ปริมาณพลังงานที่ได้รับจากโหลดเป็นพารามิเตอร์ที่สำคัญในการใช้งานไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ ในวงจรไฟฟ้ากระแสตรงเราสามารถแทนค่าโหลดด้วยตัวต้านทานที่มีความต้านทาน R Lโอห์ม ในทำนองเดียวกันในวงจร AC เราสามารถแทนค่าได้ด้วยโหลดเชิงซ้อนที่มีอิมพีแดนซ์ Z Lโอห์ม

Maximum power transfer theorem ระบุว่าแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้ากระแสตรงจะส่งมอบพลังงานสูงสุดให้กับตัวต้านทานโหลดตัวแปรก็ต่อเมื่อความต้านทานโหลดเท่ากับความต้านทานต้นทาง

ในทำนองเดียวกัน Maximum power transfer theorem ระบุว่าแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้ากระแสสลับจะส่งพลังงานสูงสุดให้กับโหลดเชิงซ้อนตัวแปรก็ต่อเมื่ออิมพีแดนซ์ของโหลดเท่ากับคอนจูเกตที่ซับซ้อนของอิมพีแดนซ์ต้นทาง

ในบทนี้ให้เราพูดคุยเกี่ยวกับทฤษฎีบทการถ่ายโอนกำลังสูงสุดสำหรับวงจร DC

หลักฐานของทฤษฎีบทการถ่ายโอนกำลังสูงสุด

เปลี่ยนเครือข่ายเชิงเส้นสองขั้วหรือวงจรทางด้านซ้ายของตัวต้านทานโหลดตัวแปรที่มีความต้านทาน R Lโอห์มด้วยวงจรเทียบเท่าของ Thevenin เรารู้ว่าวงจรสมมูลของ Thevenin คล้ายแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าที่ใช้งานได้จริง

แนวคิดนี้แสดงในรูปต่อไปนี้

ปริมาณพลังงานที่กระจายไปทั่วตัวต้านทานโหลดคือ

$$P_L = I^2 R_L$$

ทดแทน $I = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R_L}$ ในสมการข้างต้น

$$P_L = \lgroup \frac{V_{Th}}{(R_{Th} + R_L)} \rgroup ^2 R_L$$

$\Rightarrow P_L = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_L}{(R_{Th} + R_L)^2} \rbrace$ Equation 1

เงื่อนไขสำหรับการถ่ายโอนพลังงานสูงสุด

สำหรับค่าสูงสุดหรือต่ำสุดอนุพันธ์อันดับหนึ่งจะเป็นศูนย์ ดังนั้นให้แยกความแตกต่างของสมการ 1 เทียบกับR Lและทำให้มันเท่ากับศูนย์

$$\frac{dP_L}{dR_L} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{(R_{Th} + R_L)^2 \times 1 - R_L \times 2(R_{Th} + R_L)}{(R_{Th} + R_L)^4} \rbrace = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} + R_L)^2 -2R_L(R_{Th} + R_L) = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} + R_L)(R_{Th} + R_L - 2R_L) = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} - R_L) = 0$$

$$\Rightarrow R_{Th} = R_L\:or\:R_L = R_{Th}$$

ดังนั้นไฟล์ condition for maximum power การกระจายทั่วทั้งโหลดคือ $R_L = R_{Th}$. นั่นหมายความว่าถ้าค่าของความต้านทานโหลดเท่ากับค่าของความต้านทานต้นทางนั่นคือความต้านทานของ Thevenin พลังที่กระจายไปทั่วโหลดจะมีค่าสูงสุด

ค่าของการถ่ายโอนพลังงานสูงสุด

ทดแทน $R_L = R_{Th}\:\&\:P_L = P_{L, Max}$ ในสมการที่ 1

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{(R_{Th} + R_{Th})^2} \rbrace$$

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{4 {R_{Th}}^2} \rbrace$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{L}}, \: since \: R_{L} = R_{Th}$$

ดังนั้นไฟล์ maximum amount of power ถ่ายโอนไปยังโหลดคือ

$$P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{L}} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}}$$

ประสิทธิภาพของการถ่ายโอนพลังงานสูงสุด

เราสามารถคำนวณประสิทธิภาพของการถ่ายโอนพลังงานสูงสุด $\eta_{Max}$ โดยใช้สูตรต่อไปนี้

$\eta_{Max} = \frac{P_{L, Max}}{P_S}$ Equation 2

ที่ไหน

  • $P_{L, Max}$ คือปริมาณพลังงานสูงสุดที่ถ่ายโอนไปยังโหลด

  • $P_S$ คือปริมาณพลังงานที่สร้างขึ้นโดยแหล่งที่มา

amount of power generated โดยแหล่งที่มาคือ

$$P_S = I^2 R_{Th} + I^2 R_L$$

$$\Rightarrow P_S = 2 I^2 R_{Th},\:since\:R_{L} = R_{Th}$$

  • ทดแทน $I = \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}}$ ในสมการข้างต้น

$$P_S = 2\lgroup \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}} \rgroup ^2 R_{Th}$$

$$\Rightarrow P_S = 2\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4 {R_{Th}}^2} \rgroup R_{Th}$$

$$\Rightarrow P_S = \frac{{V_{Th}}^2}{2 R_{Th}}$$

  • แทนค่าของ $P_{L, Max}$ และ $P_S$ ในสมการ 2.

$$\eta_{Max} = \frac{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}} \rgroup}{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{2R_{Th}}\rgroup}$$

$$\Rightarrow \eta_{Max} = \frac{1}{2}$$

เราสามารถแสดงถึงประสิทธิภาพของการถ่ายโอนพลังงานสูงสุดในแง่ของ percentage ดังต่อไปนี้ -

$$\% \eta_{Max} = \eta_{Max} \times 100\%$$

$$\Rightarrow \% \eta_{Max} = \lgroup \frac{1}{2} \rgroup \times 100\%$$

$$\Rightarrow \% \eta_{Max} = 50\%$$

ดังนั้นประสิทธิภาพของการถ่ายโอนพลังงานสูงสุดคือ 50 %.

ตัวอย่าง

ค้นหาไฟล์ maximum powerที่สามารถส่งไปยังตัวต้านทานโหลด R Lของวงจรดังแสดงในรูปต่อไปนี้

Step 1- ในบททฤษฎีบทของ Thevenin เราคำนวณวงจรเทียบเท่าของ Thevenin ที่ด้านซ้ายของขั้ว A & B เราสามารถใช้วงจรนี้ได้แล้ว ดังแสดงในรูปต่อไปนี้

ที่นี่แรงดันไฟฟ้าของ Thevenin $V_{Th} = \frac{200}{3}V$ และการต่อต้านของ Thevenin $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$

Step 2- เปลี่ยนส่วนของวงจรซึ่งอยู่ด้านซ้ายของขั้ว A & B ของวงจรที่กำหนดด้วยวงจรเทียบเท่าของ Thevenin ข้างต้น แผนภาพวงจรผลลัพธ์จะแสดงในรูปต่อไปนี้

Step 3- เราสามารถหากำลังสูงสุดที่จะส่งไปยังตัวต้านทานโหลด R Lโดยใช้สูตรต่อไปนี้

$$P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

ทดแทน $V_{Th} = \frac{200}{3}V$ และ $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$ ในสูตรข้างต้น

$$P_{L, Max} = \frac{\lgroup \frac{200}{3} \rgroup ^ 2}{4 \lgroup \frac{40}{3}\rgroup } $$

$$P_{L, Max} = \frac{250}{3} W$$

ดังนั้นไฟล์ maximum power ที่จะส่งไปยังตัวต้านทานโหลด RL ของวงจรที่กำหนดคือ $\mathbf {\frac{250}{3}}$ W

หากเอาต์พุตของวงจรไฟฟ้าสำหรับอินพุตแตกต่างกันไปตามเวลาจะเรียกว่าเป็น time response. การตอบสนองต่อเวลาประกอบด้วยสองส่วนต่อไปนี้

  • การตอบสนองชั่วคราว
  • การตอบสนองต่อสภาวะคงที่

ในบทนี้ก่อนอื่นให้เราพูดคุยเกี่ยวกับการตอบสนองทั้งสองนี้จากนั้นสังเกตการตอบสนองทั้งสองนี้ในวงจร RL แบบอนุกรมเมื่อมีการกระตุ้นด้วยแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้ากระแสตรง

การตอบสนองชั่วคราว

หลังจากใช้อินพุตกับวงจรไฟฟ้าแล้วเอาต์พุตจะใช้เวลาพอสมควรในการเข้าสู่สภาวะคงที่ ดังนั้นเอาต์พุตจะอยู่ในสถานะชั่วคราวจนกว่าจะเข้าสู่สภาวะคงที่ ดังนั้นการตอบสนองของวงจรไฟฟ้าในสถานะชั่วคราวจึงเรียกว่าtransient response.

การตอบสนองชั่วคราวจะเป็นศูนย์สำหรับค่าขนาดใหญ่ของ 't' ตามหลักการแล้วค่า "t" นี้ควรเป็นอินฟินิตี้ แต่ในทางปฏิบัติfive time constants เพียงพอแล้ว

การมีอยู่หรือไม่มีชั่วคราว

ชั่วคราวเกิดขึ้นในการตอบสนองเนื่องจาก sudden changeในแหล่งที่มาที่ใช้กับวงจรไฟฟ้าและ / หรือเนื่องจากการสลับการกระทำ มีสองการดำเนินการสลับที่เป็นไปได้ สิ่งเหล่านี้คือสวิตช์เปิดและสวิตช์ปิด

  • transient ส่วนจะ not presentในการตอบสนองของวงจรไฟฟ้าหรือเครือข่ายหากมีเพียงความต้านทาน เพราะresistor มีความสามารถในการปรับแรงดันและกระแสไฟฟ้าจำนวนเท่าใดก็ได้

  • transient part occurs ในการตอบสนองของวงจรไฟฟ้าหรือเครือข่ายเนื่องจากมีองค์ประกอบกักเก็บพลังงานเช่น inductor and capacitor. เนื่องจากไม่สามารถเปลี่ยนพลังงานที่เก็บไว้ในองค์ประกอบเหล่านั้นได้ทันที

พฤติกรรมตัวเหนี่ยวนำ

สมมติว่าการดำเนินการสลับเกิดขึ้นที่t = 0Inductor currentไม่เปลี่ยนแปลงทันทีเมื่อมีการดำเนินการสลับ นั่นหมายความว่าค่าของกระแสไฟฟ้าเหนี่ยวนำหลังจากการดำเนินการสวิตชิ่งจะเหมือนกับค่าก่อนการดำเนินการสวิตชิ่ง

ในทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงเป็น

$$i_L (0^+) = i_L (0^-)$$

พฤติกรรมของตัวเก็บประจุ

capacitor voltageไม่เปลี่ยนทันทีคล้ายกับกระแสตัวเหนี่ยวนำเมื่อมีการสลับเกิดขึ้น นั่นหมายความว่าค่าของแรงดันไฟฟ้าของตัวเก็บประจุหลังจากการดำเนินการสวิตชิ่งจะเหมือนกับค่าก่อนการดำเนินการสวิตชิ่ง

ในทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงเป็น

$$v_c (0^+) = v_c (0^-)$$

การตอบสนองต่อสภาวะคงที่

ส่วนของการตอบสนองต่อเวลาที่ยังคงอยู่แม้ว่าการตอบสนองชั่วคราวจะกลายเป็นค่าศูนย์สำหรับค่าขนาดใหญ่ของ 't' เรียกว่า steady state response. ซึ่งหมายความว่าจะไม่มีส่วนใด ๆ ในการตอบสนองระหว่างสภาวะคงที่

พฤติกรรมตัวเหนี่ยวนำ

หากแหล่งจ่ายอิสระเชื่อมต่อกับวงจรไฟฟ้าหรือเครือข่ายที่มีตัวเหนี่ยวนำและตัวต้านทานอย่างน้อยหนึ่งตัว (อุปกรณ์เสริม) เป็นเวลานานวงจรไฟฟ้าหรือเครือข่ายนั้นจะอยู่ในสถานะคงที่ ดังนั้นพลังงานที่เก็บไว้ในตัวเหนี่ยวนำของวงจรไฟฟ้านั้นจึงมีค่าสูงสุดและคงที่

ในทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงเป็น

$W_L = \frac{L {i_L}^2}{2} = $ สูงสุดและคงที่

$\Rightarrow i_L = $ สูงสุดและคงที่

ดังนั้นตัวเหนี่ยวนำจึงทำหน้าที่เป็น constant current source อยู่ในสถานะคงที่

แรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวเหนี่ยวนำจะเป็น

$$V_L = L \frac{di_{L}}{dt} = 0V$$

ดังนั้นตัวเหนี่ยวนำจึงทำหน้าที่เป็น short circuit อยู่ในสถานะคงที่

พฤติกรรมของตัวเก็บประจุ

หากแหล่งจ่ายอิสระเชื่อมต่อกับวงจรไฟฟ้าหรือเครือข่ายที่มีตัวเก็บประจุและตัวต้านทานหนึ่งตัวหรือมากกว่า (อุปกรณ์เสริม) เป็นเวลานานแสดงว่าวงจรไฟฟ้าหรือเครือข่ายนั้นอยู่ในสถานะคงที่ ดังนั้นพลังงานที่เก็บไว้ในตัวเก็บประจุของวงจรไฟฟ้านั้นจึงมีค่าสูงสุดและคงที่

ในทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงเป็น

$W_c = \frac{C{v_c}^2}{2} = $ สูงสุดและคงที่

$\Rightarrow v_c = $สูงสุดและคงที่

ดังนั้นตัวเก็บประจุทำหน้าที่เป็น constant voltage source อยู่ในสถานะคงที่

กระแสที่ไหลผ่านตัวเก็บประจุจะเป็น

$$i_c = C\frac{dv_c}{dt} = 0A$$

ดังนั้นตัวเก็บประจุจึงทำหน้าที่เป็น open circuit อยู่ในสถานะคงที่

การค้นหาการตอบสนองของวงจร Series RL

พิจารณาสิ่งต่อไปนี้ series RL circuit แผนภาพ

ในวงจรข้างต้นไฟล์ switch ถูกเก็บไว้ openสูงถึง t = 0 และปิดที่ t = 0 ดังนั้นแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้ากระแสตรงที่มีโวลต์โวลต์จะไม่เชื่อมต่อกับวงจรซีรีส์ RL จนถึงช่วงเวลานี้ ดังนั้นจึงมีno initial current ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำ

แผนภาพวงจรเมื่อ switch อยู่ใน closed ตำแหน่งจะแสดงในรูปต่อไปนี้

ตอนนี้กระแส i ไหลในวงจรทั้งหมดเนื่องจากแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้ากระแสตรงมี V โวลต์เชื่อมต่อกับวงจรซีรีส์ RL

ตอนนี้สมัคร KVL รอบวง

$$V = Ri + L \frac{di}{dt}$$

$\frac{di}{dt} + \lgroup \frac{R}{L} \rgroup i = \frac{V}{L}$Equation 1

สมการข้างต้นเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งและอยู่ในรูปของ

$\frac{dy}{dt} + Py = Q$Equation 2

โดย comparing สมการ 1 และสมการ 2 เราจะได้ความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้

$$x = t$$

$$y = i$$

$$P = \frac{R}{L}$$

$$Q = \frac{V}{L}$$

solution ของสมการ 2 จะเป็น

$ye^{\int p dx} = \int Q e^{\int p dx} dx + k$Equation 3

ที่ไหน k คือค่าคงที่

แทนค่าของ x, y, P & Q ในสมการ 3

$ie^{\int {\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}dt} = \int (\frac{V}{L}) \lgroup e^{\int {\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}dt} \rgroup dt + k$

$\Rightarrow ie^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} = \frac{V}{L} \int e^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} dt + k$

$\Rightarrow ie^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} = \frac{V}{L} \lbrace \frac{e^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}t}{\frac{R}{L}} \rbrace + k$

$\Rightarrow i = \frac{V}{R} + k e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}t$Equation 4

เรารู้ว่าไม่มีกระแสไฟฟ้าเริ่มต้นในวงจร ดังนั้นแทนที่t = 0 และ = 0 ในสมการ 4 เพื่อหาค่าของค่าคงที่ k.

$$0 = \frac{V}{R} + ke^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup(0)}$$

$$0 = \frac{V}{R} + k(1)$$

$$k = - \frac{V}{R}$$

แทนค่าของ k ในสมการ 4

$$i = \frac{V}{R} + \lgroup - \frac{V}{R} \rgroup e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$$

$$i = \frac{V}{R} - \frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$$

ดังนั้นไฟล์ current ไหลผ่านวงจรคือ

$i = - \frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} + \frac{V}{R}$Equation 5

ดังนั้นการตอบสนองของวงจรซีรีส์ RL เมื่อมันถูกกระตุ้นด้วยแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้ากระแสตรงจึงมีสองคำต่อไปนี้

  • เทอมแรก $-\frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$ สอดคล้องกับ transient response.

  • เทอมที่สอง $\frac{V}{R}$ สอดคล้องกับ steady state response. คำตอบทั้งสองนี้แสดงในรูปต่อไปนี้

เราสามารถเขียนสมการ 5 ใหม่ได้ดังนี้ -

$i = \frac{V}{R} \lgroup 1 - e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} \rgroup$

$\Rightarrow i = \frac{V}{R} \lgroup 1 - e^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} \rgroup$Equation 6

ที่ไหน τ คือ time constant และค่าของมันเท่ากับ $\frac{L}{R}$.

ทั้งสมการ 5 และสมการ 6 เหมือนกัน แต่เราสามารถเข้าใจรูปคลื่นข้างต้นของกระแสที่ไหลผ่านวงจรจากสมการที่ 6 ได้โดยการแทนที่ค่าสองสามค่าของt เช่น 0, τ, 2τ, 5τเป็นต้น

ในรูปคลื่นข้างต้นของกระแสที่ไหลผ่านวงจรการตอบสนองชั่วคราวจะแสดงค่าคงที่ของเวลาได้สูงสุดห้าค่าจากศูนย์ในขณะที่การตอบสนองสภาวะคงที่จะแสดงตั้งแต่ค่าคงที่ห้าเวลาเป็นต้นไป

ในบทที่แล้วเราได้กล่าวถึงการตอบสนองชั่วคราวและการตอบสนองต่อสภาวะคงที่ของวงจร DC ในบทนี้ให้เราพูดถึงไฟล์response of AC circuit. แนวคิดของการตอบสนองชั่วคราวและการตอบสนองต่อสภาวะคงที่ซึ่งเราได้กล่าวถึงในบทก่อนหน้านี้จะมีประโยชน์เช่นกัน

การค้นหาการตอบสนองของวงจร Series RL

พิจารณาสิ่งต่อไปนี้ series RL circuit แผนภาพ

ในวงจรข้างต้นไฟล์ switch ถูกเก็บไว้ openถึงt = 0และมันก็ปิดที่t = 0 ดังนั้นแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้ากระแสสลับที่มีแรงดันไฟฟ้าสูงสุดV mโวลต์จึงไม่ได้เชื่อมต่อกับวงจรซีรีส์ RL จนถึงช่วงนี้ ดังนั้นจึงมีno initial current ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำ

แผนภาพวงจรเมื่อ switch อยู่ใน closed ตำแหน่งดังแสดงในรูปต่อไปนี้

ตอนนี้กระแสi (t)ไหลในวงจรทั้งหมดเนื่องจากแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้ากระแสสลับที่มีแรงดันไฟฟ้าสูงสุดV mโวลต์เชื่อมต่อกับวงจรซีรีส์ RL

เรารู้ว่ากระแสi (t) ที่ไหลผ่านวงจรข้างต้นจะมีสองพจน์คำหนึ่งที่แสดงถึงส่วนชั่วคราวและคำอื่น ๆ แสดงถึงสถานะคงที่

ในทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงเป็น

$i(t) = i_{Tr}(t) + i_{ss}(t)$Equation 1

ที่ไหน

  • $i_{Tr}(t)$ คือการตอบสนองชั่วคราวของกระแสที่ไหลผ่านวงจร

  • $i_{ss}(t)$ คือการตอบสนองสภาวะคงที่ของกระแสที่ไหลผ่านวงจร

ในบทที่แล้วเราได้รับการตอบสนองชั่วคราวของกระแสที่ไหลผ่านวงจรซีรีส์ RL มันอยู่ในรูปแบบของ$Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup}$.

ทดแทน $i_{Tr}(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup}$ ในสมการที่ 1

$i(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + i_{ss}(t)$Equation 2

การคำนวณสถานะคงที่ในปัจจุบัน

หากสัญญาณไซน์ถูกนำไปใช้เป็นอินพุตให้กับวงจรไฟฟ้าเชิงเส้นมันจะสร้างเอาต์พุตที่คงที่ซึ่งก็คือ sinusoidal signal. ทั้งสัญญาณไซน์อินพุทและเอาท์พุทจะมีความถี่เท่ากัน แต่แอมพลิจูดและมุมเฟสต่างกัน

เราสามารถคำนวณการตอบสนองสถานะคงที่ของวงจรไฟฟ้าเมื่อมันถูกกระตุ้นด้วยแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าแบบไซน์โดยใช้ Laplace Transform approach.

แผนภาพวงจร s-domain เมื่อ switch อยู่ใน closed ตำแหน่งดังแสดงในรูปต่อไปนี้

ในวงจรข้างต้นปริมาณและพารามิเตอร์ทั้งหมดจะแสดงเป็น s-domain. นี่คือการแปลง Laplace ของปริมาณและพารามิเตอร์โดเมนเวลา

Transfer function ของวงจรข้างต้นคือ

$$H(s) = \frac{I(s)}{V(s)}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{Z(s)}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{R + sL}$$

ทดแทน $s = j \omega$ ในสมการข้างต้น

$$H(j \omega) = \frac{1}{R + j \omega L}$$

Magnitude of $\mathbf{\mathit{H(j \omega)}}$ คือ

$$|H(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt{R^2 + {\omega}^2}L^2}$$

Phase angle of $\mathbf{\mathit{H(j \omega)}}$ คือ

$$\angle H(j \omega) = -tan^{-1} \lgroup \frac{\omega L}{R} \rgroup$$

เราจะได้รับไฟล์ steady state current $i_{ss}(t)$ โดยทำสองขั้นตอนต่อไปนี้ -

  • คูณแรงดันไฟฟ้าสูงสุดของแรงดันไฟฟ้าไซน์อินพุทและขนาดของ $H(j \omega)$.

  • เพิ่มมุมเฟสของแรงดันไฟฟ้าไซน์อินพุทและ $H(j \omega)$.

steady state current $i_{ss}(t)$ จะ

$$i_{ss}(t) = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

แทนค่าของ $i_{ss}(t)$ ในสมการ 2.

$i(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$Equation 3

เรารู้ว่าไม่มีกระแสไฟฟ้าเริ่มต้นในวงจร ดังนั้นแทนที่t = 0 & i (t) = 0ในสมการ 3 เพื่อหาค่าของค่าคงที่ K

$$0 = Ke^{-\lgroup \frac{0}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega (0) + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

$$\Rightarrow 0 = K + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

$$\Rightarrow K = - \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

แทนค่าของKในสมการ 3

$i(t) = - \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup e^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$Equation 4

สมการที่ 4 แสดงถึงกระแสที่ไหลผ่านวงจรอนุกรม RL เมื่อมันถูกกระตุ้นด้วยแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าแบบไซน์ มันมีสองเทอม คำศัพท์ที่หนึ่งและสองแสดงถึงการตอบสนองชั่วคราวและการตอบสนองต่อสภาวะคงที่ของกระแสตามลำดับ

เราทำได้ neglect the first termของสมการ 4 เนื่องจากค่าของมันจะน้อยกว่าหนึ่งมาก ดังนั้นกระแสผลลัพธ์ที่ไหลผ่านวงจรจะเป็น

$$i(t) = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

มันมีเฉพาะไฟล์ steady state term. ดังนั้นเราจึงพบได้เฉพาะการตอบสนองต่อสภาวะคงที่ของวงจรไฟฟ้ากระแสสลับและละเลยการตอบสนองชั่วคราวของมัน

Resonanceเกิดขึ้นในวงจรไฟฟ้าเนื่องจากมีองค์ประกอบกักเก็บพลังงานเช่นตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ เป็นแนวคิดพื้นฐานที่เครื่องรับวิทยุและโทรทัศน์ได้รับการออกแบบให้สามารถเลือกเฉพาะความถี่สถานีที่ต้องการได้

มี two typesของเสียงสะท้อน ได้แก่ การสั่นพ้องแบบอนุกรมและการสั่นพ้องแบบขนาน สิ่งเหล่านี้ถูกจัดประเภทตามองค์ประกอบเครือข่ายที่เชื่อมต่อแบบอนุกรมหรือแบบขนาน ในบทนี้ให้เราพูดคุยเกี่ยวกับการสั่นพ้องของอนุกรม

แผนภาพวงจรเรโซแนนซ์แบบอนุกรม

หากการสั่นพ้องเกิดขึ้นในวงจรอนุกรม RLC จะเรียกว่าเป็น Series Resonance. พิจารณาสิ่งต่อไปนี้series RLC circuitซึ่งแสดงในโดเมนเฟสเซอร์

ที่นี่องค์ประกอบแบบพาสซีฟเช่นตัวต้านทานตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุจะเชื่อมต่อเป็นอนุกรม ชุดค่าผสมทั้งหมดนี้อยู่ในseries ด้วยแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าไซน์อินพุท

สมัคร KVL รอบวง

$$V - V_R - V_L - V_C = 0$$

$$\Rightarrow V - IR - I(j X_L) - I(-j X_C) = 0$$

$$\Rightarrow V = IR + I(j X_L) + I(-j X_C)$$

$\Rightarrow V = I[R + j(X_L - X_C)]$Equation 1

สมการข้างต้นอยู่ในรูปของ V = IZ.

ดังนั้นไฟล์ impedance Z ของวงจรซีรีย์ RLC จะเป็น

$$Z = R + j(X_L - X_C)$$

พารามิเตอร์และปริมาณไฟฟ้าที่เรโซแนนซ์

ตอนนี้ให้เราหาค่าของพารามิเตอร์และปริมาณทางไฟฟ้าที่การสั่นพ้องของวงจรอนุกรม RLC ทีละตัว

ความถี่เรโซแนนซ์

ความถี่ที่เกิดการสั่นพ้องเรียกว่าเป็น resonant frequency fr. ในวงจรเรโซแนนซ์ของวงจร RLC แบบอนุกรมเกิดขึ้นเมื่อระยะจินตภาพของอิมพีแดนซ์Zเป็นศูนย์นั่นคือค่าของ$X_L - X_C$ ควรจะเท่ากับศูนย์

$$\Rightarrow X_L = X_C$$

ทดแทน $X_L = 2 \pi f L$ และ $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ ในสมการข้างต้น

$$2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$$

$$\Rightarrow f^2 = \frac{1}{(2 \pi)^2 L C}$$

$$\Rightarrow f = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$

ดังนั้นไฟล์ resonant frequency fr ของวงจรซีรีย์ RLC คือ

$$f_r = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$

ที่ไหน L คือการเหนี่ยวนำของตัวเหนี่ยวนำและ C คือความจุของตัวเก็บประจุ

resonant frequency fr ของวงจร RLC แบบอนุกรมขึ้นอยู่กับความเหนี่ยวนำเท่านั้น L และความจุ C. แต่เป็นอิสระจากการต่อต้านR.

ความต้านทาน

เราได้ไฟล์ impedance Z ของวงจรซีรีย์ RLC เป็น

$$Z = R + j(X_L - X_C)$$

ทดแทน $X_L = X_C$ ในสมการข้างต้น

$$Z = R + j(X_C - X_C)$$

$$\Rightarrow Z = R + j(0)$$

$$\Rightarrow Z = R$$

ที่เสียงสะท้อน impedance Z ของวงจรซีรีย์ RLC เท่ากับค่าความต้านทาน Rกล่าวคือ Z = R.

กระแสที่ไหลผ่านวงจร

ทดแทน $X_L - X_C = 0$ ในสมการที่ 1

$$V = I[R + j(0)]$$

$$\Rightarrow V = IR$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$$

ดังนั้น, current ไหลผ่านวงจรซีรีส์ RLC ที่เรโซแนนซ์คือ $\mathbf{\mathit{I = \frac{V}{R}}}$.

ที่การสั่นพ้องความต้านทานของวงจรซีรีส์ RLC ถึงค่าต่ำสุด ดังนั้นmaximum current ไหลผ่านวงจรนี้ด้วยการสั่นพ้อง

แรงดันไฟฟ้าข้ามตัวต้านทาน

แรงดันไฟฟ้าข้ามตัวต้านทานคือ

$$V_R = IR$$

แทนค่าของ I ในสมการข้างต้น

$$V_R = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup R$$

$$\Rightarrow V_R = V$$

ดังนั้นไฟล์ voltage across resistor ที่เรโซแนนซ์คือ VR = V.

แรงดันไฟฟ้าทั่วตัวเหนี่ยวนำ

แรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวเหนี่ยวนำคือ

$$V_L = I(jX_L)$$

แทนค่าของ I ในสมการข้างต้น

$$V_L = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup (jX_L)$$

$$\Rightarrow V_L = j \lgroup \frac{X_L}{R} \rgroup V$$

$$\Rightarrow V_L = j QV$$

ดังนั้นไฟล์ voltage across inductor ที่เรโซแนนซ์คือ $V_L = j QV$.

ดังนั้น magnitude ของแรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวเหนี่ยวนำที่เรโซแนนซ์จะเป็น

$$|V_L| = QV$$

ที่ไหน Q คือ Quality factor และค่าของมันเท่ากับ $\frac{X_L}{R}$

แรงดันไฟฟ้าข้าม Capacitor

แรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวเก็บประจุคือ

$$V_C = I(-j X_C)$$

แทนค่าของIในสมการด้านบน

$$V_C = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup (-j X_C)$$

$$\Rightarrow V_C = -j \lgroup \frac{X_C}{R} \rgroup V$$

$$\Rightarrow V_C = -jQV$$

ดังนั้นไฟล์ voltage across capacitor ที่เรโซแนนซ์คือ $\mathbf{\mathit{V_C = -jQV}}$.

ดังนั้น magnitude ของแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุที่เรโซแนนซ์จะเป็น

$$|V_C| = QV$$

ที่ไหน Q คือ Quality factor และค่าของมันเท่ากับ $\frac{X_{C}}{R}$

Note - วงจร RLC เรโซแนนซ์แบบอนุกรมเรียกว่าเป็น voltage magnificationวงจรเพราะขนาดของแรงดันไฟฟ้าทั่วเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุเท่ากับQครั้งอินพุตซายน์แรงดันV

ในบทที่แล้วเราได้กล่าวถึงความสำคัญของการสั่นพ้องของอนุกรม ตอนนี้ให้เราคุยเรื่องการสั่นพ้องแบบขนานในวงจร RLC

แผนภาพวงจรเรโซแนนซ์แบบขนาน

หากการสั่นพ้องเกิดขึ้นในวงจร RLC แบบขนานจะเรียกว่า as Parallel Resonance. พิจารณาสิ่งต่อไปนี้parallel RLC circuitซึ่งแสดงในโดเมนเฟสเซอร์

ที่นี่องค์ประกอบแบบพาสซีฟเช่นตัวต้านทานตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุจะเชื่อมต่อแบบขนาน ชุดค่าผสมทั้งหมดนี้อยู่ในparallel ด้วยแหล่งกระแสไซน์อินพุท

เขียน nodal equation ที่โหนดพี

$$- I + I_R + I_L + I_C = 0$$

$$\Rightarrow - I + \frac{V}{R} + \frac{V}{j X_L} + \frac{V}{-j X_C} = 0$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R} - \frac{jV}{X_L} + \frac{jV}{X_C}$$

$\Rightarrow I = V[\frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup]$Equation 1

สมการข้างต้นอยู่ในรูปของ I = VY.

ดังนั้นไฟล์ admittance Y ของวงจร RLC แบบขนานจะเป็น

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup$$

พารามิเตอร์และปริมาณไฟฟ้าที่เรโซแนนซ์

ตอนนี้ให้เราหาค่าของพารามิเตอร์และปริมาณไฟฟ้าที่การสั่นพ้องของวงจร RLC แบบขนานทีละตัว

ความถี่เรโซแนนซ์

เรารู้ว่า resonant frequency, frคือความถี่ที่เกิดการสั่นพ้อง ในวงจรเรโซแนนซ์แบบขนาน RLC เกิดขึ้นเมื่อระยะจินตภาพของการอนุญาติ Y เป็นศูนย์ กล่าวคือค่าของ$\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L}$ ควรจะเท่ากับศูนย์

$$\Rightarrow \frac{1}{X_C} = \frac{1}{X_L}$$

$$\Rightarrow X_L = X_C$$

สภาพเรโซแนนซ์ข้างต้นเหมือนกับของวงจรซีรีส์ RLC ดังนั้นresonant frequency, fr จะเหมือนกันในวงจร RLC ทั้งสองชุดและวงจร RLC แบบขนาน

ดังนั้นไฟล์ resonant frequency, fr ของวงจร RLC แบบขนานคือ

$$f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$$

ที่ไหน

  • L คือการเหนี่ยวนำของตัวเหนี่ยวนำ
  • C คือความจุของตัวเก็บประจุ

resonant frequency, fr ของวงจร RLC แบบขนานขึ้นอยู่กับความเหนี่ยวนำเท่านั้น L และความจุ C. แต่เป็นอิสระจากการต่อต้านR.

การรับเข้า

เราได้ไฟล์ admittance Y ของวงจร RLC แบบขนานเป็น

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup$$

ทดแทน $X_L = X_C$ ในสมการข้างต้น

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_C} \rgroup$$

$$\Rightarrow Y = \frac{1}{R} + j(0)$$

$$\Rightarrow Y = \frac{1}{R}$$

ที่เสียงสะท้อน admittance, Y ของวงจร RLC แบบขนานเท่ากับส่วนกลับของความต้านทาน, R คือ, $\mathbf{\mathit{Y = \frac{1}{R}}}$

แรงดันไฟฟ้าในแต่ละองค์ประกอบ

ทดแทน $\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} = 0$ ในสมการที่ 1

$$I = V [\frac{1}{R} + j(0)]$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$$

$$\Rightarrow V = IR$$

ดังนั้นไฟล์ voltage ในทุกองค์ประกอบของวงจร RLC แบบขนานที่เรโซแนนซ์คือ V = IR.

ที่การสั่นพ้องการยอมรับของวงจร RLC แบบขนานจะถึงค่าต่ำสุด ดังนั้นmaximum voltage มีอยู่ในแต่ละองค์ประกอบของวงจรนี้ที่เรโซแนนซ์

กระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน

กระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทานคือ

$$I_R = \frac{V}{R}$$

แทนค่าของ V ในสมการข้างต้น

$$I_R = \frac{IR}{R}$$

$$\Rightarrow I_R = I$$

ดังนั้นไฟล์ current flowing through resistor ที่เรโซแนนซ์คือ $\mathbf{\mathit{I_R = I}}$.

กระแสที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำ

กระแสที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำคือ

$$I_L = \frac{V}{j X_L}$$

แทนค่าของ V ในสมการข้างต้น

$$I_L = \frac{IR}{j X_L}$$

$$\Rightarrow I_L = -j \lgroup \frac{R}{X_L} \rgroup I$$

$$\Rightarrow I_L = -jQI$$

ดังนั้นไฟล์ current flowing through inductor ที่เรโซแนนซ์คือ $I_L = -jQI$.

ดังนั้น magnitude ของกระแสที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำที่เรโซแนนซ์จะเป็น

$$|I_L| = QI$$

โดยที่ Q คือ Quality factor และค่าของมันเท่ากับ $\frac{R}{X_L}$

กระแสที่ไหลผ่าน Capacitor

กระแสที่ไหลผ่านตัวเก็บประจุคือ

$$I_C = \frac{V}{-j X_C}$$

แทนค่าของ V ในสมการข้างต้น

$$I_C = \frac{IR}{-j X_C}$$

$$\Rightarrow I_C = j \lgroup \frac{R}{X_C} \rgroup I$$

$$\Rightarrow I_C = jQI$$

ดังนั้นไฟล์ current flowing through capacitor ที่เรโซแนนซ์คือ $I_C = jQI$

ดังนั้น magnitude ของกระแสที่ไหลผ่านตัวเก็บประจุที่เรโซแนนซ์จะเป็น

$$|I_C| = QI$$

โดยที่ Q คือ Quality factor และค่าของมันเท่ากับ $\frac{R}{X_C}$

Note - วงจร RLC เรโซแนนซ์ขนานเรียกว่าเป็น current magnificationวงจร. เพราะขนาดของกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุเท่ากับQครั้งอินพุตไซน์ปัจจุบันฉัน

กล่าวกันว่าวงจรไฟฟ้าเป็น coupled circuitเมื่อมีการเหนี่ยวนำร่วมกันระหว่างขดลวด (หรือตัวเหนี่ยวนำ) อยู่ในวงจรนั้น คอยล์ไม่ใช่อะไรนอกจากการรวมอนุกรมของตัวต้านทานและตัวเหนี่ยวนำ ในกรณีที่ไม่มีตัวต้านทานขดลวดจะกลายเป็นตัวเหนี่ยวนำ บางครั้งคำว่าขดลวดและตัวเหนี่ยวนำจะใช้แทนกันได้

ในบทนี้ก่อนอื่นให้เราหารือเกี่ยวกับอนุสัญญาจุดจากนั้นจะกล่าวถึงการจำแนกประเภทของการมีเพศสัมพันธ์

ดอทคอนเวนชั่น

Dot convention เป็นเทคนิคที่ให้รายละเอียดเกี่ยวกับขั้วแรงดันไฟฟ้าที่ขั้วประ ข้อมูลนี้มีประโยชน์ขณะเขียนสมการ KVL

  • หากกระแสไฟฟ้าเข้าที่ขั้วประของขดลวดหนึ่ง (หรือตัวเหนี่ยวนำ) ก็จะทำให้เกิดแรงดันไฟฟ้าที่ขดลวดอื่น (หรือตัวเหนี่ยวนำ) ซึ่งมี positive polarity ที่ขั้วประ

  • หากกระแสออกจากขั้วประของขดลวดหนึ่ง (หรือตัวเหนี่ยวนำ) ก็จะทำให้เกิดแรงดันไฟฟ้าที่ขดลวดอื่น (หรือตัวเหนี่ยวนำ) ซึ่งมี negative polarity ที่ขั้วประ

การจำแนกประเภทของ Coupling

เราสามารถแบ่งประเภท coupling แบ่งออกเป็นสองประเภทต่อไปนี้

  • ข้อต่อไฟฟ้า
  • ข้อต่อแม่เหล็ก

ตอนนี้ให้เราพูดคุยเกี่ยวกับการมีเพศสัมพันธ์แต่ละประเภททีละประเภท

ข้อต่อไฟฟ้า

การมีเพศสัมพันธ์ทางไฟฟ้าเกิดขึ้นเมื่อมี physical connectionระหว่างสองขดลวด (หรือตัวเหนี่ยวนำ) การมีเพศสัมพันธ์นี้สามารถเป็นได้ทั้งประเภทช่วยเหลือหรือประเภทตรงข้าม ขึ้นอยู่กับว่ากระแสไฟฟ้าเข้าที่ขั้วประหรือออกจากขั้วประ

การเชื่อมต่อประเภทการช่วยเหลือ

พิจารณาวงจรไฟฟ้าต่อไปนี้ซึ่งมีตัวเหนี่ยวนำสองตัวที่เชื่อมต่ออยู่ series.

เนื่องจากตัวเหนี่ยวนำทั้งสองเชื่อมต่อกันเป็นอนุกรมจึงทำให้ same current Iไหลผ่านทั้ง inductors มี inductances ตนเอง L 1และ L 2

ในกรณีนี้กระแสไฟฟ้าฉันป้อนที่ขั้วประของตัวเหนี่ยวนำแต่ละตัว ดังนั้นแรงดันไฟฟ้าเหนี่ยวนำในตัวเหนี่ยวนำแต่ละตัวจะมีpositive polarity ที่ขั้วประเนื่องจากกระแสไหลในขดลวดอื่น

สมัคร KVL รอบวงของวงจรไฟฟ้าหรือเครือข่ายด้านบน

$$V - L_1 \frac{dI}{dt} - M \frac{dI}{dt} - L_2 \frac{dI}{dt} - M \frac{dI}{dt} = 0$$

$$V = L_1 \frac{dI}{dt} + L_2 \frac{dI}{dt} + 2M \frac{dI}{dt}$$

$$V = (L_1 + L_2 + 2M)\frac{dI}{dt}$$

สมการข้างต้นอยู่ในรูปของ $\mathbf{\mathit{V = L_{Eq} \frac{dI}{dt}}}$

ดังนั้นไฟล์ equivalent inductance การรวมอนุกรมของตัวเหนี่ยวนำที่แสดงในรูปด้านบนคือ

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 + 2M$$

ในกรณีนี้ค่าความเหนี่ยวนำเทียบเท่าจะเพิ่มขึ้น 2M ดังนั้นวงจรไฟฟ้าข้างต้นจึงเป็นตัวอย่างของelectrical coupling ซึ่งเป็นของ aiding ประเภท.

การเชื่อมต่อประเภทการต่อต้าน

พิจารณาวงจรไฟฟ้าต่อไปนี้ซึ่งมีตัวเหนี่ยวนำสองตัวที่เชื่อมต่ออยู่ series.

ในวงจรข้างต้นกระแสไฟฟ้า I เข้าสู่ขั้วประของตัวเหนี่ยวนำที่มีการเหนี่ยวนำ L1. ดังนั้นจึงทำให้เกิดแรงดันไฟฟ้าในตัวเหนี่ยวนำอื่นที่มีการเหนี่ยวนำL2. ดังนั้น,positive polarity ของแรงดันไฟฟ้าเหนี่ยวนำมีอยู่ที่ขั้วประของตัวเหนี่ยวนำนี้

ในวงจรข้างต้นกระแสไฟฟ้า I ออกจากขั้วประของตัวเหนี่ยวนำที่มีการเหนี่ยวนำของ L2. ดังนั้นจึงทำให้เกิดแรงดันไฟฟ้าในตัวเหนี่ยวนำอื่นที่มีการเหนี่ยวนำL1. ดังนั้น,negative polarity ของแรงดันไฟฟ้าเหนี่ยวนำมีอยู่ที่ขั้วประของตัวเหนี่ยวนำนี้

สมัคร KVL รอบวงของวงจรไฟฟ้าหรือเครือข่ายด้านบน

$$V - L_1 \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt} - L_2 \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt} = 0$$

$$\Rightarrow V = L_1 \frac{dI}{dt} + L_2 \frac{dI}{dt} - 2M \frac{dI}{dt}$$

$$\Rightarrow V = (L_1 + L_2 - 2M)\frac{dI}{dt}$$

สมการข้างต้นอยู่ในรูปของ $\mathbf{\mathit{V = L_{Eq} \frac{dI}{dt}}}$

ดังนั้นไฟล์ equivalent inductance การรวมอนุกรมของตัวเหนี่ยวนำที่แสดงในรูปด้านบนคือ

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 - 2M$$

ในกรณีนี้ค่าความเหนี่ยวนำที่เท่ากันจะลดลง 2M ดังนั้นวงจรไฟฟ้าข้างต้นจึงเป็นตัวอย่างของelectrical coupling ซึ่งเป็นของ opposing ประเภท.

ข้อต่อแม่เหล็ก

การมีเพศสัมพันธ์แม่เหล็กเกิดขึ้นเมื่อมี no physical connectionระหว่างสองขดลวด (หรือตัวเหนี่ยวนำ) การมีเพศสัมพันธ์นี้สามารถเป็นได้ทั้งประเภทช่วยเหลือหรือประเภทตรงข้าม ขึ้นอยู่กับว่ากระแสไฟฟ้าเข้าที่ขั้วประหรือออกจากขั้วประ

การเชื่อมต่อประเภทการช่วยเหลือ

พิจารณาคุณสมบัติทางไฟฟ้าต่อไปนี้ circuit of transformer. มีขดลวดสองขดและเรียกว่าขดลวดปฐมภูมิและทุติยภูมิ

กระแสที่ไหลผ่านขดลวดปฐมภูมิและทุติยภูมิคือ i 1และ i 2ตามลำดับ ในกรณีนี้กระแสเหล่านี้enterที่ขั้วประของขดลวดตามลำดับ ดังนั้นแรงดันไฟฟ้าเหนี่ยวนำในแต่ละขดลวดจะมีขั้วบวกที่ขั้วประเนื่องจากกระแสไฟฟ้าไหลในขดลวดอื่น

สมัคร KVL รอบขดลวดปฐมภูมิ

$$v_1 - L_1 \frac{d i_1}{dt} - M \frac{d i_2}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_1 = L_1 \frac{d i_1}{dt} + M \frac{d i_2}{dt}$Equation 1

สมัคร KVL รอบขดลวดทุติยภูมิ

$$v_2 - L_2 \frac{d i_2}{dt} - M \frac{d i_1}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_2 = L_2 \frac{d i_2}{dt} + M \frac{d i_1}{dt}$Equation 2

ในสมการที่ 1 และสมการ 2 แรงดันไฟฟ้าที่เหนี่ยวนำตัวเองและแรงดันไฟฟ้าที่เหนี่ยวนำร่วมกันมีขั้วเดียวกัน ดังนั้นวงจรหม้อแปลงข้างต้นจึงเป็นตัวอย่างของmagnetic couplingซึ่งเป็นของ aiding ประเภท.

การเชื่อมต่อประเภทการต่อต้าน

พิจารณาคุณสมบัติทางไฟฟ้าต่อไปนี้ circuit of transformer.

กระแสที่ไหลผ่านขดลวดปฐมภูมิและทุติยภูมิคือ i 1และ i 2ตามลำดับ ในกรณีนี้กระแส i 1 จะเข้าที่ขั้วประของขดลวดปฐมภูมิ ดังนั้นจึงทำให้เกิดแรงดันไฟฟ้าในขดลวดทุติยภูมิ ดังนั้น,positive polarity ของแรงดันไฟฟ้าเหนี่ยวนำมีอยู่ที่ขั้วประของขดลวดทุติยภูมินี้

ในวงจรด้านบนกระแส i 2ออกจากขั้วประของขดลวดทุติยภูมิ ดังนั้นจึงทำให้เกิดแรงดันไฟฟ้าในขดลวดปฐมภูมิ ดังนั้น,negative polarity ของแรงดันไฟฟ้าเหนี่ยวนำมีอยู่ที่ขั้วประของขดลวดปฐมภูมินี้

สมัคร KVL รอบขดลวดปฐมภูมิ

$$v_1 - L_1 \frac{d i_1}{dt} + M \frac{d i_2}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_1 = L_1 \frac{d i_1}{dt} - M \frac{d i_2}{dt}$Equation 3

สมัคร KVL รอบขดลวดทุติยภูมิ

$$v_2 - L_2 \frac{d i_2}{dt} + M \frac{d i_1}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_2 = L_2 \frac{d i_2}{dt} - M \frac{d i_1}{dt}$Equation 4

ในสมการ 3 และสมการ 4 แรงดันไฟฟ้าที่เหนี่ยวนำตัวเองและแรงดันไฟฟ้าที่เหนี่ยวนำร่วมกันจะมีขั้วตรงข้ามกัน ดังนั้นวงจรหม้อแปลงข้างต้นจึงเป็นตัวอย่างของmagnetic couplingซึ่งเป็นของ opposing ประเภท.

โดยทั่วไปแล้วการวิเคราะห์เครือข่ายไฟฟ้าใด ๆ เป็นเรื่องง่ายหากแสดงด้วยโมเดลที่เทียบเท่าซึ่งให้ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอินพุตและเอาต์พุต สำหรับสิ่งนี้เราสามารถใช้two port networkการเป็นตัวแทน ตามชื่อที่แนะนำเครือข่ายสองพอร์ตมีสองพอร์ต พอร์ตหนึ่งใช้เป็นพอร์ตอินพุตและอีกพอร์ตหนึ่งใช้เป็นพอร์ตเอาต์พุต พอร์ตแรกและพอร์ตที่สองเรียกว่าพอร์ต 1 และพอร์ต 2 ตามลำดับ

One port networkเป็นเครือข่ายไฟฟ้าสองขั้วซึ่งกระแสจะไหลผ่านขั้วหนึ่งและออกจากขั้วอื่น ตัวต้านทานตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุเป็นตัวอย่างของเครือข่ายพอร์ตหนึ่งเนื่องจากแต่ละพอร์ตมีขั้วสองขั้ว การแสดงเครือข่ายพอร์ตหนึ่งพอร์ตจะแสดงในรูปต่อไปนี้

ที่นี่คู่ของเทอร์มินัล 1 & 1 'แสดงถึงพอร์ต ในกรณีนี้เรามีเพียงพอร์ตเดียวเนื่องจากเป็นเครือข่ายพอร์ตเดียว

ในทำนองเดียวกัน two port networkคือคู่ของเครือข่ายไฟฟ้าสองขั้วซึ่งกระแสจะไหลผ่านขั้วหนึ่งและออกจากขั้วอื่นของแต่ละพอร์ต การแสดงเครือข่ายพอร์ตสองพอร์ตจะแสดงในรูปต่อไปนี้

ในที่นี้เทอร์มินัลหนึ่งคู่ 1 & 1 'แทนพอร์ตหนึ่งพอร์ตซึ่งเรียกว่า port1 และอีกคู่ของเทอร์มินัล 2 & 2 'หมายถึงพอร์ตอื่นซึ่งเรียกว่าเป็น port2.

มี four variablesV 1 , V 2 , I 1และ I 2ในเครือข่ายสองพอร์ตดังแสดงในรูป จากนั้นเราสามารถเลือกตัวแปรสองตัวเป็นอิสระและอีกสองตัวแปรตาม เราจะได้สมการที่เป็นไปได้หกคู่ สมการเหล่านี้แสดงถึงตัวแปรตามในรูปของตัวแปรอิสระ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรอิสระเรียกว่าparameters. ดังนั้นสมการแต่ละคู่จะให้พารามิเตอร์สี่ชุด

พารามิเตอร์เครือข่ายสองพอร์ต

พารามิเตอร์ของเครือข่ายสองพอร์ตถูกเรียกว่า two port network parametersหรือเพียงแค่พารามิเตอร์สองพอร์ต ต่อไปนี้เป็นประเภทของพารามิเตอร์เครือข่ายพอร์ตสองพอร์ต

  • พารามิเตอร์ Z
  • พารามิเตอร์ Y
  • T พารามิเตอร์
  • T 'พารามิเตอร์
  • h-parameters
  • g-parameters

ตอนนี้ให้เราพูดคุยเกี่ยวกับพารามิเตอร์เครือข่ายพอร์ตทั้งสองนี้ทีละตัว

พารามิเตอร์ Z

เราจะได้ชุดของสองสมการต่อไปนี้โดยพิจารณาตัวแปร V 1 & V 2ตามและ I 1 & I 2เป็นอิสระ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรอิสระ I 1และ I 2เรียกว่าเป็นZ parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

Z parameters คือ

$$Z_{11} = \frac{V_1}{I_1}, \: when \: I_2 = 0$$

$$Z_{12} = \frac{V_1}{I_2}, \: when \: I_1 = 0$$

$$Z_{21} = \frac{V_2}{I_1}, \: when \: I_2 = 0$$

$$Z_{22} = \frac{V_2}{I_2}, \: when \: I_1 = 0$$

พารามิเตอร์ Z เรียกว่าเป็น impedance parametersเพราะนี่เป็นเพียงอัตราส่วนของแรงดันไฟฟ้าและกระแส หน่วยของพารามิเตอร์ Z คือโอห์ม (Ω)

เราสามารถคำนวณพารามิเตอร์ Z สองตัวคือ Z 11และ Z 21โดยทำวงจรเปิดของพอร์ต 2 ในทำนองเดียวกันเราสามารถคำนวณพารามิเตอร์ Z อีกสองตัวคือ Z 12และ Z 22โดยทำวงจรเปิดของพอร์ต 1 ดังนั้นพารามิเตอร์ Z จึงเรียกอีกอย่างว่าopen-circuit impedance parameters.

พารามิเตอร์ Y

เราจะได้ชุดของสองสมการต่อไปนี้โดยพิจารณาตัวแปร I 1 & I 2ตามและ V 1 & V 2เป็นอิสระ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรอิสระ V 1และ V 2เรียกว่าเป็นY parameters.

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

Y parameters คือ

$$Y_{11} = \frac{I_1}{V_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$Y_{12} = \frac{I_1}{V_2}, \: when \: V_1 = 0$$

$$Y_{21} = \frac{I_2}{V_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$Y_{22} = \frac{I_2}{V_2}, \: when \: V_1 = 0$$

พารามิเตอร์ Y เรียกว่าเป็น admittance parametersเพราะนี่เป็นเพียงอัตราส่วนของกระแสและแรงดันไฟฟ้า หน่วยของพารามิเตอร์ Y คือ mho

เราสามารถคำนวณพารามิเตอร์ Y สองตัวคือ Y 11และ Y 21โดยการลัดวงจรของพอร์ต 2 ในทำนองเดียวกันเราสามารถคำนวณพารามิเตอร์ Y อีกสองตัวคือ Y 12และ Y 22โดยการลัดวงจรของพอร์ต 1 ดังนั้นพารามิเตอร์ Y จึงถูกเรียกอีกอย่างว่าshort-circuit admittance parameters.

T พารามิเตอร์

เราจะได้ชุดของสองสมการต่อไปนี้โดยพิจารณาตัวแปร V 1 & I 1ตามและ V 2 & I 2เป็นอิสระ ค่าสัมประสิทธิ์ของ V 2และ -I 2เรียกว่าเป็นT parameters.

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

T parameters คือ

$$A = \frac{V_1}{V_2}, \: when \: I_2 = 0$$

$$B = -\frac{V_1}{I_2}, \: when \: V_2 = 0$$

$$C = \frac{I_1}{V_2}, \: when \: I_2 = 0$$

$$D = -\frac{I_1}{I_2}, \: when \: V_2 = 0$$

T พารามิเตอร์เรียกว่าพารามิเตอร์การส่งผ่านหรือ ABCD parameters. พารามิเตอร์ A และ D ไม่มีหน่วยใด ๆ เนื่องจากมีขนาดน้อยกว่า หน่วยของพารามิเตอร์ B และ C คือโอห์มและโมตามลำดับ

เราสามารถคำนวณพารามิเตอร์สองตัวคือ A และ C โดยทำวงจรเปิดของพอร์ต 2 ในทำนองเดียวกันเราสามารถคำนวณอีกสองพารามิเตอร์ B และ D โดยการลัดวงจรของพอร์ต 2

T 'พารามิเตอร์

เราจะได้ชุดของสองสมการต่อไปนี้โดยพิจารณาตัวแปร V 2 & I 2ตามและ V 1 & I 1เป็นอิสระ ค่าสัมประสิทธิ์ของ V 1และ -I 1เรียกว่าเป็นT’ parameters.

$$V_2 = A' V_1 - B' I_1$$

$$I_2 = C' V_1 - D' I_1$$

T’ parameters คือ

$$A' = \frac{V_2}{V_1}, \: when\: I_1 = 0$$

$$B' = -\frac{V_2}{I_1}, \: when\: V_1 = 0$$

$$C' = \frac{I_2}{V_1}, \: when\: I_1 = 0$$

$$D' = -\frac{I_2}{I_1}, \: when \: V_1 = 0$$

พารามิเตอร์ T 'เรียกว่าพารามิเตอร์การส่งผกผันหรือ A’B’C’D’ parameters. พารามิเตอร์ A 'และ D' ไม่มีหน่วยใด ๆ เนื่องจากมีขนาดน้อยกว่า หน่วยของพารามิเตอร์ B 'และ C' คือโอห์มและ Mho ตามลำดับ

เราสามารถคำนวณพารามิเตอร์สองตัวคือ A 'และ C' โดยทำวงจรเปิดของพอร์ต 1 ในทำนองเดียวกันเราสามารถคำนวณพารามิเตอร์อีกสองตัวคือ B 'และ D' โดยการลัดวงจรของพอร์ต 1

h- พารามิเตอร์

เราจะได้ชุดของสองสมการต่อไปนี้โดยพิจารณาตัวแปร V 1 & I 2ตามและ I 1 & V 2เป็นอิสระ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรอิสระ I 1และ V 2เรียกว่าเป็นh-parameters.

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{12} V_2$$

$$I_2 = h_{21} I_1 + h_{22} V_2$$

พารามิเตอร์ h คือ

$$h_{11} = \frac{V_1}{I_1},\: when\: V_2 = 0$$

$$h_{12} = \frac{V_1}{V_2},\: when\: I_1 = 0$$

$$h_{21} = \frac{I_2}{I_1},\: when\: V_2 = 0$$

$$h_{22} = \frac{I_2}{V_2},\: when\: I_1 = 0$$

h- พารามิเตอร์เรียกว่าเป็น hybrid parameters. พารามิเตอร์ h 12และ h 21ไม่มีหน่วยใด ๆ เนื่องจากพารามิเตอร์เหล่านี้มีขนาดน้อย หน่วยของพารามิเตอร์ h 11และ h 22คือ Ohm และ Mho ตามลำดับ

เราสามารถคำนวณพารามิเตอร์สองตัวคือ h 11และ h 21โดยการลัดวงจรของพอร์ต 2 ในทำนองเดียวกันเราสามารถคำนวณพารามิเตอร์อีกสองตัวคือ h 12และ h 22โดยทำวงจรเปิดของพอร์ต 1

พารามิเตอร์ h หรือพารามิเตอร์ไฮบริดมีประโยชน์ในวงจรการสร้างแบบจำลองทรานซิสเตอร์ (เครือข่าย)

g- พารามิเตอร์

เราจะได้ชุดของสองสมการต่อไปนี้โดยพิจารณาตัวแปร I 1 & V 2ตามและ V 1 & I 2เป็นอิสระ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรอิสระ V 1และ I 2เรียกว่าเป็นg-parameters.

$$I_1 = g_{11} V_1 + g_{12} I_2$$

$$V_2 = g_{21} V_1 + g_{22} I_2$$

g-parameters คือ

$$g_{11} = \frac{I_1}{V_1},\: when\: I_2 = 0$$

$$g_{12} = \frac{I_1}{I_2},\: when\: V_1 = 0$$

$$g_{21} = \frac{V_2}{V_1},\: when\: I_2 = 0$$

$$g_{22} = \frac{V_2}{I_2},\: when \: V_1 = 0$$

g-parameters เรียกว่าเป็น inverse hybrid parameters. พารามิเตอร์ g 12และ g 21ไม่มีหน่วยใด ๆ เนื่องจากพารามิเตอร์เหล่านี้มีขนาดน้อยกว่า หน่วยของพารามิเตอร์ g 11และ g 22คือ mho และ ohm ตามลำดับ

เราสามารถคำนวณสองพารามิเตอร์ g 11และ g 21โดยทำวงจรเปิดของพอร์ต 2 ในทำนองเดียวกันเราสามารถคำนวณอีกสองพารามิเตอร์ g 12และ g 22โดยการลัดวงจรของพอร์ต 1

ในบทที่แล้วเราได้พูดถึงพารามิเตอร์เครือข่ายสองพอร์ตหกประเภท ตอนนี้ให้เราแปลงพารามิเตอร์เครือข่ายสองพอร์ตหนึ่งชุดเป็นชุดพารามิเตอร์เครือข่ายสองพอร์ตอื่น ๆ การแปลงนี้เรียกว่าการแปลงพารามิเตอร์เครือข่ายสองพอร์ตหรือเรียกง่ายๆว่าtwo-port parameters conversion.

บางครั้งมันเป็นเรื่องง่ายที่จะค้นหาพารามิเตอร์หนึ่งชุดของเครือข่ายไฟฟ้าที่กำหนดได้อย่างง่ายดาย ในสถานการณ์เหล่านี้เราสามารถแปลงพารามิเตอร์เหล่านี้เป็นชุดพารามิเตอร์ที่ต้องการแทนที่จะคำนวณพารามิเตอร์เหล่านี้โดยตรงด้วยความยากลำบากมากขึ้น

ตอนนี้ให้เราพูดคุยเกี่ยวกับการแปลงพารามิเตอร์พอร์ตสองพอร์ต

ขั้นตอนของการแปลงพารามิเตอร์พอร์ตสองพอร์ต

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้ในขณะที่แปลงพารามิเตอร์เครือข่ายพอร์ตสองชุดหนึ่งชุดเป็นพารามิเตอร์เครือข่ายพอร์ตสองชุดอื่น ๆ

  • Step 1 - เขียนสมการของเครือข่ายสองพอร์ตในรูปของพารามิเตอร์ที่ต้องการ

  • Step 2 - เขียนสมการของเครือข่ายสองพอร์ตตามพารามิเตอร์ที่กำหนด

  • Step 3 - จัดเรียงสมการของ Step2 ใหม่ในลักษณะที่ควรจะคล้ายกับสมการของ Step1

  • Step 4- โดยการหาค่าสมการที่คล้ายกันของ Step1 และ Step3 เราจะได้พารามิเตอร์ที่ต้องการในรูปของพารามิเตอร์ที่กำหนด เราสามารถแสดงพารามิเตอร์เหล่านี้ในรูปแบบเมทริกซ์

พารามิเตอร์ Z ถึงพารามิเตอร์ Y

ที่นี่เราต้องแสดงพารามิเตอร์ Y ในรูปของพารามิเตอร์ Z ดังนั้นในกรณีนี้พารามิเตอร์ Y คือพารามิเตอร์ที่ต้องการและพารามิเตอร์ Z เป็นพารามิเตอร์ที่กำหนด

Step 1 - เรารู้ว่าชุดของสองสมการต่อไปนี้ซึ่งแสดงถึงเครือข่ายพอร์ตสองพอร์ตในแง่ของ Y parameters.

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

เราสามารถแทนสองสมการข้างต้นใน matrix ฟอร์มเป็น

$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$Equation 1

Step 2 - เรารู้ว่าชุดของสองสมการต่อไปนี้ซึ่งแสดงถึงเครือข่ายพอร์ตสองพอร์ตในแง่ของ Z parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

เราสามารถแทนสองสมการข้างต้นใน matrix ฟอร์มเป็น

$$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$$

Step 3 - เราสามารถแก้ไขเป็นไฟล์

$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$Equation 2

Step 4 - โดยการสร้างสมการ 1 และสมการ 2 เราจะได้

$$\begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix}^{-1} $$

$$\Rightarrow \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} = \frac{\begin{bmatrix}Z_{22} & -Z_{12} \\-Z_{21} & Z_{11} \end{bmatrix}}{\Delta Z}$$

ที่ไหน

$$\Delta Z = Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}$$

ดังนั้นเพียงแค่ทำไฟล์ inverse of Z parameters matrixเราจะได้เมทริกซ์พารามิเตอร์ Y

พารามิเตอร์ Z ถึงพารามิเตอร์ T

ที่นี่เราต้องแสดงพารามิเตอร์ T ในรูปของพารามิเตอร์ Z ดังนั้นในกรณีนี้พารามิเตอร์ T คือพารามิเตอร์ที่ต้องการและพารามิเตอร์ Z เป็นพารามิเตอร์ที่กำหนด

Step 1 - เรารู้ว่าชุดของสองสมการต่อไปนี้ซึ่งแสดงถึงเครือข่ายพอร์ตสองพอร์ตในแง่ของ T parameters.

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

Step 2 - เรารู้ว่าชุดของสองสมการต่อไปนี้ซึ่งแสดงถึงเครือข่ายพอร์ตสองพอร์ตในแง่ของ Z parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

Step 3 - เราสามารถแก้ไขสมการข้างต้นเป็น

$$\Rightarrow V_2 - Z_{22} I_2 = Z_{21} I_1$$

$$\Rightarrow I_1 = \lgroup \frac{1}{Z_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{Z_{22}}{Z_{21}} \rgroup I_2$$

Step 4 - สมการข้างต้นอยู่ในรูปของ $I_1 = CV_2 − DI_2$. ที่นี่

$$C = \frac{1}{Z_{21}}$$

$$D = \frac{Z_{22}}{Z_{21}}$$

Step 5 - ทดแทน $I_1$ มูลค่าของขั้นตอนที่ 3 ใน $V_1$ สมการของขั้นตอนที่ 2

$$V_1 = Z_{11} \lbrace \lgroup \frac {1}{Z_{12}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac {Z_{22}}{Z_{21}} \rgroup I_2 \rbrace + Z_{12} I_2$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac {Z_{11}}{Z_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}}{Z_{21}} \rgroup I_2$$

Step 6 - สมการข้างต้นอยู่ในรูปของ $V_1 = AV_2 − BI_2$. ที่นี่

$$A = \frac{Z_{11}}{Z_{21}}$$

$$B = \frac{Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}}{Z_{21}}$$

Step 7 - ดังนั้น T parameters matrix คือ

$$\begin{bmatrix}A & B \\C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{Z_{11}}{Z_{21}} & \frac{Z_{11}Z_{22} - Z_{12}Z_{21}}{Z_{21}} \\\frac{1}{Z_{21}} & \frac{Z_{22}}{Z_{21}} \end{bmatrix}$$

พารามิเตอร์ Y ถึงพารามิเตอร์ Z

ที่นี่เราต้องแสดงพารามิเตอร์ Z ในรูปของพารามิเตอร์ Y ดังนั้นในกรณีนี้พารามิเตอร์ Z คือพารามิเตอร์ที่ต้องการและพารามิเตอร์ Y คือพารามิเตอร์ที่กำหนด

Step 1 - เรารู้ว่าสมการเมทริกซ์ต่อไปนี้ของเครือข่ายพอร์ตสองพอร์ตเกี่ยวกับพารามิเตอร์ Z เป็น

$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$Equation 3

Step 2 - เรารู้ว่าสมการเมทริกซ์ต่อไปนี้ของเครือข่ายพอร์ตสองพอร์ตเกี่ยวกับพารามิเตอร์ Y เป็น

$$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$$

Step 3 - เราสามารถแก้ไขเป็นไฟล์

$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$Equation 4

Step 4 - โดยการสร้างสมการ 3 และสมการ 4 เราจะได้

$$\begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix}^{-1}$$

$$\Rightarrow \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \frac{\begin{bmatrix}Y_{22} & - Y_{12} \\- Y_{21} & Y_{11} \end{bmatrix}}{\Delta Y}$$

ที่ไหน

$$\Delta Y = Y_{11} Y_{22} - Y_{12} Y_{21}$$

ดังนั้นเพียงแค่ทำไฟล์ inverse of Y parameters matrixเราจะได้เมทริกซ์พารามิเตอร์ Z

พารามิเตอร์ Y ถึงพารามิเตอร์ T

ที่นี่เราต้องแสดงพารามิเตอร์ T ในรูปของพารามิเตอร์ Y ดังนั้นในกรณีนี้พารามิเตอร์ T คือพารามิเตอร์ที่ต้องการและพารามิเตอร์ Y เป็นพารามิเตอร์ที่กำหนด

Step 1 - เรารู้ว่าชุดของสองสมการต่อไปนี้ซึ่งแสดงถึงเครือข่ายพอร์ตสองพอร์ตในแง่ของ T parameters.

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

Step 2 - เรารู้ว่าชุดสมการสองชุดต่อไปนี้ของเครือข่ายพอร์ตสองพอร์ตเกี่ยวกับพารามิเตอร์ Y

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

Step 3 - เราสามารถแก้ไขสมการข้างต้นเป็น

$$\Rightarrow I_2 - Y_{22} V_2 = Y_{21} V_1$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{- Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{-1}{Y_{21}} \rgroup I_2$$

Step 4 - สมการข้างต้นอยู่ในรูปของ $V_1 = AV_2 − BI_2$. ที่นี่

$$A = \frac{- Y_{22}}{Y_{21}}$$

$$B = \frac{-1}{Y_{21}}$$

Step 5 - ทดแทน $V_1$ มูลค่าของขั้นตอนที่ 3 ใน $I_1$ สมการของขั้นตอนที่ 2

$$I_1 = Y_{11} \lbrace \lgroup \frac{- Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{-1}{Y_{21}} \rgroup I_2 \rbrace + Y_{12} V_2$$

$$\Rightarrow I_1 = \lgroup \frac {Y_{12} Y_{21} - Y_{11} Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{- Y_{11}} {Y_{21}} \rgroup I_2$$

Step 6 - สมการข้างต้นอยู่ในรูปของ $I_1 = CV_2 − DI_2$. ที่นี่

$$C = \frac {Y_{12} Y_{21} - Y_{11} Y_{22}}{Y_{21}}$$

$$D = \frac{- Y_{11}} {Y_{21}}$$

Step 7 - ดังนั้น T parameters matrix คือ

$$\begin{bmatrix}A & B \\C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{-Y_{22}}{Y_{21}} & \frac{-1}{Y_{21}} \\\frac{Y_{12}Y_{21} - Y_{11}Y_{22}}{Y_{21}} & \frac{-Y_{11}}{Y_{21}} \end{bmatrix}$$

T พารามิเตอร์ไปยังพารามิเตอร์ h

ที่นี่เราต้องแสดงพารามิเตอร์ h ในรูปของพารามิเตอร์ T ดังนั้นในกรณีนี้ hparameters คือพารามิเตอร์ที่ต้องการและพารามิเตอร์ T คือพารามิเตอร์ที่กำหนด

Step 1 - เรารู้ว่าสิ่งต่อไปนี้ h-parameters ของเครือข่ายสองพอร์ต

$$h_{11} = \frac{V_1}{I_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$h_{12} = \frac{V_1}{V_2}, \: when \: I_1 = 0$$

$$h_{21} = \frac{I_2}{I_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$h_{22} = \frac{I_2}{V_2}, \: when \: I_1 = 0$$

Step 2 - เรารู้ว่าชุดของสองสมการต่อไปนี้ของเครือข่ายพอร์ตสองพอร์ตเกี่ยวกับ T parameters.

$V_1 = A V_2 - B I_2$Equation 5

$I_1 = C V_2 - D I_2$Equation 6

Step 3 - ทดแทน $V_2 = 0$ ในสมการข้างต้นเพื่อค้นหาพารามิเตอร์ h สองตัว $h_{11}$ และ $h_{21}$.

$$\Rightarrow V_1 = -B I_2$$

$$\Rightarrow I_1 = -D I_2$$

ทดแทน $V_1$ และ $I_1$ ค่าในพารามิเตอร์ h $h_{11}$.

$$h_{11} = \frac{-B I_2}{-D I_2}$$

$$\Rightarrow h_{11} = \frac{B}{D}$$

ทดแทน $I_1$ ค่าในพารามิเตอร์ h $h_{21}$.

$$h_{21} = \frac{I_2}{- D I_2}$$

$$\Rightarrow h_{21} = - \frac{1}{D}$$

Step 4 - ทดแทน $I_1 = 0$ ในสมการที่สองของขั้นตอนที่ 2 เพื่อค้นหาพารามิเตอร์ h $h_{22}$.

$$0 = C V_2 - D I_2$$

$$\Rightarrow C V_2 = D I_2$$

$$\Rightarrow \frac{I_2}{V_2} = \frac{C}{D}$$

$$\Rightarrow h_{22} = \frac{C}{D}$$

Step 5 - ทดแทน $I_2 = \lgroup \frac{C}{D} \rgroup V_2$ ในสมการแรกของขั้นตอนที่ 2 เพื่อค้นหาพารามิเตอร์ h $h_{12}$.

$$V_1 = A V_2 - B \lgroup \frac{C}{D} \rgroup V_2$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{AD - BC}{D} \rgroup V_2$$

$$\Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = \frac{AD - BC}{D}$$

$$\Rightarrow h_{12} = \frac{AD - BC}{D}$$

Step 6 - ดังนั้นเมทริกซ์พารามิเตอร์ h คือ

$$\begin{bmatrix}h_{11} & h_{12} \\h_{21} & h_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{B}{D} & \frac{AD - BC}{D} \\-\frac{1}{D} & \frac{C}{D} \end{bmatrix}$$

พารามิเตอร์ h ถึงพารามิเตอร์ Z

ที่นี่เราต้องแทนค่าพารามิเตอร์ Z ในรูปของพารามิเตอร์ h ดังนั้นในกรณีนี้พารามิเตอร์ Z คือพารามิเตอร์ที่ต้องการและพารามิเตอร์ h คือพารามิเตอร์ที่กำหนด

Step 1 - เรารู้ว่าชุดของสองสมการต่อไปนี้ของเครือข่ายพอร์ตสองพอร์ตเกี่ยวกับ Z parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

Step 2 - เรารู้ว่าชุดของสองสมการต่อไปนี้ของเครือข่ายสองพอร์ตเกี่ยวกับ h-parameters.

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{12} V_2$$

$$I_2 = h_{21} I_1 + h_{22} V_2$$

Step 3 - เราสามารถแก้ไขสมการข้างต้นเป็น

$$\Rightarrow I_2 - h_{21} I_1 = h_{22} V_2$$

$$\Rightarrow V_2 = \frac{I_2 - h_{21} I_1}{h_{22}}$$

$$\Rightarrow V_2 = \lgroup \frac{-h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{1}{h_{22}} \rgroup I_2$$

สมการข้างต้นอยู่ในรูปของ $V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2. Here,$

$$Z_{21} = \frac{-h_{21}}{h_{22}}$$

$$Z_{22} = \frac{1}{h_{22}}$$

Step 4- แทนค่าV 2ในสมการแรกของขั้นตอนที่ 2

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{21} \lbrace \lgroup \frac{-h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{1}{h_{22}} \rgroup I_2 \rbrace$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{h_{12}}{h_{22}} \rgroup I_2$$

สมการข้างต้นอยู่ในรูปของ $V_1 = Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2$. ที่นี่

$$Z_{11} = \frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}}$$

$$Z_{12} = \frac{h_{12}}{h_{22}}$$

Step 5 - ดังนั้นเมทริกซ์พารามิเตอร์ Z คือ

$$\begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}} & \frac{h_{12}}{h_{22}} \\\frac{-h_{21}}{h_{22}} & \frac{1}{h_{22}} \end{bmatrix}$$

ด้วยวิธีนี้เราสามารถแปลงพารามิเตอร์หนึ่งชุดเป็นพารามิเตอร์ชุดอื่นได้

ตัวกรองตามชื่อแนะนำพวกเขากรองส่วนประกอบความถี่ นั่นหมายความว่าอนุญาตให้ใช้ส่วนประกอบความถี่บางอย่างและ / หรือปฏิเสธส่วนประกอบความถี่อื่น ๆ

ในบทนี้ให้เราพูดคุยเกี่ยวกับไฟล์ passive filters. นั่นคือวงจรไฟฟ้าหรือเครือข่ายที่มีองค์ประกอบแบบพาสซีฟเช่นตัวต้านทานตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ

ประเภทของฟิลเตอร์

ตัวกรองแบ่งออกเป็นส่วนใหญ่ four typesตามย่านความถี่ที่อนุญาตและ / หรือย่านความถี่ที่ปฏิเสธ ประเภทของตัวกรองต่อไปนี้

  • กรองผ่านต่ำ
  • ตัวกรองความถี่สูง
  • แบนด์พาสฟิลเตอร์
  • วงดนตรีหยุดตัวกรอง

กรองผ่านต่ำ

ตัวกรองความถี่ต่ำตามชื่อแนะนำอนุญาตให้ใช้ (ผ่าน) เท่านั้น low frequencyส่วนประกอบ นั่นหมายความว่ามันจะปฏิเสธ (บล็อก) ส่วนประกอบความถี่สูงอื่น ๆ ทั้งหมด

s-domain circuit diagram (เครือข่าย) ของ Low Pass Filter แสดงดังรูปต่อไปนี้

ประกอบด้วยตัวต้านทานและตัวเก็บประจุแบบพาสซีฟสองตัวซึ่งเชื่อมต่ออยู่ series. แรงดันไฟฟ้าขาเข้าถูกนำไปใช้กับชุดค่าผสมทั้งหมดนี้และเอาท์พุทถือเป็นแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุ

ที่นี่ $V_i(s)$ และ $V_o(s)$ คือการแปลงลาปลาซของแรงดันไฟฟ้าขาเข้า $v_i(t)$ และแรงดันขาออก $v_o(t)$ ตามลำดับ

transfer function ของเครือข่ายข้างต้นคือ

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{1 + sCR}$$

ทดแทน $s = j \omega$ ในสมการข้างต้น

$$H(j \omega) = \frac{1}{1 + j \omega CR}$$

ขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนคือ

$$|H(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt{(1 + (\omega CR)^2}}$$

  • ที่ω = 0 ขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนจะเท่ากับ 1

  • ที่ $\omega = \frac{1}{CR}$ขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนเท่ากับ 0.707

  • ที่ω = ∞ขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนจะเท่ากับ 0

ดังนั้นขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนของ Low pass filterจะแตกต่างกันไปตั้งแต่ 1 ถึง 0 เนื่องจากωแตกต่างกันไปตั้งแต่ 0 ถึง∞

ตัวกรองความถี่สูง

ตัวกรองความถี่สูงตามชื่อแนะนำอนุญาตให้ใช้ (ผ่าน) เท่านั้น high frequencyส่วนประกอบ นั่นหมายความว่ามันจะปฏิเสธ (บล็อก) ส่วนประกอบความถี่ต่ำทั้งหมด

s-domain circuit diagram (เครือข่าย) ของ High pass filter แสดงดังรูปต่อไปนี้

ประกอบด้วยตัวเก็บประจุและตัวต้านทานแบบพาสซีฟสองตัวซึ่งเชื่อมต่ออยู่ series. แรงดันไฟฟ้าขาเข้าถูกนำไปใช้กับชุดค่าผสมทั้งหมดนี้และเอาท์พุทถือเป็นแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวต้านทาน

ที่นี่ $V_i(s)$ และ $V_o(s)$ คือการแปลงลาปลาซของแรงดันไฟฟ้าขาเข้า $v_i(t)$ และแรงดันขาออก $v_o(t)$ ตามลำดับ

transfer function ของเครือข่ายข้างต้นคือ

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{R}{R + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{sCR}{1 + sCR}$$

ทดแทน $s = j \omega$ ในสมการข้างต้น

$$H(j \omega) = \frac{j \omega CR}{1 + j \omega CR}$$

ขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนคือ

$$|H(j \omega)| = \frac{\omega CR}{\sqrt{(1 + (\omega CR)^2}}$$

  • ที่ω = 0 ขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนจะเท่ากับ 0

  • ที่ $\omega = \frac{1}{CR}$ขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนเท่ากับ 0.707

  • ที่ω = ∞ขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนจะเท่ากับ 1

ดังนั้นขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนของ High pass filterจะแตกต่างกันไปจาก 0 ถึง 1 เนื่องจากωแตกต่างกันไปตั้งแต่ 0 ถึง∞

แบนด์พาสฟิลเตอร์

แบนด์พาสฟิลเตอร์ตามชื่อมัน allows (ผ่าน) เท่านั้น one bandของความถี่ โดยทั่วไปแถบความถี่นี้จะอยู่ระหว่างช่วงความถี่ต่ำและช่วงความถี่สูง นั่นหมายความว่าตัวกรองนี้จะปฏิเสธ (บล็อก) ทั้งส่วนประกอบความถี่ต่ำและความถี่สูง

s-domain circuit diagram (เครือข่าย) ของ Band pass filter แสดงดังรูปต่อไปนี้

ประกอบด้วยตัวเหนี่ยวนำองค์ประกอบแบบพาสซีฟสามตัวตัวเก็บประจุและตัวต้านทานซึ่งเชื่อมต่ออยู่ series. แรงดันไฟฟ้าขาเข้าถูกนำไปใช้กับชุดค่าผสมทั้งหมดนี้และเอาท์พุทถือเป็นแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวต้านทาน

ที่นี่ $V_i(s)$ และ $V_o(s)$ คือการแปลงลาปลาซของแรงดันไฟฟ้าขาเข้า $v_i(t)$ และแรงดันขาออก $v_o(t)$ ตามลำดับ

transfer function ของเครือข่ายข้างต้นคือ

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{R}{R + \frac{1}{sC} + sL}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{s CR}{s^2 LC + sCR + 1}$$

ทดแทน $s = j \omega$ ในสมการข้างต้น

$$H(j \omega) = \frac{j \omega CR}{1 - \omega^2 LC + j \omega CR}$$

ขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนคือ

$$|H(j \omega)| = \frac{\omega CR}{\sqrt{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega CR)^2}}$$

  • ที่ω = 0 ขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนจะเท่ากับ 0

  • ที่ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนเท่ากับ 1

  • ที่ω = ∞ขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนจะเท่ากับ 0

ดังนั้นขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนของ Band pass filterจะแตกต่างกันไปตั้งแต่ 0 ถึง 1 และ 1 ถึง 0 เนื่องจากωแตกต่างกันไปจาก 0 ถึง∞

วงดนตรีหยุดตัวกรอง

Band stop filter ตามชื่อที่แนะนำมันจะปฏิเสธ (บล็อก) เพียงย่านความถี่เดียว โดยทั่วไปแถบความถี่นี้จะอยู่ระหว่างช่วงความถี่ต่ำและช่วงความถี่สูง นั่นหมายความว่าตัวกรองนี้อนุญาต (ส่งผ่าน) ทั้งส่วนประกอบความถี่ต่ำและความถี่สูง

s-domain (เครือข่าย) ของ circuit diagramและตัวกรองหยุดจะแสดงในรูปต่อไปนี้

ประกอบด้วยตัวต้านทานองค์ประกอบแบบพาสซีฟสามตัวตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุซึ่งเชื่อมต่ออยู่ series. แรงดันไฟฟ้าอินพุตถูกนำไปใช้กับชุดค่าผสมทั้งหมดนี้และเอาต์พุตจะถือเป็นแรงดันไฟฟ้าตลอดการรวมกันของตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ

ที่นี่ $V_i(s)$ และ $V_o(s)$ คือการแปลงลาปลาซของแรงดันไฟฟ้าขาเข้า $v_i(t)$ และแรงดันขาออก $v_o(t)$ ตามลำดับ

transfer function ของเครือข่ายข้างต้นคือ

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{sL + \frac{1}{sC}}{R + sL + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{s^2 LC + 1}{s^2 LC + sCR + 1}$$

ทดแทน $s = j \omega$ ในสมการข้างต้น

$$H(j \omega) = \frac{1 - \omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC + j \omega CR}$$

ขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนคือ

$$|H(j \omega)| = \frac{1 - \omega^2 LC}{\sqrt{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega CR)^2}}$$

  • ที่ω = 0 ขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนจะเท่ากับ 1

  • ที่ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนเท่ากับ 0

  • ที่ω = ∞ขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนจะเท่ากับ 1

ดังนั้นขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนของ Band stop filterจะแตกต่างกันไปตั้งแต่ 1 ถึง 0 และ 0 ถึง 1 เนื่องจากωแตกต่างกันไปจาก 0 ถึง∞