Warum sollte $1^{-\infty}$ nicht 1 sein?

Question

Das scheint mir so $1^{-∞}=\lim_\limits{x→∞}1^{-x}=\lim_\limits{x→∞}\frac1{1^x}=\frac11=1$egal wie wir es angehen. Allerdings beantwortet Wolfram Alpha mit einem geheimnisvoll unqualifizierten „$\text{(undefined)}$”. In ähnlicher Weise glaubt JavaScript auch, dass das Ergebnis keine Zahl ist. Auf der anderen Seite haben die sehr mathematisch geneigten APL- Sprachen NARS2000 und J beide es gegeben $1$.

Welche Gründe gibt es abzulehnen $1^{-∞}=1$?

Answer 1

Da für jeden $x$ wir haben $1^x=1$ wie du bemerkt hast

$$\lim_{x\to -\infty} 1^x =\lim_{x\to -\infty} 1=1$$

und da hast du vollkommen recht, aber als $f(x)\to 1$

$$\lim_{x\to -\infty} \left(f(x)\right)^x $$

ist eine unbestimmte Form, das heißt, wir können jedes Ergebnis erhalten, abhängig von der Art von $f(x)$.

Wahrscheinlich bezieht sich Wolfram durch diese Eingabe symbolisch auf diesen letzteren Fall.

Answer 2

$$\begin{array}{} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{-n} \to e^{-1} \\ \left( 1+\frac{1}{n^2} \right)^{-n} \to 1 \\ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{-n^2} \to 0 \end{array}$$

Answer 3

Der Wert $1^\infty$ist unbestimmt. Es kann interpretiert werden als$$\lim_{x\to \infty} 1^x=1,$$ wie $$\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n =e,$$unter anderen. Diese Mehrdeutigkeit macht es unbestimmt. BPRP hat einige gute Videos, die sich eingehender mit diesem Konzept befassen.