डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग - डीएफटी परिचय

निरंतर समय सिग्नल फूरियर रूपांतरण की तरह, असतत समय फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग इसके बराबर आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व और LTI असतत समय प्रणाली में एक असतत अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने और विभिन्न कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम विकसित करने के लिए किया जा सकता है।

एक्स (j function) निरंतर एफटी में, एक्स (एन) का एक निरंतर कार्य है। हालाँकि, DFT अपने स्पेक्ट्रम X (।) के नमूनों के साथ x (n) का प्रतिनिधित्व करने से संबंधित है। इसलिए, यह गणितीय उपकरण सुविधाजनक प्रतिनिधित्व में कम्प्यूटेशनल रूप से बहुत महत्व रखता है। दोनों, आवधिक और गैर-आवधिक अनुक्रमों को इस उपकरण के माध्यम से संसाधित किया जा सकता है। आवधिक अनुक्रमों को अनंत तक अवधि का विस्तार करके नमूना करने की आवश्यकता है।

फ़्रीक्वेंसी डोमेन सैंपलिंग

परिचय से, यह स्पष्ट है कि हमें यह जानने की आवश्यकता है कि आवृत्ति डोमेन नमूनाकरण (सैंपलिंग एक्स) (ω) के माध्यम से कैसे आगे बढ़ना है। इसलिए, नमूना फूरियर रूपांतरण और डीएफटी के बीच संबंध निम्नलिखित तरीके से स्थापित किया गया है।

इसी प्रकार, आवधिक अनुक्रम एन को अनंत तक की अवधि बढ़ाकर इस उपकरण के लिए फिट हो सकते हैं।

एक गैर आवधिक अनुक्रम होने दें, $ X (n) = \ lim_ {N \ to to infty} x_N (n) $

इसके फूरियर रूपांतरण को परिभाषित करते हुए,

$ X (\ omega) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- jwn} X (K \ delta \ omega) $ ... eq (1)

यहाँ, X (,) को समय-समय पर हर inter रेडियन अंतराल पर नमूना लिया जाता है।

जैसा कि X (ians) 2 (रेडियन में आवधिक है, हमें केवल मौलिक रेंज में नमूनों की आवश्यकता होती है। नमूनों को आवृत्ति रेंज 0π2 equ में समकालिक अंतराल के बाद लिया जाता है। बराबर अंतराल के बीच अंतर $ \ डेल्टा \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $ रेडियन है।

अब मूल्यांकन कर रहे हैं, $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N}, $ ... eq (+) 2)

जहां k = 0,1, …… N-1

ऊपर उपविभाजित करने के बाद, और समन के क्रम को इंटरचेंज करना

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} [\ displaystyle \ sum \ limit_ {l = - \ infty} \ _ infty x (n-Nl)] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ ... eq (3)

$ \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) = x_p (n) = a \ quad periodic \ quad function \ quad of \ quad period \ _ \ _ \ _ \ n क्वाड \ _ \ _ क्वाड \ " \ Quad श्रृंखला \ quad = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} C_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $

जहाँ, n = 0,1,… .., एन -1; 'p'- का अर्थ आवधिक इकाई या कार्य है

फूरियर गुणांक हैं,

$ C_k = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_p (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ k = 0,1,…, N- 1 ... eq (4)

3 और 4 के समीकरणों की तुलना करें, तो हम प्राप्त करते हैं;

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) $ k = 0,1,…, N-1 ... eq (5)

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {jw}) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_p (n) e ^ { -j2 \ pi nk / N} $ ... eq (6)

फूरियर श्रृंखला विस्तार से,

$ x_p (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limit_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} = \ frac_ 1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (\ frac {2 \ pi} {N} k) e ^ {j2 \ pi nk / N} $ ... eq (7)

जहां n = 0,1,…, एन -1

यहां, हमें एक्स (।) से आवधिक संकेत मिला। $ x (n) $ को $ x_p (n) $ से केवल तभी निकाला जा सकता है, जब समय डोमेन में कोई उपद्रव न हो। $ एन \ जिक एल $

N = $ x_p की अवधि (n) $ L = $ x (n) $ की अवधि

$ x (n) = \ start {केस} x_p (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0, और अन्यथा \ एंड {केस} $

इस तरीके से मानचित्रण हासिल किया जाता है।

डीएफटी के गुण

रैखिकता

यह बताता है कि संकेतों के संयोजन का डीएफटी व्यक्तिगत संकेतों के डीएफटी के योग के बराबर है। आइए हम दो संकेत लेते हैं x ₁ (n) और x ₂ (n), जिनके DFT s क्रमशः X ₁ (ω) और X ₂ ( X ) हैं। तो अगर

$ x_1 (n) \ rightarrow X_1 (\ omega) $ और $ x_2 (n) \ rightarrow X_2 (\ omega) $

फिर $ ax_1 (n) + bx_2 (n) \ rightarrow aX_1 (\ omega) + bX_2 (\ omega) $

कहाँ पे a तथा b निरंतर हैं।

समरूपता

डीएफटी के समरूपता गुणों को उसी तरह से प्राप्त किया जा सकता है जैसे हमने डीटीएफटी समरूपता गुणों को प्राप्त किया है। हम जानते हैं कि अनुक्रम x (n) के DFT को X (K) द्वारा निरूपित किया जाता है। अब, यदि x (n) और X (K) जटिल मूल्यवान अनुक्रम हैं, तो इसे निम्न के रूप में दर्शाया जा सकता है

$ x (n) = x_R (n) + jx_1 (n), 0 \ leq n \ leq N-1 $

और $ X (K) = X_R (K) + jX_1 (K), 0 \ leq K \ leq-1 $

द्वैत संपत्ति

आइए एक संकेत x (n) पर विचार करें, जिसका DFT X (K) के रूप में दिया गया है। बता दें कि परिमित अवधि अनुक्रम X (N) है। फिर द्वंद्व प्रमेय के अनुसार,

यदि, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

फिर, $ X (N) \ longleftrightarrow Nx [((- k)) _ N] $

इसलिए, इस प्रमेय का उपयोग करके यदि हम DFT को जानते हैं, तो हम आसानी से परिमित अवधि अनुक्रम पा सकते हैं।

जटिल संयुग्म गुण

मान लीजिए, एक संकेत x (n) है, जिसका DFT हमें X (K) के रूप में भी जाना जाता है। अब, यदि संकेत के जटिल संयुग्मन को x * (n) के रूप में दिया जाता है, तो हम नीचे दिखाए गए प्रमेय का उपयोग करके बहुत अधिक गणना किए बिना आसानी से डीएफटी पा सकते हैं।

यदि, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

फिर, $ x * (n) \ longleftrightarrow X * ((K)) _ N = X * (NK) $

सर्कुलर फ्रीक्वेंसी शिफ्ट

अनुक्रम एक्स (एन) के जटिल घातीय अनुक्रम $ e ^ {j2 \ Pi kn / N} $ के साथ गुणन आवृत्ति में एल इकाइयों द्वारा डीएफटी के परिपत्र बदलाव के बराबर है। यह सर्कुलर टाइम शिफ्टिंग प्रॉपर्टी के लिए दोहरी है।

यदि, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

फिर, $ x (n) e ^ {j2 \ Pi Kn / N} \ longleftrightarrow X ((KL)) _ N $

दो अनुक्रमों का गुणा

यदि दो सिग्नल x ₁ (n) और x ₂ (n) हैं और उनके संबंधित DFT X ₁ (k) और X ₂ (K) हैं, तो समय अनुक्रम में संकेतों का गुणा उनके DFT के परिपत्र कनवल्शन से मेल खाता है।

यदि, $ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (K) \ quad \ & \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (K) $

पारसेवल की प्रमेय

सामान्य रूप से जटिल मूल्यवान अनुक्रम x (n) और y (n) के लिए

यदि, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) \ quad \ & \ quad y (n) \ longleftrightarrow Y (K) $

फिर, $ \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X ( कश्मीर) वाई ^ * (कश्मीर) $