डीएसपी - जेड-ट्रांसफॉर्म उलटा
यदि हम एक प्रणाली का विश्लेषण करना चाहते हैं, जो पहले से ही आवृत्ति डोमेन में दर्शाया गया है, असतत समय संकेत के रूप में तो हम व्युत्क्रम जेड-परिवर्तन के लिए जाते हैं।
गणितीय रूप से, इसे इस रूप में दर्शाया जा सकता है;
$ $ x (n) = Z ^ {- 1} X (Z) $ $जहाँ x (n) समय क्षेत्र में संकेत है और X (Z) आवृत्ति डोमेन में संकेत है।
यदि हम अभिन्न प्रारूप में उपरोक्त समीकरण का प्रतिनिधित्व करना चाहते हैं तो हम इसे लिख सकते हैं
$ $ x (n) = (\ frac {1} {2 \ Pi j}) \ oint X (Z) Z ^ {- 1} dz $$यहां, इंटीग्रल एक बंद पथ सी पर है। यह पथ एक्स (जेड) के आरओसी के भीतर है और इसमें मूल शामिल है।
व्युत्क्रम जेड-ट्रांसफ़ॉर्म खोजने की विधियाँ
जब असतत प्रारूप में विश्लेषण की आवश्यकता होती है, तो हम उलटा Z- परिवर्तन के माध्यम से आवृत्ति डोमेन सिग्नल को असतत प्रारूप में वापस परिवर्तित करते हैं। उलटा Z- परिवर्तन निर्धारित करने के लिए हम निम्नलिखित चार तरीके अपनाते हैं।
- लंबी विभाजन प्रणाली
- आंशिक विवर्तन विस्तार विधि
- अवशेष या कंटूर अभिन्न विधि
लंबी विभाजन प्रणाली
इस विधि में, संकेत x (z) के Z- परिवर्तन को नीचे दिखाए गए अनुसार बहुपद के अनुपात के रूप में दर्शाया जा सकता है;
$$ एक्स (z) = n (जेड) / डी (जेड) $$अब, अगर हम भाजक को भाजक से विभाजित करते हैं, तो हमें नीचे दिखाए गए अनुसार एक श्रृंखला मिलेगी
$ $ X (z) = x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $ $उपरोक्त अनुक्रम दिए गए संकेत के व्युत्क्रम Z- परिवर्तन की श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करता है (n series0 के लिए) और उपरोक्त प्रणाली कारण है।
हालाँकि n <0 के लिए श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है;
$ $ x (z) = x (-1) Z ^ 1 + x (-2) Z ^ 2 + x (-3) Z ^ 3 + ... \ quad ... \ quad ... $$आंशिक अंश विस्तार विधि
यहाँ भी संकेत पहले N (z) / D (z) फॉर्म में व्यक्त किया गया है।
यदि यह एक तर्कसंगत अंश है तो इसे निम्नानुसार दर्शाया जाएगा;
$ x (z) = b_0 + b_1Z ^ {- 1} + b_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + b_mZ ^ {- m}) / (a_0 + a_1Z ^ { -1} + a_2Z ^ {- 2} + ... \ ट्रैक्टर ... \ ट्रैक्टर ... + a_nZ ^ {- एन}) $
एम <n और। 0 होने पर ऊपर वाला अनुचित है
यदि अनुपात उचित नहीं है (यानी अनुचित), तो हमें इसे हल करने के लिए उचित रूप में बदलना होगा।
अवशेष या कंटूर इंटीग्रल विधि
इस पद्धति में, हम सभी ध्रुवों पर $ [x (z) Z ^ {n-1}] $ के अवशेषों द्वारा व्युत्क्रम Z-transform x (n) प्राप्त करते हैं। गणितीय रूप से, इसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है
$ $ x (n) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {सभी \ Quad ध्रुव \ quad x (z)} [x (z) Z ^ {n-1}] $ $ के अवशेष \ quadयहाँ, $ z = \ beta $ पर आदेश m के किसी भी पोल के लिए अवशेष है
$ $ अवशेष = \ frac {1} {(m-1)!} \ Lim_ {Z \ rightarrow \ beta} \ lbrace \ frac {d ^ {m-1}} {dZ ^ {m-1} \ _ lbrace (z- \ बीटा) ^ एमएक्स (z) जेड ^ {n-1} \ rbrace $$