डीएसपी - जेड-ट्रांसफॉर्म गुण

इस अध्याय में, हम Z- परिवर्तनों के मूल गुणों को समझेंगे।

रैखिकता

यह बताता है कि जब दो या अधिक व्यक्तिगत असतत संकेतों को स्थिरांक द्वारा गुणा किया जाता है, तो उनके संबंधित Z- परिवर्तन भी उसी स्थिरांक से गुणा किए जाएंगे।

गणित के अनुसार,

$$ a_1x_1 (n) + axx_2 (n) = a_1X_1 (z) + a_2X_2 (z) $$

Proof - हम जानते हैं कि,

$ $ X (Z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- {} $ $

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n)) Z ^ {- n} $

$ = a_1 \ sum_ {n = - infty} ^ \ infty x_1 (n) Z ^ {- n} + a_2 \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (n) Z ^ {n} $

$ = a_1X_1 (z) + a_2X_2 (z) $ (इसलिए प्रमाणित)

यहाँ, ROC $ ROC_1 \ bigcap ROC_2 $ है।

समय बदलता है

प्रॉपर्टी शिफ्टिंग में दर्शाया गया है कि असतत सिग्नल में टाइम डोमेन में बदलाव जेड-डोमेन को कैसे प्रभावित करेगा, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है;

$ $ x (n-n_0) \ longleftrightarrow X (Z) Z ^ {- n} $ $

या $ x (n-1) \ longleftrightarrow Z ^ {- 1} X (Z) $

Proof -

आज्ञा दें $ y (P) = X (PK) $

$ Y (z) = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty y (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty (x (pk)) Z ^ {- p} $

आज्ञा देना = पीके

$ = \ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (s) Z ^ {- (s + k)} $

$ = \ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (s) Z ^ {- s} Z ^ {-} $

$ = Z ^ {- k} [\ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (m) Z ^ {- s}] $

$ = Z ^ {- k} X (Z) $ (इसलिए प्रमाणित)

यहाँ, ROC को Z = 0 (p> 0) या Z = p (p <0) के रूप में लिखा जा सकता है

उदाहरण

यू (एन) और यू (एन -1) को निम्नानुसार प्लॉट किया जा सकता है

U (n) कैब के Z- परिवर्तन के रूप में लिखा जा सकता है;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [U (n)] जेड ^ {- n} = 1 $

U (Z-1) के Z- परिवर्तन के रूप में लिखा जा सकता है;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [U (n-1)] Z ^ {- n} = Z ^ {- 1} $

तो यहाँ $ x (n-n_0) = Z ^ {- n_0} X (Z) $ (इसलिए साबित हुआ)

टाइम स्केलिंग

टाइम स्केलिंग प्रॉपर्टी हमें बताती है, जब समय के असतत रूप में स्केल किया जाता है, तो सिग्नल का Z- डोमेन क्या होगा, जिसे लिखा जा सकता है;

$$ a ^ nx (n) \ longleftrightarrow X (a ^ {- 1} Z) $$

Proof -

चलो $ y (पी) = एक ^ {p} एक्स (पी) $

$ Y (P) = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty y (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty a ^ px (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty x (p) [a ^ {- 1} Z] ^ {- p} $

$ = एक्स (ए ^ {- 1} जेड) $ (इसलिए साबित हुआ)

ROC: = mod (ar1) <mod (Z) <mod (ar2) जहां mod = modulus है

उदाहरण

हमें समय स्केलिंग संपत्ति का उपयोग करके $ x (n) = a ^ n \ cos \ omega n $ का Z- परिवर्तन निर्धारित करें।

Solution -

हम पहले से ही जानते हैं कि सिग्नल $ \ cos (\ omega n) $ का Z- परिवर्तन किसके द्वारा दिया गया है -

$ $ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (\ cos \ omega n) Z ^ {- n} = (Z ^ 2-Z \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ ओमेगा +1) $$

अब, टाइम स्केलिंग प्रॉपर्टी को लागू करते हुए, $ a ^ n \ cos \ omega n $ का Z- परिवर्तन के रूप में लिखा जा सकता है;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (a ^ n \ cos \ omega n) Z ^ {- n} = X (a ^ {- 1} Z) $

$ = [(a ^ {- 1} Z) ^ 2- (a ^ {- 1} Z \ cos \ omega n)] / ((a ^ {- 1} Z) ^ 2-2 (^ a -) 1} Z \ cos \ omega n) +1) $

$ = Z (Za \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2az \ cos \ omega + a ^ 2) $

क्रमिक विभेदीकरण

क्रमिक विभेदीकरण गुण से पता चलता है कि जब हम समय क्षेत्र में समय के संबंध में असतत संकेत को अलग करते हैं तो Z- परिवर्तन होगा। यह नीचे दिखाया गया है।

$ $ \ frac {dx (n)} {dn} = ((1-Z ^ {- 1}) X (Z) # $

Proof -

समीकरण के LHS पर विचार करें - $ \ frac {dx (n)} {dn} $

$ $ = \ frac {[x (n) -x (n-1)]} {[n- (n-1)} $ $

$ = x (n) -X (n-1) $

$ = x (Z) -Z ^ {- 1} x (Z) $

$ = (1-Z ^ {- 1}) x (Z) $ (इसलिए प्रमाणित)

ROC: R1 <Mod (Z) <R2

उदाहरण

आइए हम $ x (n) = n ^ 2u (n) $ द्वारा दिए गए सिग्नल के Z- रूपांतरण को खोजें

संपत्ति से हम लिख सकते हैं

$ Zz [nU (n)] = -Z \ frac {dZ [U (n)]} {dz} $

$ = -Z \ frac {d [\ frac {Z} {Z-1}]} {dZ} $

$ = Z / ((Z-1) ^ 2 $

$ = y (लेट) $

अब, Z [ny] को फिर से संपत्ति को लागू करने के द्वारा पता लगाया जा सकता है,

$ Z (n, y) = -Z \ frac {डाई} {dz} $

$ = -Z \ frac {d [Z / (Z-1) ^ 3]} {dz} $

$ = Z (Z + 1) / (Z-1) ^ 2 $

कनवल्शन

यह सिस्टम के जेड-डोमेन में बदलाव को दर्शाता है जब एक असततता असतत सिग्नल फॉर्म में होती है, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है -

$ x_1 (n) * x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (Z) .X_2 (Z) $

Proof -

$ X (Z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [\ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) x_2 (nk)] Z ^ {- n} $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [\ sum_n ^ \ infty x_2 (nk) Z ^ {- n}] $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [\ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (nk) Z ^ {- (nk)} Z ^ {k}] $

चलो nk = l, तो उपरोक्त समीकरण टैक्सी के रूप में लिखा जाना चाहिए -

$ X (Z) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [Z ^ {- k} \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x_2 (l) Z ^ {{l }] $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) X_2 (Z) Z ^ {-} $

$ = X_2 (Z) \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (Z) Z ^ {-} $

$ = X_1 (Z) .X_2 (Z) $ (इसलिए प्रमाणित)

ROC: $ ROC \ bigcap ROC2 $

उदाहरण

आइए हम दो संकेतों द्वारा दिए गए दृढ़ संकल्प को खोजें

$ x_1 (n) = \ lbrace 3, -2,2 \ rbrace $ ... (eq। 1)

$ x_2 (n) = \ lbrace 2,0 \ leq 4 \ quad और \ quad 0 \ quad कहीं और \ rbrace $ ... (eq। 2)

पहले समीकरण के Z- परिवर्तन के रूप में लिखा जा सकता है;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_1 (n) Z ^ {- n} $

$ = 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} $

दूसरे संकेत के Z- परिवर्तन के रूप में लिखा जा सकता है;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (n) Z ^ {- n} $

$ = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4} $

तो, ऊपर दिए गए दो संकेतों का दृढ़ संकल्प है -

$ X (Z) = [x_1 (Z) ^ * x_2 (Z)] $

$ = [3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2}] \ बार [2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4 }] $

$ = 6 + 2Z ^ {- 1} + 6Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + ... \ quad ... \ quad ... $

उलटा Z- परिवर्तन हम ले,

$ x (n) = \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4,4 \ rbrace $

प्रारंभिक मूल्य प्रमेय

यदि x (n) एक कारण अनुक्रम है, जिसमें X (z) के रूप में इसका Z- परिवर्तन है, तो प्रारंभिक मूल्य प्रमेय के रूप में लिखा जा सकता है;

$ X (n) (at \ quad n = 0) = \ lim_ {z \ to to infty} X (z) $

Proof - हम जानते हैं कि,

$ X (Z) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $

उपरोक्त श्रृंखला का विस्तार करते हुए, हम प्राप्त करते हैं;

$ = X (0) Z ^ 0 + X (1) Z ^ {- 1} + X (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... $

$ = X (0) \ गुना 1 + X (1) Z ^ {- 1} + X (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... $

उपरोक्त मामले में यदि Z → ∞ तो $ Z ^ {- n} \ rightarrow 0 $ (क्योंकि n> 0)

इसलिए, हम कह सकते हैं;

$ \ lim_ {z \ to to infty} X (z) = X (0) $ (इसलिए साबित हुआ)

अंतिम मूल्य प्रमेय

फाइनल वैल्यू प्रमेय में कहा गया है कि यदि किसी सिग्नल के Z- ट्रांसफॉर्मेशन को X (Z) के रूप में दर्शाया जाता है और डंडे सभी सर्कल के अंदर होते हैं, तो उसके फाइनल वैल्यू को x (n) या X (∞) के रूप में दर्शाया जाता है और इसे लिखा जा सकता है। -

$ X (\ infty) = \ lim_ {n \ to to infty} X (n) = \ lim_ {z \ to 1} [X (Z) (1-Z ^ {- 1})] $

Conditions -

यह केवल कारण प्रणालियों के लिए लागू है।
$ X (Z) (1-Z ^ {- 1}) $ को Z- प्लेन में यूनिट सर्कल के अंदर पोल होना चाहिए।

Proof - हम जानते हैं कि

$ Z ^ + [x (n + 1) -x (n)] = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (एन)] $

$ \ Rightarrow Z ^ + [x (n + 1)] - Z ^ + [x (n)] = \ lim_ {k \ _ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (एन)] $

$ \ Rightarrow Z [X (Z) ^ + - x (0)] - X (Z) ^ + = \ lim_ {k \ _ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (एन)] $

यहां, हम एक तरफा जेड-परिवर्तन की उन्नत संपत्ति को लागू कर सकते हैं। तो, उपरोक्त समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है;

$ Z ^ + [x (n + 1)] = Z [X (2) ^ + - x (0) Z ^ 0] = Z [X (Z) ^ + - x (0)] $

अब उपरोक्त समीकरण में z = 1 डालते हैं, हम उपरोक्त समीकरण का विस्तार कर सकते हैं -

$ \ lim_ {k \ _ to infty} {[x (1) -x (0) + x (6) -x (1) + x (3) -x (2) + ... \ quad ... \ ट्रैक्टर ... + एक्स (x + 1) -x (के)]} $

इसे इस रूप में तैयार किया जा सकता है;

$ X (\ infty) = \ lim_ {n \ to \ infty} X (n) = \ lim_ {z \ to 1} [X (Z) (1-Z ^ {- 1})] $ (इसलिए प्रमाणित)

उदाहरण

आइए x (n) का आरंभिक और अंतिम मान ज्ञात करें जिसका संकेत इसके द्वारा दिया गया है

$ X (Z) = 2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2} $

Solution - हमें पहले, प्रमेय को लागू करके संकेत के प्रारंभिक मूल्य का पता लगाएं

$ x (0) = \ lim_ {z \ to \ infty} X (Z) $

$ = \ lim_ {z \ to to infty} [2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {-}}} $

$ = 2 + (\ frac {3} {\ infty}) + (\ frac {4} {\ infty} = = 2 $

अब हमें प्रमेय को लागू करने वाले सिग्नल का अंतिम मान ज्ञात करते हैं

$ x (\ infty) = \ lim_ {z \ to to infty} [(1-Z ^ {- 1}) X (Z)] $

$ = \ lim_ {z \ _ to \ infty} [(1-Z ^ {- 1}) (2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2}]] $

$ = \ lim_ {z \ to to infty} [2 + Z ^ {- 1} + Z ^ {- 2} -4Z ^ {- 3}] $

$ = 2 + 1 + 1-4 = 0 $

Some other properties of Z-transform are listed below -

फ़्रीक्वेंसी में अंतर

यह सिग्नल के जेड-डोमेन में परिवर्तन देता है, जब इसके असतत सिग्नल को समय के संबंध में विभेदित किया जाता है।

$ nx (n) \ longleftrightarrow -Z \ frac {dX (z)} {dz "%

इसकी आरओसी के रूप में लिखा जा सकता है;

$ r_2 <mod (Z) <r_1 $

उदाहरण

हम आवृत्ति में विभेदन के माध्यम से x (n) का मान ज्ञात करते हैं, जिसका Z- डोमेन में असतत संकेत $ x (n) \ longleftrightarrow X (Z) = लॉग (1 + aZ ^ {- 1}) $ द्वारा दिया गया है

संपत्ति से, हम लिख सकते हैं कि

$ nx (n) \ longleftrightarrow -Z \ frac {dx (Z)} {dz}

$ = -Z [\ frac {-ZZ ^ {- 2}} {1 + aZ ^ {- 1}}] $

$ = (aZ ^ {- 1}) / (1 + aZ ^ {- 1}) $

$ = 1-1 / (1 + aZ ^ {- 1}) $

$ nx (एन) = \ डेल्टा (एन) - (- ए) ^ एनयू (एन) $

$ \ Rightarrow x (n) = 1 / n [\ delta (n) - (- a) ^ nu (n)) $