凸および凹関数
$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $とします。ここで、Sは$ \ mathbb {R} ^ n $に設定された空でない凸であり、$ f \ left（x \ right）$はS上で凸であると言われます。 if $ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ leq \ lambda f \ left（x_1 \ right）+ \ left（1- \ lambda \ right）f \ left（ x_2 \ right）、\ forall \ lambda \ in \ left（0,1 \ right）$。
一方、$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $とします。ここで、Sは$ \ mathbb {R} ^ n $に設定された空でない凸集合であり、$ f \ left（x \ right）$と言います。 $ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ geq \ lambda f \ left（x_1 \ right）+ \ left（1- \ lambda \ right）の場合、S上で凹型になります）f \ left（x_2 \ right）、\ forall \ lambda \ in \ left（0、1 \ right）$。
$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $とします。ここで、Sは$ \ mathbb {R} ^ n $に設定された空でない凸であり、$ f \ left（x \ right）$はS上で厳密に凸であると言われます。 if $ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）<\ lambda f \ left（x_1 \ right）+ \ left（1- \ lambda \ right）f \ left（x_2 \ right）、\ forall \ lambda \ in \ left（0、1 \ right）$。
$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $とします。ここで、Sは$ \ mathbb {R} ^ n $に設定された空でない凸であり、$ f \ left（x \ right）$はS上で厳密に凹であると言われます。 if $ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）> \ lambda f \ left（x_1 \ right）+ \ left（1- \ lambda \ right）f \ left（x_2 \ right）、\ forall \ lambda \ in \ left（0、1 \ right）$。
例
一次関数は凸面と凹面の両方です。
$ f \ left（x \ right）= \ left | x \ right | $は凸関数です。
$ f \ left（x \ right）= \ frac {1} {x} $は凸関数です。
定理
$ f_1、f_2、...、f_k：\ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $を凸関数とします。関数$ f \ left（x \ right）= \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ left（x \ right）$を考えてみましょう。ここで$ \ alpha_j> 0、j = 1、2,。 ..k、$の場合、$ f \ left（x \ right）$は凸関数です。
証明
$ f_1、f_2、... f_k $は凸関数なので、
したがって、$ f_i \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ leq \ lambda f_i \ left（x_1 \ right）+ \ left（1- \ lambda \ right）f_i \ left （x_2 \ right）、\ forall \ lambda \ in \ left（0、1 \ right）$および$ i = 1、2、....、k $
関数$ f \ left（x \ right）$について考えてみます。
したがって、
$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）$
$ = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ left（\ lambda x_1 + 1- \ lambda \ right）x_2 \ leq \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_j \ラムダf_j \ left（x_1 \ right）+ \ left（1- \ lambda \ right）f_j \ left（x_2 \ right）$
$ \ Rightarrow f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ leq \ lambda \ left（\ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ left（ x_1 \ right）\ right）+ \ left（\ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ left（x_2 \ right）\ right）$
$ \ Rightarrow f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ leq \ lambda f \ left（x_2 \ right）\ leq \ left（1- \ lambda \ right）f \左（x_2 \ right）$
したがって、$ f \ left（x \ right）$は凸関数です。
定理
$ f \ left（x \ right）$を凸集合$ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $の凸関数とすると、Sの$ f \ left（x \ right）$の極小値はグローバル最小値。
証明
$ \ hat {x} $を$ f \ left（x \ right）$の極小値とし、$ \ hat {x} $は大域的最小値ではありません。
したがって、$ \は、$ f \ left（\ bar {x} \ right）<f \ left（\ hat {x} \ right）$となるようにS $に\ hat {x} \が存在します。
$ \ hat {x} $は極小値であるため、$ f \ left（\ hat {x} \ right）\ leqfのような近隣$ N_ \ varepsilon \ left（\ hat {x} \ right）$が存在します。 \ left（x \ right）、\ forall x \ in N_ \ varepsilon \ left（\ hat {x} \ right）\ cap S $
ただし、$ f \ left（x \ right）$はSの凸関数であるため、$ \ lambda \ in \ left（0、1 \ right）$の場合
$ \ lambda \ hat {x} + \ left（1- \ lambda \ right）\ bar {x} \ leq \ lambda f \ left（\ hat {x} \ right）+ \ left（1- \ lambda \ right）f \ left（\ bar {x} \ right）$
$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left（1- \ lambda \ right）\ bar {x} <\ lambda f \ left（\ hat {x} \ right）+ \ left（1- \ lambda \右）f \ left（\ hat {x} \ right）$
$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left（1- \ lambda \ right）\ bar {x} <f \ left（\ hat {x} \ right）、\ forall \ lambda \ in \ left（0 、1 \ right）$
しかし、いくつかの$ \ lambda <1 $で、1に近い場合、
$ \ lambda \ hat {x} + \ left（1- \ lambda \ right）\ bar {x} \ in N_ \ varepsilon \ left（\ hat {x} \ right）\ cap S $および$ f \ left（ \ lambda \ hat {x} + \ left（1- \ lambda \ right）\ bar {x} \ right）<f \ left（\ bar {x} \ right）$
これは矛盾です。
したがって、$ \ bar {x} $はグローバルな最小値です。
碑文
Sを$ \ mathbb {R} ^ n $の空でないサブセットとし、$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $とすると、epi（f）または$ E_f $で示されるfのエピグラフはサブセットです。 $ E_f = \ left \ {\ left（x、\ alpha \ right）：x \ in \ mathbb {R} ^ n、\ alpha \ in \ mathbb {で定義される$ \ mathbb {R} ^ n + 1 $のR}、f \ left（x \ right）\ leq \ alpha \ right \} $
ハイポグラフ
Sを$ \ mathbb {R} ^ n $の空でないサブセットとし、$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $とすると、hyp（f）または$ H_f = \ leftで表されるfのハイポグラフ\ {\ left（x、\ alpha \ right）：x \ in \ mathbb {R} ^ n、\ alpha \ in \ mathbb {R} ^ n、\ alpha \ in \ mathbb {R}、f \ left（ x \ right）\ geq \ alpha \ right \} $
定理
Sを$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸集合とし、$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $とすると、エピグラフ$ E_f $がである場合に限り、fは凸になります。凸集合。
証明
fを凸関数とします。
$ E_f $を表示することは、凸集合です。
$ \ left（x_1、\ alpha_1 \ right）、\ left（x_2、\ alpha_2 \ right）\ in E_f、\ lambda \ in \ left（0、1 \ right）$
$ \ lambda \ left（x_1、\ alpha_1 \ right）+ \ left（1- \ lambda \ right）\ left（x_2、\ alpha_2 \ right）\ in E_f $を表示するには
$ \ Rightarrow \ left [\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2、\ lambda \ alpha_1 + \ left（1- \ lambda \ right）\ alpha_2 \ right] \ in E_f $
$ f \ left（x_1 \ right）\ leq \ alpha _1、f \ left（x_2 \ right）\ leq \ alpha _2 $
したがって、$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ leq \ lambda f \ left（x_1 \ right）+ \ left（1- \ lambda \ right）f \ left （x_2 \ right）$
$ \ Rightarrow f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ leq \ lambda \ alpha_1 + \ left（1- \ lambda \ right）\ alpha_2 $
コンバース
$ E_f $を凸集合とします。
fが凸であることを示す。
つまり、$ x_1、x_2 \ in S、\ lambda \ left（0、1 \ right）$かどうかを表示します
$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ leq \ lambda f \ left（x_1 \ right）+ \ left（1- \ lambda \ right）f \ left（x_2 \ right）$
$ x_1、x_2 \ in S、\ lambda \ in \ left（0、1 \ right）、f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ in \ mathbb {R} $
$ E_f $は凸集合であるため、$ \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2、\ lambda f \ left（x_1 \ right）+ \ left（1- \ lambda \ right）\右）f \ left（x_2 \ right）\ in E_f $
したがって、$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ leq \ lambda f \ left（x_1 \ right）+ \ left（1- \ lambda \ right）f \ left （x_2 \ right）$