凸最適化-内積

内積は、ベクトルのペアにスカラーを与える関数です。

内積-$ f:\ mathbb {R} ^ n \ times \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ kappa $ここで、$ \ kappa $はスカラーです。

内積の基本的な特徴は次のとおりです-

$ X \ in \ mathbb {R} ^ n $とします

  • $ \ left \ langle x、x \ right \ rangle \ geq 0、\ forall x \ in X $

  • $ \ left \ langle x、x \ right \ rangle = 0 \ Leftrightarrow x = 0、\ forall x \ in X $

  • $ \ left \ langle \ alpha x、y \ right \ rangle = \ alpha \ left \ langle x、y \ right \ rangle、\ forall \ alpha \ in \ kappa \:and \:\ forall x、y \ in X $

  • $ \ left \ langle x + y、z \ right \ rangle = \ left \ langle x、z \ right \ rangle + \ left \ langle y、z \ right \ rangle、\ forall x、y、z \ in X $

  • $ \ left \ langle \ overline {y、x} \ right \ rangle = \ left(x、y \ right)、\ forall x、y \ in X $

Note

  • ノルムと内積の関係:$ \ left \ | x \ right \ | = \ sqrt {\ left(x、x \ right)} $

  • $ \ forall x、y \ in \ mathbb {R} ^ n、\ left \ langle x、y \ right \ rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n $

1. $ x = \ left(1,2,1 \ right)\:と\:y = \ left(3、-1,3 \ right)$の内積を見つけます

解決

$ \ left \ langle x、y \ right \ rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 $

$ \ left \ langle x、y \ right \ rangle = \ left(1 \ times3 \ right)+ \ left(2 \ times-1 \ right)+ \ left(1 \ times3 \ right)$

$ \ left \ langle x、y \ right \ rangle = 3 + \ left(-2 \ right)+3 $

$ \ left \ langle x、y \ right \ rangle = 4 $

2. $ x = \ left(4,9,1 \ right)、y = \ left(-3,5,1 \ right)$および$ z = \ left(2,4,1 \ right)$の場合、 $ \ left(x + y、z \ right)$を見つけます

解決

ご存知のように、$ \ left \ langle x + y、z \ right \ rangle = \ left \ langle x、z \ right \ rangle + \ left \ langle y、z \ right \ rangle $

$ \ left \ langle x + y、z \ right \ rangle = \ left(x_1z_1 + x_2z_2 + x_3z_3 \ right)+ \ left(y_1z_1 + y_2z_2 + y_3z_3 \ right)$

$ \ left \ langle x + y、z \ right \ rangle = \ left \ {\ left(4 \ times 2 \ right)+ \ left(9 \ times 4 \ right)+ \ left(1 \ times1 \ right) \ right \} + $

$ \ left \ {\ left(-3 \ times2 \ right)+ \ left(5 \ times4 \ right)+ \ left(1 \ times 1 \ right)\ right \} $

$ \ left \ langle x + y、z \ right \ rangle = \ left(8 + 36 + 1 \ right)+ \ left(-6 + 20 + 1 \ right)$

$ \ left \ langle x + y、z \ right \ rangle = 45 + 15 $

$ \ left \ langle x + y、z \ right \ rangle = 60 $