凸最適化-内積

内積は、ベクトルのペアにスカラーを与える関数です。

内積-$ f：\ mathbb {R} ^ n \ times \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ kappa $ここで、$ \ kappa $はスカラーです。

内積の基本的な特徴は次のとおりです-

$ X \ in \ mathbb {R} ^ n $とします

$ \ left \ langle x、x \ right \ rangle \ geq 0、\ forall x \ in X $
$ \ left \ langle x、x \ right \ rangle = 0 \ Leftrightarrow x = 0、\ forall x \ in X $
$ \ left \ langle \ alpha x、y \ right \ rangle = \ alpha \ left \ langle x、y \ right \ rangle、\ forall \ alpha \ in \ kappa \：and \：\ forall x、y \ in X $
$ \ left \ langle x + y、z \ right \ rangle = \ left \ langle x、z \ right \ rangle + \ left \ langle y、z \ right \ rangle、\ forall x、y、z \ in X $
$ \ left \ langle \ overline {y、x} \ right \ rangle = \ left（x、y \ right）、\ forall x、y \ in X $

Note −

ノルムと内積の関係：$ \ left \ | x \ right \ | = \ sqrt {\ left（x、x \ right）} $
$ \ forall x、y \ in \ mathbb {R} ^ n、\ left \ langle x、y \ right \ rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n $

例

1. $ x = \ left（1,2,1 \ right）\：と\：y = \ left（3、-1,3 \ right）$の内積を見つけます

解決

$ \ left \ langle x、y \ right \ rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 $

$ \ left \ langle x、y \ right \ rangle = \ left（1 \ times3 \ right）+ \ left（2 \ times-1 \ right）+ \ left（1 \ times3 \ right）$

$ \ left \ langle x、y \ right \ rangle = 3 + \ left（-2 \ right）+3 $

$ \ left \ langle x、y \ right \ rangle = 4 $

2. $ x = \ left（4,9,1 \ right）、y = \ left（-3,5,1 \ right）$および$ z = \ left（2,4,1 \ right）$の場合、 $ \ left（x + y、z \ right）$を見つけます

解決

ご存知のように、$ \ left \ langle x + y、z \ right \ rangle = \ left \ langle x、z \ right \ rangle + \ left \ langle y、z \ right \ rangle $

$ \ left \ langle x + y、z \ right \ rangle = \ left（x_1z_1 + x_2z_2 + x_3z_3 \ right）+ \ left（y_1z_1 + y_2z_2 + y_3z_3 \ right）$

$ \ left \ langle x + y、z \ right \ rangle = \ left \ {\ left（4 \ times 2 \ right）+ \ left（9 \ times 4 \ right）+ \ left（1 \ times1 \ right） \ right \} + $

$ \ left \ {\ left（-3 \ times2 \ right）+ \ left（5 \ times4 \ right）+ \ left（1 \ times 1 \ right）\ right \} $

$ \ left \ langle x + y、z \ right \ rangle = \ left（8 + 36 + 1 \ right）+ \ left（-6 + 20 + 1 \ right）$

$ \ left \ langle x + y、z \ right \ rangle = 45 + 15 $

$ \ left \ langle x + y、z \ right \ rangle = 60 $